充分条件与必要条件练习题及答案Word文档格式.doc

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判断命题为假命题可以通过举反例．

例2p是q的充要条件的是

A．p：

3x＋2＞5，q：

－2x－3＞－5

B．p：

a＞2，b＜2，q：

a＞b

C．p：

四边形的两条对角线互相垂直平分，q：

四边形是正方形

D．p：

a≠0，q：

关于x的方程ax＝1有惟一解

分析逐个验证命题是否等价．

解对A．p：

x＞1，q：

x＜1，所以，p是q的既不充分也不必要条件；

对B．pq但qp，p是q的充分非必要条件；

对C．pq且qp，p是q的必要非充分条件；

当a＝0时，ax＝0有无数个解．

例3若A是B成立的充分条件，D是C成立的必要条件，C是B成立的充要条件，则D是A成立的

A．充分条件 　　　B．必要条件

分析通过B、C作为桥梁联系A、D．

解∵A是B的充分条件，∴AB①

∵D是C成立的必要条件，∴CD②

由①③得AC④

由②④得AD．

∴D是A成立的必要条件．选B．

要注意利用推出符号的传递性．

例4设命题甲为：

0＜x＜5，命题乙为|x－2|＜3，那么甲是乙的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

分析先解不等式再判定．

解解不等式|x－2|＜3得－1＜x＜5．

∵0＜x＜5－1＜x＜5，但－1＜x＜50＜x＜5

∴甲是乙的充分不必要条件，选A．

一般情况下，如果条件甲为x∈A，条件乙为x∈B．

当且仅当A＝B时，甲为乙的充要条件．

例5设A、B、C三个集合，为使A（B∪C），条件AB是

分析可以结合图形分析．请同学们自己画图．

∴A（B∪C）．

但是，当B＝N，C＝R，A＝Z时，

显然A（B∪C），但AB不成立，

综上所述：

“AB”“A（B∪C）”，而

“A（B∪C）”“AB”．

即“AB”是“A（B∪C）”的充分条件（不必要）．选A．

画图分析时要画一般形式的图，特殊形式的图会掩盖真实情况．

例6给出下列各组条件：

（1）p：

ab＝0，q：

a2＋b2＝0；

（2）p：

xy≥0，q：

|x|＋|y|＝|x＋y|；

（3）p：

m＞0，q：

方程x2－x－m＝0有实根；

（4）p：

|x－1|＞2，q：

x＜－1．

其中p是q的充要条件的有

A．1组 B．2组

C．3组 D．4组

分析使用方程理论和不等式性质．

解

（1）p是q的必要条件

（2）p是q充要条件

（3）p是q的充分条件

（4）p是q的必要条件．选A．

ab＝0指其中至少有一个为零，而a2＋b2＝0指两个都为零．

分析将前后两个不等式组分别作等价变形，观察两者之间的关系．

例8已知真命题“a≥bc＞d”和“a＜be≤f”，则“c≤d”是“e≤f”的________条件．

分析∵a≥bc＞d（原命题），

∴c≤da＜b（逆否命题）．

而a＜be≤f，

∴c≤de≤f即c≤d是e≤f的充分条件．

答填写“充分”．

充分利用原命题与其逆否命题的等价性是常见的思想方法．

例9ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是

A．0＜a≤1 　B．a＜1

C．a≤1 D．0＜a≤1或a＜0

分析此题若采用普通方法推导较为复杂，可通过选项提供的信息，用排除法解之．当a＝1时，方程有负根x＝－1，当a＝0时，x＝

当a≠0时

综上所述a≤1．

即ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1．

特殊值法、排除法都是解选择题的好方法．

例10已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么s，r，p分别是q的什么条件？

分析画出关系图1－21，观察求解．

解s是q的充要条件；

（srq，qs）

r是q的充要条件；

（rq，qsr）

p是q的必要条件；

（qsrp）

图可以画的随意一些，关键要体现各个条件、命题之间的逻辑关系．

例11关于x的不等式

分析化简A和B，结合数轴，构造不等式（组），求出a．

解A＝{x|2a≤x≤a2＋1}，B＝{x|（x－2）[x－（3a＋1）]≤0}

B＝{x|2≤x≤3a＋1}．

B＝{x|3a＋1≤x≤2}

集合的包含关系、命题的真假往往与解不等式密切相关．在解题时要理清思路，表达准确，推理无误．

要条件？

分析将充要条件和不等式同解变形相联系．

分类讨论要做到不重不漏．

例13设α，β是方程x2－ax＋b＝0的两个实根，试分析a＞2且b＞1是两根α，β均大于1的什么条件？

分析把充要条件和方程中根与系数的关系问题相联系，解题时需

∴qp．

上述讨论可知：

a＞2，b＞1是α＞1，β＞1的必要但不充分条件．

本题中的讨论内容在二次方程的根的分布理论中常被使用．

例14（1991年全国高考题）设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么

A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件

B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件

C．丙是甲的充要条件

D．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件

分析1：

由丙乙甲且乙丙，即丙是甲的充分不必要条件．

分析2：

画图观察之．

答：

选A．

抽象命题之间的逻辑关系通常靠画图观察比较方便