人教版平面向量的数量积及平面向量的应用Word文件下载.doc

人教版平面向量的数量积及平面向量的应用Word文件下载.doc

《人教版平面向量的数量积及平面向量的应用Word文件下载.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教版平面向量的数量积及平面向量的应用Word文件下载.doc（6页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

cosθ＝

a⊥b的充

要条件

a·

b＝0

x1x2＋y1y2＝0

【问题思考】1．若a·

b＝a·

c，则b＝c吗？

为什么？

提示：

不一定．a＝0时不成立，另外a≠0时，由数量积概念可知b与c不能确定．[来源:

学科网]

2．等式（a·

b）c＝a（b·

c）成立吗？

（a·

c）不一定成立．（a·

b）c是c方向上的向量，而a（b·

c）是a方向上的向量，当a与c不共线时它们必不相等．[来源:

学§

科§

网Z§

X§

K]

3．|a·

b|与|a|·

|b|的大小之间有什么关系？

|a·

b|≤|a|·

|b|.因为a·

b＝|a||b|cosθ，所以|a·

b|＝|a||b||cosθ|≤|a|·

|b|.

【基础自测】

1．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，（2a＋b）·

b＝0，则a与b的夹角为（　　）

A．30°

B．60°

C．120°

D．150°

解析：

选C　∵（2a＋b）·

b＝0，∴2a·

b＋b2＝0，[来源:

Zxxk.Com]

∴2|a||b|cosθ＋|b|2＝0.又∵|a|＝|b|，∴2cosθ＋1＝0，即cosθ＝－.

又θ∈[0，π]，∴θ＝，即a与b的夹角为120°

.

2．已知向量a＝（1，－1），b＝（2，x），若a·

b＝1，则x＝（　　）

A．－1B．－C.D．1

选D　∵a＝（1，－1），b＝（2，x），a·

b＝1，∴2－x＝1，即x＝1.

3．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·

b＝－，则|a＋2b|＝（　　）

A.B.C.D.

选B　|a＋2b|＝＝＝＝.

4．已知两个单位向量a，b的夹角为60°

，c＝ta＋（1－t）b.若b·

c＝0，则t＝________.

因为向量a，b为单位向量，所以b2＝1，又向量a，b的夹角为60°

，所以a·

b＝，由b·

c＝0，得b·

[ta＋（1－t）b]＝0，即ta·

b＋（1－t）b2＝0，所以t＋（1－t）＝0，所以t＝2.

5．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·

＝________.

选向量的基底为，，则＝－，＝＋，那么·

＝·

（－）＝2.

【考点分析】

【考点一】平面向量数量积的概念及运算

[例1]　

（1）已知点A（－1,1）、B（1,2）、C（－2，－1）、D（3,4），则向量在方向上的投影为（　　）

A.B.C．－D．－

（2）如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·

＝，则·

的值是________．

[解]　

（1）∵A（－1,1），B（1，2），C（－2，－1），D（3,4），

∴＝（2,1），＝（5,5），因此cos〈，〉＝＝，

∴向量在方向上的投影为||·

cos〈，〉＝×

＝.

（2）以A为坐标原点，AB，AD所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系，则B（，0），E（，1），D（0,2），C（，2）．设F（x，2）（0≤x≤），由·

＝⇒x＝⇒x＝1，所以F（1,2），·

＝（，1）·

（1－，2）＝.

【互动探究】在本例

（2）中，若四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是AB上的动点，求·

的值及·

的最大值．

解：

以A点为原点，AB边所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则正方形各顶点坐标分别为A（0,0）、B（1,0）、C（1,1）、D（0,1），设E（a，0），0≤a≤1.

·

＝（a，－1）·

（0，－1）＝a×

0＋（－1）×

（－1）＝1.

（1,0）＝a＋（－1）×

0＝a≤1，故·

的最大值为1.　　　　　

【方法规律】平面向量数量积的类型及求法

（1）平面向量数量积有两种计算公式：

一是夹角公式a·

b＝|a||b|cosθ；

二是坐标公式a·

b＝x1x2＋y1y2.

（2）求复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简．

变式：

1．若向量a＝（1,1），b＝（2,5），c＝（3，x），满足条件（8a－b）·

c＝30，则x＝________.

∵a＝（1,1），b＝（2,5），∴8a－b＝（8,8）－（2,5）＝（6,3）．

又c＝（3，x），∴（8a－b）·

c＝18＋3x＝30，∴x＝4.

2．若e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·

b＝0，则实数k的值为________．

∵e1，e2的模为1，且其夹角θ＝.

∴a·

b＝（e1－2e2）·

（ke1＋e2）＝ke＋e1·

e2－2ke1·

e2－2e

＝k＋（1－2k）cos－2＝2k－.

又∵a·

b＝0，∴2k－＝0，即k＝.

【考点二】平面向量的夹角与模的问题

1．平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题．

2．高考对平面向量的夹角与模的考查常有以下几个命题角度：

（1）求两向量的夹角；

（2）两向量垂直的应用；

（3）已知数量积求模；

（4）知模求模．

[例2]　

（1）若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________．

（2）已知向量与的夹角为120°

，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．

（3）在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°

，E为CD的中点．若·

＝1,则AB的长为________．

[解]　

（1）由|a|＝|a＋2b|，两边平方，得|a|2＝|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·

b，所以a·

b＝－|b|2.

