上海中学高中数学专题----立体几何上册1--5讲拓展2节Word格式.docx
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6.点A在平面α内,记作_______;
点B在平面α外,记作_______;
直线l在平面α内,记作_______;
直线l不在α内,记作_______.
7.判断:
(1)平面是平行四边形.( )
(2)若平行四边形ABCD的面积大于平行四边形A′B′C′D′的面积,则平面AC大于平面A′C′.( )
8.已知直线l和l外一点A,则连接A和l上任一点的直线都在点A和l确定的平面内.( )
9.空间内_______可确定一个平面.两平面相交,有_______个公共点.
公理1
如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内.
公理2
如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其它公共点,这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线.
公理3
经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.
推论1
经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面.
推论2
经过两条相交直线,有且只有一个平面.
.
推论3
经过两条平行直线,有且只有一个平面.
公理4(平行公理)平行于同一条直线的两条直线互相平行.
把以上各公理及推论进行对比:
公理或推论
图形语言
符号语言
作用
判定直线是否
在平面内
判定两个平面
是否相交
点A,B,C不共线点A,B,C确定一个平面
确定一个平面
推论1
点C与直线a
推论2
直线a与直线b确定一个平面
公理4
判断两线平行
【基础过关】
例1已知:
;
求证:
直线AD、BD、CD共面.
变式1、如果三条直线两两相交,那么这三条直线是否共面?
变式2、已知空间不共面的四点,过其中任意三点可以确定一个平面,由这四个点能确定几个平面?
变式3、四条线段顺次首尾连接,所得的图形一定是平面图形吗?
(口答)
练习1:
已知直线满足:
直线共面
提高训练:
已知,求证:
四条直线在同一平面内.
例2:
三个平面两两相交于三条直线,若这三条直线不平行,求证:
这三条直线交于一点.
已知:
平面α、β、γ两两相交于三条直线l1、l2、l3,且l1、l2、l3不平行.
l1、l2、l3相交于一点
证明:
备用题:
如图,三棱锥A-BCD中,E、G分别是BC、AB的中点,F在CD上,H在AD上,且有DF:
FC=DH:
HA=2:
3;
EF、GH、BD交于一点.
例3:
如图,已知△ABC的各顶点在平面α外,直线AB、BC、AC分别交平面α于P、Q、R,
P、Q、R三点共线.
【总结】
本节主要复习了平面三个公理和三个推论,学会了如何使用公理及其推论解题.
平面的基本性质的应用有哪些?
(1)公理1主要用来判定直线在平面内,点在平面内.
(2)公理2主要应用是:
①判断两个平面相交;
②证明点在直线上;
③证明三点共线;
④证明三线共点;
⑤画两个平面的交线.
(3)公理3及其推论主要应用:
①确定平面;
②证明两平面重合;
③证明点线共面;
④是作截面、辅助面的依据.
证明共面问题一般有两种方法:
归一法:
(1)先根据题设确定一个平面;
(2)再证明其余的点、线在这个平面内(证点在平面内,常转证这个点所在直线在这个平面内,而证直线在这个平面内,又往往证这条直线上有两点在这个平面内,即运用转化的思想方法).
重合法:
(1)先根据题设条件确定两个平面或两个以上平面(这些平面必需包括要证共面的所有点线);
(2)再证以上平面重合.
证明三线共点的基本方法
(1)先确定待证的三线中的两条相交于一点,再证明此点是两直线所在平面的公共点,第三条直线是两个平面的交线,由公理知,两平面的公共点在它们的交线上,从而证明了三线共点.
(2)用同一法证明,以两平面的交线为主线,使它和另两条直线分别交于不同的两点,由三角形全等导出线段相等,证明两点重合,得出三线共点.
【巩固练习】
A组
1.把空间四边形的对角线长度相等,则顺次连结它的各边中点所成的四边形是________
2.两个平面最多把空间分成部分,三个平面最多把空间分成部分。
3.过空间任意一点引三条直线,它们所确定的平面个数是个。
4.已知平面与平面平面都相交,则这三个平面可能的交线有条。
5.给出以下三个命题:
①若空间四点不共面,则其中无三点共线;
②若直线上有一点在平面外,则在外;
③两两相交的三条直线共面。
其中正确的命题是(写出所有正确命题的序号)
6.以下命题正确的是(填序号)
①三点确定一个平面
②线段在平面内,但直线AB不在平面内
③三条直线两两相交时不一定共面
④两个平面可以有两条公共直线
7.以空间三条直线,如果其中一条直线和其他两条直线都相交,那么这三条直线能确定的平面个数是________
8.空间三条直线两两相交,点P不在这三条直线上,那么由点P和这三条直线最多可以确定的平面的个数为________
9.若直线上有两个点在平面外,则…()
A.直线上至少有一个点在平面内 B.直线上有无穷多个点在平面内
C.直线上所有点都在平面外 D.直线上至多有一个点在平面内
10.空间四点A、B、C、D共面而不共线,那么四点中……………()
A.必有三点共线 B.必有三点不共线
C.至少有三点共线 D.不可能有三点共线
11.如图,,又,设A、B、C三点确定的平面为,则是…()
A.直线AC
B.直线BC
C.直线CR
D.以上皆错
12.如已知A、B、C、D是空间四点,命题甲:
A、B、C、D四点不共面,命题乙:
直线AC和不相交。
①若甲,则乙,②若乙,则甲,则………………()
A.①成立,②不成立 C.①②都成立
B.①不成立,②成立 D.①②都不成立
13.
(1)如图
(1),已知:
平面平面=直线EF,画出过点A、B、C的平面;
(2)如图
(2),已知:
ABCD-A1B1C1D1正方体,M、N、P分别为棱上的点,试画出过M、N、P的截面;
(3)如图(3),已知正方体ABCD-A1B1C1D1,试作出截面BB1D1D与截面A1C1B的交线,截面AB1D与截面A1C1B的交线。
14.
(1)求证:
三条互相平行的直线和一条直线都相交,这四条直线必在同一个平面内;
(2)已知是两两相交且不共点的四条直线,求证:
共面。
15.已知△ABC在平面外,其三边所在的直线
满足,如图所示,
M、N、P三点共线。
16.如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别为AA1、D1C1的中点,过D、M、N的平面与正方体下底面相交于直线
(1)画出直线;
(2)画出a与正方体的各面的交线;
(3)记,求的长。
17.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BD与平面ACD1交于点O,BD与平面ACD1交于点M,
M、O、D1三点共线。
18.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AB的中点,F为AA1的中点
(1)求证:
(1)E、C、D1、F四点共面。
(2)CE、D1F、DA三线共点。
19.在四面体ABCD中,E、F分别是AB和BC的中点,G、H分别是CD和AD上的点,且,求证:
EH、FG、BD相交于一点。
B组
1.如图所示,已知P、Q、R、S、M、N分别为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB、BC、CC1、C1D1、A1D1、A1A的中点,求证:
P、Q、R、S、M、N共面。
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,对角线B1D与平面A1BCD1相交于点P,
B、P、D1三点共线。
3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为AB、AD中点,E1、F1分别为B1C1、C1D1中点,
(1)EF//E1F1;
EF=E1F1;
(2)∠EAF1=∠E1CF1
4.如图所示,P是△ABC所在平面外一点,D、E分别是△PAB和△PBC的垂心。
求证DE//AC,DE=AC
拓展迁移
1.如图所示,已知在空间四边形ABCD中,E、F分别是AB、AD的中点,且,
直线EG、FH、AC相交于一点。
2.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,对角线A1C与平面BDC1相交于点O,AC、BD相交于点M,
点C1、O、M共线。
课后作业:
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