秦树人机械工程测试原理与技术习题解答.docx

秦树人机械工程测试原理与技术习题解答.docx

《秦树人机械工程测试原理与技术习题解答.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《秦树人机械工程测试原理与技术习题解答.docx（42页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

秦树人机械工程测试原理与技术习题解答

《测试技术与信号分析》

习题与题解

适用专业:

机械类、自动化

课程代码:

学时:

42-48

编写单位:

机械工程与自动化学院

编写人:

余愚

审核人:

审批人:

第二章习题解答

2-1．什么是信号？

信号处理的目的是什么？

2-2．信号分类的方法有哪些？

2-3．求正弦信号的均方值。

解：

也可先求概率密度函数：

则：

。

2-4．求正弦信号的概率密度函数p（x）。

解：

代入概率密度函数公式得：

2-5．求如下图所示周期性方波的复指数形式的幅值谱和相位谱

解在x（t）的一个周期中可表示为

该信号基本周期为T，基频0=2/T，对信号进行傅里叶复指数展开。

由于x（t）关于t=0对称，我们可以方便地选取-T/2≤t≤T/2作为计算区间。

计算各傅里叶序列系数cn

当n=0时，常值分量c0：

当n0时，

最后可得

注意上式中的括号中的项即sin（n0T1）的欧拉公式展开，因此，傅里叶序列系数cn可表示为

其幅值谱为：

，相位谱为：

。

频谱图如下：

2-6．设cn为周期信号x（t）的傅里叶级数序列系数，证明傅里叶级数的时移特性。

即：

若有

则

证明：

若x（t）发生时移t0（周期T保持不变），即信号x（t-t0），则其对应的傅立叶系数为

令，代入上式可得

因此有

同理可证

证毕！

2-7．求周期性方波的（题图2-5）的幅值谱密度

解：

周期矩形脉冲信号的傅里叶系数

则根据式，周期矩形脉冲信号的傅里叶变换，有

此式表明，周期矩形脉冲信号的傅里叶变换是一个离散脉冲序列，集中于基频以及所有谐频处，其脉冲强度为被的函数所加权。

与傅里叶级数展开得到的幅值谱之区别在于，各谐频点不是有限值，而是无穷大的脉冲，这正表明了傅里叶变换所得到的是幅值谱密度。

2-8．求符号函数的频谱。

解：

符号函数为

可将符号函数看为下列指数函数当a0时的极限情况

解

2-9．求单位阶跃函数的频谱：

解：

单位阶跃函数可分解为常数1与符号函数的叠加，即

所以：

2-10．求指数衰减振荡信号的频谱。

解：

2-11．设X（f）为周期信号x（t）的频谱，证明傅里叶变换的频移特性

即：

若

则

证明：

因为

又因为

证毕！

2-12．设X（f）为周期信号x（t）的频谱，证明傅里叶变换的共轭和共轭对称特性

即：

若

则

式中x*（t）为x（t）的共轭。

证明：

由于

上式两端用-f替代f得

上式右端即为x*（t）的傅里叶变换，证毕！

特别地，当x（t）为实信号时，代入x*（t）=x（t），可得X（f）共轭对称，即

2-13．设X（f）为周期信号x（t）的频谱，证明傅里叶变换的互易性

即：

若

则

证明：

由于

以-t替换t得

上式t与f互换即可得

即

证毕。

特殊情况,当为偶函数时，

2-14．用傅里叶变换的互易特性求信号g（t）的傅里叶变换G（f），g（t）定义如下：

且已知

解：

当a=2，不难看出g（t）与X（f）非常相似。

代入a=2，根据傅里叶变逆换有