又|a|＝3|b|，所以cos〈a，b〉＝＝－＝－.

（2）∵⊥，∴·

＝0，

∴（λ＋）·

＝0，即（λ＋）·

（－）＝λ·

－λ2＋2－·

＝0.∵向量与的夹角为120°

，||＝3，||＝2，

∴（λ－1）||||·

cos120°

－9λ＋4＝0，解得λ＝.

（3）法一：

由题意可知，＝＋，＝－＋.因为·

＝1，所以（＋）·

＝1，即2＋·

－2＝1.

因为||＝1，∠BAD＝60°

，所以||＝，即AB的长为.

法二：

以A为原点，AB为x轴建立如图所示的直角坐标系，过D作DM⊥AB于点M.由AD＝1，∠BAD＝60°

，可知AM＝，DM＝.[来源:

设|AB|＝m（m>

0），则B（m,0），C，D.

因为E是CD的中点，所以E.所以＝，＝.[来源:

由·

＝1，可得＋＝1，即2m2－m＝0，所以m＝0（舍去）或.

故AB的长为.

[答案]　

（1）－　

（2）5　（3）

【方法规律】平面向量的夹角与模问题的常见类型及解题策略

（1）求两向量的夹角．cosθ＝，要注意θ∈[0，π]．

（2）两向量垂直的应用．两非零向量垂直的充要条件是：

a⊥b⇔a·

b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.

（3）求向量的模．利用数量积求解长度问题的处理方法有：

①a2＝a·

a＝|a|2或|a|＝.

②|a±

b|＝＝.

③若a＝（x，y），则|a|＝.

1．若a＝（1,2），b＝（1，－1），则2a＋b与a－b的夹角等于（　　）

A．－B.C.D.

选C　2a＋b＝2（1,2）＋（1，－1）＝（3,3），

a－b＝（1,2）－（1，－1）＝（0,3），（2a＋b）·

（a－b）＝9，|2a＋b|＝3，|a－b|＝3.

设所求两向量夹角为α，则cosα＝＝，又α∈[0，π]，故α＝.

2．已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________.

∵a与b是不共线的单位向量，∴|a|＝|b|＝1.

又ka－b与a＋b垂直，∴（a＋b）·

（ka－b）＝0，

即ka2＋ka·

b－a·

b－b2＝0.∴k－1＋ka·

b＝0，

即k－1＋kcosθ－cosθ＝0（θ为a与b的夹角）．∴（k－1）（1＋cosθ）＝0，

又a与b不共线，∴cosθ≠－1，∴k＝1.

3．已知平面向量α，β，|α|＝1，β＝（2,0），α⊥（α－2β），则|2α＋β|的值为________．

∵β＝（2,0），∴|β|＝2，又α⊥（α－2β），

∴α·

（α－2β）＝α2－2α·

β＝1－2α·

β＝0.∴α·

β＝.

∴（2α＋β）2＝4α2＋β2＋4α·

β＝4＋4＋2＝10.∴|2α＋β|＝.

【考点三】平面向量数量积的应用

[例3]　已知向量a＝（cosα，sinα），b＝（cosβ，sinβ），0<

β<

α<

π.

（1）若|a－b|＝，求证：

a⊥b；

（2）设c＝（0,1），若a＋b＝c，求α，β的值．

[解]　

（1）证明：

由题意得|a－b|2＝2，即（a－b）2＝a2－2a·

b＋b2＝2.

又因为a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，所以2－2a·

b＝2，即a·

b＝0，故a⊥b.

（2）因为a＋b＝（cosα＋cosβ，sinα＋sinβ）＝（0,1），所以

由此得，cosα＝cos（π－β），由0<

π，得0<

π－β<

π，又0<

π，故α＝π－β.代入sinα＋sinβ＝1，得sinα＝sinβ＝，而α>

β，所以α＝，β＝.

【方法规律】平面向量与三角函数的综合问题的命题形式与解题思路

（1）题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．

（2）给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.

设向量a＝（4cosα，sinα），b＝（sinβ，4cosβ），c＝（cosβ，－4sinβ）．

（1）若a与b－2c垂直，求tan（α＋β）的值；

（2）若tanαtanβ＝16，求证：

a∥b.

（1）由a与b－2c垂直，得a·

（b－2c）＝a·

b－2a·

c＝0，

即4sin（α＋β）－8cos（α＋β）＝0，tan（α＋β）＝2.

（2）证明：

由tanαtanβ＝16，得sinαsinβ＝16cosαcosβ，即

4cosα·

4cosβ－sinαsinβ＝0，所以a∥b.

小结】1个条件——两个非零向量垂直的充要条件

　两个非零向量垂直的充要条件为：

b＝0.

2个结论——与向量夹角有关的两个结论

（1）若a·

b>

0，则a与b的夹角为锐角或0°

；

（2）若a·

b<

0，则a与b的夹角为钝角或180°

4个注意点——向量运算中应注意的四个问题

（1）在求△ABC的三边所对应向量的夹角时，要注意是三角形的内角还是外角．如在等边△ABC中，与的夹角应为120°

而不是60°

（2）在平面向量数量积的运算中，不能从a·

b＝0推出a＝0或b＝0成立．实际上由a·

b＝0可推出以下四种结论：

①a＝0，b＝0；

②a＝0，