上海中学高中数学专题----立体几何上册1--5讲拓展2节Word格式.docx

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6．点A在平面α内，记作_______；

点B在平面α外，记作_______；

直线l在平面α内，记作_______；

直线l不在α内，记作_______．

7．判断：

（1）平面是平行四边形．（　　）

（2）若平行四边形ABCD的面积大于平行四边形A′B′C′D′的面积，则平面AC大于平面A′C′．（　　）

8．已知直线l和l外一点A，则连接A和l上任一点的直线都在点A和l确定的平面内．（　　）

9．空间内_______可确定一个平面．两平面相交，有_______个公共点．

公理1

如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．

公理2

如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其它公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．

公理3

经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．

推论1

经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．

推论2

经过两条相交直线，有且只有一个平面．

．

推论3

经过两条平行直线，有且只有一个平面．

公理4（平行公理）平行于同一条直线的两条直线互相平行．

把以上各公理及推论进行对比：

公理或推论

图形语言

符号语言

作用

判定直线是否

在平面内

判定两个平面

是否相交

点A,B,C不共线点A,B,C确定一个平面

确定一个平面

推论1

点C与直线a

推论2

直线a与直线b确定一个平面

公理4

判断两线平行

【基础过关】

例1已知：

；

求证：

直线AD、BD、CD共面．

变式1、如果三条直线两两相交，那么这三条直线是否共面？

变式2、已知空间不共面的四点，过其中任意三点可以确定一个平面，由这四个点能确定几个平面？

变式3、四条线段顺次首尾连接，所得的图形一定是平面图形吗？

（口答）

练习1：

已知直线满足：

直线共面

提高训练：

已知，求证：

四条直线在同一平面内．

例2：

三个平面两两相交于三条直线，若这三条直线不平行，求证：

这三条直线交于一点.

已知：

平面α、β、γ两两相交于三条直线l1、l2、l3，且l1、l2、l3不平行.

l1、l2、l3相交于一点

证明：

备用题：

如图，三棱锥A-BCD中，E、G分别是BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF:

FC=DH:

HA=2:

3；

EF、GH、BD交于一点．

例3：

如图，已知△ABC的各顶点在平面α外，直线AB、BC、AC分别交平面α于P、Q、R，

P、Q、R三点共线.

【总结】

本节主要复习了平面三个公理和三个推论，学会了如何使用公理及其推论解题．

平面的基本性质的应用有哪些？

（1）公理1主要用来判定直线在平面内，点在平面内．

（2）公理2主要应用是：

①判断两个平面相交；

②证明点在直线上；

③证明三点共线；

④证明三线共点；

⑤画两个平面的交线．

（3）公理3及其推论主要应用：

①确定平面；

②证明两平面重合；

③证明点线共面；

④是作截面、辅助面的依据．

证明共面问题一般有两种方法：

归一法：

（1）先根据题设确定一个平面；

（2）再证明其余的点、线在这个平面内（证点在平面内，常转证这个点所在直线在这个平面内，而证直线在这个平面内，又往往证这条直线上有两点在这个平面内，即运用转化的思想方法）．

重合法：

（1）先根据题设条件确定两个平面或两个以上平面（这些平面必需包括要证共面的所有点线）；

（2）再证以上平面重合．

证明三线共点的基本方法

（1）先确定待证的三线中的两条相交于一点，再证明此点是两直线所在平面的公共点，第三条直线是两个平面的交线，由公理知，两平面的公共点在它们的交线上，从而证明了三线共点．

（2）用同一法证明，以两平面的交线为主线，使它和另两条直线分别交于不同的两点，由三角形全等导出线段相等，证明两点重合，得出三线共点．

【巩固练习】

A组

1.把空间四边形的对角线长度相等，则顺次连结它的各边中点所成的四边形是________

2.两个平面最多把空间分成部分，三个平面最多把空间分成部分。

3.过空间任意一点引三条直线，它们所确定的平面个数是个。

4.已知平面与平面平面都相交，则这三个平面可能的交线有条。

5.给出以下三个命题：

①若空间四点不共面，则其中无三点共线；

②若直线上有一点在平面外，则在外；

③两两相交的三条直线共面。

其中正确的命题是（写出所有正确命题的序号）

6.以下命题正确的是（填序号）

①三点确定一个平面

②线段在平面内，但直线AB不在平面内

③三条直线两两相交时不一定共面

④两个平面可以有两条公共直线

7.以空间三条直线，如果其中一条直线和其他两条直线都相交，那么这三条直线能确定的平面个数是________

8.空间三条直线两两相交，点P不在这三条直线上，那么由点P和这三条直线最多可以确定的平面的个数为________

9.若直线上有两个点在平面外，则…（）

A.直线上至少有一个点在平面内 B.直线上有无穷多个点在平面内

C.直线上所有点都在平面外 D.直线上至多有一个点在平面内

10.空间四点A、B、C、D共面而不共线，那么四点中……………（）

A.必有三点共线 B.必有三点不共线

C.至少有三点共线 D.不可能有三点共线

11.如图，，又，设A、B、C三点确定的平面为，则是…（）

A.直线AC

B.直线BC

C.直线CR

D.以上皆错

12.如已知A、B、C、D是空间四点，命题甲：

A、B、C、D四点不共面，命题乙：

直线AC和不相交。

①若甲，则乙，②若乙，则甲，则………………（）

A.①成立，②不成立 C.①②都成立

B.①不成立，②成立 D.①②都不成立

13.

（1）如图

（1），已知：

平面平面=直线EF，画出过点A、B、C的平面；

（2）如图

（2），已知：

ABCD-A1B1C1D1正方体，M、N、P分别为棱上的点，试画出过M、N、P的截面；

（3）如图（3），已知正方体ABCD-A1B1C1D1，试作出截面BB1D1D与截面A1C1B的交线，截面AB1D与截面A1C1B的交线。

14.

（1）求证：

三条互相平行的直线和一条直线都相交，这四条直线必在同一个平面内；

（2）已知是两两相交且不共点的四条直线，求证：

共面。

15.已知△ABC在平面外，其三边所在的直线

满足，如图所示，

M、N、P三点共线。

16.如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为AA1、D1C1的中点，过D、M、N的平面与正方体下底面相交于直线

（1）画出直线；

（2）画出a与正方体的各面的交线；

（3）记，求的长。

17.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BD与平面ACD1交于点O，BD与平面ACD1交于点M，

M、O、D1三点共线。

18.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点

（1）求证：

（1）E、C、D1、F四点共面。

（2）CE、D1F、DA三线共点。

19.在四面体ABCD中，E、F分别是AB和BC的中点，G、H分别是CD和AD上的点，且，求证：

EH、FG、BD相交于一点。

B组

1.如图所示，已知P、Q、R、S、M、N分别为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB、BC、CC1、C1D1、A1D1、A1A的中点，求证：

P、Q、R、S、M、N共面。

2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线B1D与平面A1BCD1相交于点P，

B、P、D1三点共线。

3.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为AB、AD中点，E1、F1分别为B1C1、C1D1中点，

（1）EF//E1F1；

EF=E1F1；

（2）∠EAF1=∠E1CF1

4.如图所示，P是△ABC所在平面外一点，D、E分别是△PAB和△PBC的垂心。

求证DE//AC，DE=AC

拓展迁移

1.如图所示，已知在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，且，

直线EG、FH、AC相交于一点。

2.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1相交于点O，AC、BD相交于点M，

点C1、O、M共线。

课后作业：

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