等式两端同时乘以2，并用-t替代变量t得

交换变量t和f得

上式正是g（t）的傅立叶变换式，所以

2-15．所示信号的频谱

式中x1（t）,x2（t）是如图2-31b），图2-31c）所示矩形脉冲。

解：

根据前面例2-15求得x1（t）,x2（t）的频谱分别为

和

根据傅里叶变换的线性性质和时移性质可得：

图2-31

2-16．求信号x（t）的傅里叶变换

解：

由例2-16已知

注意到x（t）为实偶函数，t>0时，t<0时，所以，根据线性叠加特性

又根据时间比例特性有，所以

最后得

在实际应用中，一般为的实数

则

2-17．已知信号x（t）试求信号x（0.5t），x（2t）的傅里叶变换

解：

由例可知x（t）的傅里叶变换为

根据傅里叶变换的比例特性可得

如图2-32所示,由图可看出，时间尺度展宽（a<1.0）将导致其频谱频带变窄,且向低频端移动,这种情况为我们提高设备的频率分析围创造了条件,但是以延长分析时间为代价的;反之,时间尺度压缩（a>1.0）会导致其频谱频带变宽,且向高频端扩展,这种情况为我们提高信号分析速度提供了可能。

1

1

题图2-17时间尺度展缩特性示意图

2-18．求同周期的方波和正弦波的互相关函数

解：

因方波和正弦波同周期，故可用一个周期的计算值表示整个时间历程的计算值，又根据互相关函数定义，将方波前移τ秒后计算：

2-19．求信号的自相关函数。

解：

由定义

其中积分的被积函数的非零区间为的交集，即。

因此，当时，上式为

当时，则有

综合有

2-20．下面的信号是周期的吗？

若是，请指明其周期。

（1）（30）

（2）（12）

（3）（）

（4）（8）

2-21．如图所示，有个脉宽为的单位矩形脉冲等间隔（间隔为）地分布在原点两侧，设这个信号为，求其FT。

解：

由题意，

其中，其FT为。

根据FT的时移特性，可以求得

下面分析一下所求的结果。

当时，由罗彼塔法则可以求得，因此，是单个矩形脉冲频谱的N倍，这是N个矩形脉冲的谱相互叠加的结果；而当（m不是N的倍数）时，，这是N个谱相互抵消的结果。

见图（b）。

可以看出，如果N不断增大，这些等间隔分布的矩形脉冲的频谱能量逐渐向离散点处集中，而且幅度也越来越大。

特别地，当时，时域信号变成了周期矩形脉冲信号，而频域则变成了只在离散点处有值的离散谱，在这些点处的频谱幅度变成了冲激信号（因为能量趋于无穷大）。

这也应验了：

借助于冲激信号，周期信号也存在FT。

2-22．“时域相关性定理”可描述如下

试证明。

下面给出两种证明方法。

证明1：

这里利用式：

，是FT的“反褶共轭”性质。

证明2：

根据相关运算与卷积运算之间的关系

利用FT的“反褶共轭”性质，可以直接得到结论。

在式中，令，则可得

自相关的傅里叶变换

式中说明，“函数相关的FT是其幅度谱的平方”，换句话说，“函数的自相关函数与其幅度谱的平方是一对傅里叶变换对”。

利用FT的奇偶虚实性，若是实偶函数，那么也是实偶函数。

这样我们就得到了一个特例结论，

即当是实偶函数时，相关性定理与卷积定理是一致的。

2-24．帕斯瓦尔定理

证明：

第三章习题及题解

1试说明二阶装置的阻尼比ζ多采用ζ＝（0.6~0.7）的原因

二阶系统的幅频特性曲线和相频特性曲线

答：

二阶系统的阻尼比ζ多采用ζ＝（0.6~0.7）的原因，可以从两个主要方面来分析，首先，根据系统不失真传递信号的条件，系统应具有平直的幅频特性和具有负斜率的线性的相频特性，右图所示为二阶系统的幅频特性和相频特性曲线，严格说来，二阶系统不满足上述条件，但在一定的围，近似有以上关系。

在特性曲线中可以看出，当ω﹤0.3ωn时，ζ对幅频特性影响较小，φ（ω）－ω曲线接近直线。

A（ω）在该围的变化不超过10％，可作为不失真的波形输出。

在ω﹥（2.5～3.0）ωn围φ（ω）接近180˚，且差值甚小，如在实际测量或数据处理中用减去固定相位差的方法，则可以接近不失真地恢复被测输入信号波形。

若输入信号的频率围在上述两者之间，由于系统的频率特性受ζ的影响较大，因而需作具体分析。

分析表明，当ζ＝0.6～0.7时，在ω＝（0～0.58）ωn的频率围中，幅频特性A（ω）的变化不超过5％，此时的相频特性曲线也接近于直线，所产生的相位失真很小。

其次其他工作性能综合考虑，单位阶跃信号输入二阶系统时，其稳态输出的理论误差为零。

阻尼比将影响超调量和振荡周期。

ζ≥1，其阶跃输出将不会产生振荡，但需要经过较长时间才能达到稳态输出。

ζ越大，输出接近稳态输出的时间越长。

ζ﹤1时，系统的输出将产生振荡。

ζ越小，超调量会越大，也会因振荡而使输出达到稳态输出的时间加长。

显然，ζ存在一个比较合理的取值，ζ一般取值为0.6～0.7。

另外，在斜坡输入的情况下，ζ俞小，对斜坡输入响应的稳态误差2ζ/ωn也俞小，但随着ζ的减小，超调量增大，回调时间加长，当ζ＝0.6～0.7时,有较好的响应特性。

综上所述，从系统不失真传递信号的条件和其他工作性能综合考虑，只有ζ＝0.6～0.7时，才可以获得最佳的综合特性。

2试述信号的幅值谱与系统的幅频特性之间的区别

（1）对象不同，前者对象是信号；后者的对象是系统；

（2）前者反映信号的组成，后者反映系统对输入信号不同频率成分的幅值的缩放能力（3）定义不同：

处理方法各异：

前者是对信号付氏变换的模，后者是输出的付氏变换与输入的付氏变换之比的模

3已知信号x（t）=5sin10t+5cos（100t-π/4）+4sin（200t+π/6），通过传递函数为的测试系统，试确定输出信号的频率成分并绘出输出信号的幅值谱。

解：

将输入信号的各次谐波统一写成Xisin（ωit+φxi）的形式

x（t）=5sin10t+5sin（100t+π/4）+4sin（200t+π/6）

信号x（t）由三个简谐信号叠加而成，其频率、幅值、相位分别为

频率

幅值Xi

相位φxi

ω1=10

A1=5

φx1=0

ω2=100

A2=5

φx2=π/4

ω3=200

A3=4

φx3=π/6

设输出信号为y（t），根据频率保持特性，y（t）的频率成分应与x（t）的频率成分相同，各频率成分的幅值和相位可由输入信号的幅值和相位与测试系统频率响应特性H（ω）确定，根据题设条件，可得系统的频率响应函数

系统的幅频特性

输出信号y（t）的频率、幅值、初相位分别为

频率

幅值Yi=A（ωi）Xi

相位φyi=φ（ωi）+φxi

ω1=10

Y1=4.99

φy1=－0.05

ω2=100

Y2=4.47

φy2=0.32

ω3=200

Y3=2.83

φy3=－0.26

绘出y（t）的幅值谱如右图。

4ω在对某压力传感器进行校准时，得到一组输入输出的数据如下：

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

正行程平均值

220.2

480.6

762.4

992.3

1264.5

1532.8

1782.5

2012.4

2211.6

反行程平均值

221.3

482.5

764.2

993.9

1266.1

1534.1

1784.1

2013.6

2212.1

试计算该压力传感器的最小二乘线性度和灵敏度。

解由校准数据得知，该压力传感器近似线性特性，迟滞误差较小，可用平均校准曲线来计算

根据3－14式

数据序号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

∑

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

4.5

220.75

481.55

763.3

993.10

1265.30

1533.45

1783.3

2013.0

2211.85

11265.6

0.01

0.04

0.09

0.16

0.25

0.36

0.49

0.64

0.81

2.85

22.08

96.31

22