人教版必修五“解三角形”精选难题及其答案Word文档格式.docx
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θ<
π），OA=2OB=2，平面四边形OACB面积的最大值是（ ）
A.8+534 B.4+534 C.3 D.4+532
7.在△ABC中，a=1，b=x，∠A=30∘，则使△ABC有两解的x的范围是（ ）
A.（1，233） B.（1，+∞） C.（233，2） D.（1，2）
8.△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若AB+AC=2AO，且|OA|=|AC|，则△ABC的面积为（ ）
A.3 B.32 C.23 D.1
9.在△ABC中，若sinBsinC=cos2A2，则△ABC是（ ）
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
10.在△ABC中，已知∠C=60∘.a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，则ab+c+bc+a为（ ）
A.3−23 B.1 C.3−23或1 D.3+23
11.设锐角△ABC的三内角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，且
a=1，B=2A，则b的取值范围为（ ）
A.（2，3） B.（1，3） C.（2，2） D.（0，2）
12.在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足2bcosB=acosC+ccosA，若b=3，则a+c的最大值为（ ）
A.23 B.3 C.32 D.9
二、填空题（本大题共7小题，共35.0分）
13.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且acosC+12c=b，则角A的大小为______；
若a=1，则△ABC的周长l的取值范围为______．
14.在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对边的长分别为a，b，c.已知a+2c=2b，sinB=2sinC，则sinC2=______．
15.已知△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a−b=ccosB−ccosA，则△ABC的形状是______．
16.在△ABC中，若a2b2=tanAtanB，则△ABC的形状为______．
17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a−b）sinB=asinA−csinC，且a2+b2−6（a+b）+18=0，则AB⋅BC+BC⋅CA+CA⋅AB=______．
18.如果满足∠ABC=60∘，AC=12，BC=k的三角形恰有一个，那么k的取值范围是______．
19.已知△ABC的三个内角A，B，C的对边依次为a，b，c，外接圆半径为1，且满足tanAtanB=2c−bb，则△ABC面积的最大值为______．
三、解答题（本大题共11小题，共132.0分）
20.在锐角△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，且3a=2csinA．
（1）求角C的大小；
（2）若a=2，且△ABC的面积为332，求c的值．
21.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asinB=3bcosA．
（1）求角A的大小；
（2）若a=7，b=2，求△ABC的面积．
22.已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asinA−csinC=（a−b）sinB．
（2）若边长c=3，求△ABC的周长最大值．
23.已知函数f（x）=3sinxcosx−cos2x−12，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小值和最小正周期；
（2）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=3，f（C）=0，若向量m=（1，sinA）与n=（2，sinB）共线，求a，b的值．
24.已知△ABC中，A<
B<
C，a=cosB，b=cosA，c=sinC
（1）求△ABC的外接圆半径和角C的值；
（2）求a+b+c的取值范围．
25.△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足（2a−c）cosB=bcosC，
（1）求角B的大小；
（2）若△ABC的面积为为334且b=3，求a+c的值．
26.已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA−sinB）=（c−b）sinC
（2）求△ABC的面积的最大值．
27.已知函数f（x）=2cos2x+23sinxcosx（x∈R）．
（Ⅰ）当x∈[0，π]时，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若方程f（x）−t=1在x∈[0，π2]内恒有两个不相等的实数解，求实数t的取值范围．
28.已知A、B、C是△ABC的三个内角，向量m=（cosA+1，3），n=（sinA，1），且m//n；
（1）求角A；
（2）若1+sin2Bcos 2B−sin 2B=−3，求tanC．
29.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知sinC+cosC=1−sinC2
（1）求sinC的值
（2）若
a2+b2=4（a+b）−8，求边c的值．
30.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足：
（a+c）（sinA−sinC）=sinB（a−b）
（I）求角C的大小；
（II）若c=2，求a+b的取值范围．
答案和解析
【答案】
1.D 2.A 3.A 4.D 5.A 6.A 7.D
8.B 9.B 10.B 11.A 12.A
13.60∘；
（2，3]
14.24
15.等腰三角形或直角三角形
16.等腰三角形或直角三角形
17.−272
18.0<
k≤12或k=83
19.334
20.解：
（1）△ABC是锐角，a，b，c是角A，B，C的对边，且3a=2csinA．
由正弦定理得：
3sinA=2sinC⋅sinA
∵△ABC是锐角，
∴sinC=32，
故C=π3；
（2）a=2，且△ABC的面积为332，
根据△ABC的面积S=12acsinB=12×
2×
b×
sinπ3=332
解得：
b=3．
由余弦定理得c2=a2+b2−2abcosC=4+9−2×
3=7
∴c=7．
故得c的值为7．
21.（本题满分为14分）
解：
（1）∵asinB=3bcosA，由正弦定理得sinAsinB=3sinBcosA.…（3分）
又sinB≠0，
从而tanA=3.…（5分）
由于0<
A<
π，
所以A=π3.…（7分）
（2）解法一：
由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，而a=7，b=2，A=π3，…（9分）
得7=4+c2−2c=13，即c2−2c−3=0．
因为c>
0，所以c=3.…（11分）
故△ABC的面积为S=12bcsinA=332.…（14分）
解法二：
由正弦定理，得7sinπ3=2sinB，
从而sinB=217，…（9分）
又由a>
b知A>
B，
所以cosB=277．
故sinC=sin（A+B）=sin（B+π3）=sinBcosπ3+cosBsinπ3=32114.…（12分）
所以△ABC的面积为12bcsinA=332.…（14分）
22.解：
（1）由已知，根据正弦定理，asinA−csinC=（a−b）sinB
得，a2−c2=（a−b）b，即a2+b2−c2=ab．
由余弦定理得cosC=a2+b2−c22ab=12．
又C∈（0，π）．
所以C=π3．
（2）∵C=π3，c=3，A+B=2π3，
∴asinA=bsinB=332=2，可得：
a=2sinA，b=2sinB=2sin（2π3−A），
∴a+b+c=3+2sinA+2sin（2π3−A）
=3+2sinA+2（32cosA+12sinA）
=23sin（A+π6）+3
∵由0<
2π3可知，π6<
A+π6<
5π6，可得：
12<
sin（A+π6）≤1．
∴a+b+c的取值范围（23，33].
23.解：
（1）由于函数f（x）=3sinxcosx−cos2x−12=32sin2x−1+cos2x2−12=sin（2x−π6）−1，
故函数的最小值为−2，最小正周期为2π2=π．
（2）△ABC中，由于f（C）=sin（2C−π6）−1=0，可得2C−π6=π2，∴C=π3．
再由向量m=（1，sinA）与n=（2，sinB）共线可得sinB−2sinA=0．
再结合正弦定理可得b=2a，且B=2π3−A．
故有sin（2π3−A）=2sinA，化简可得tanA=33，∴A=π6，∴B=π2．
再由asinA=bsinB=csinC
可得asinπ6=bsinπ2=3sinπ3，
解得a=3，b=23．
24.解：
（1）由正弦定理csinC=2R=1，∴R=12．
再由a=cosB，b=cosA，可得cosBsinA=cosAsinB，故有sinAcosA=sinBcosB，
即sin2A=sin2B．
再由A<
C，可得2A+2B=π，∴C=π2．
（2）由于a+b+c=cosB+cosA+sinC=sinA+cosA+1=2sin（A+π4）+1．
再由O<
π4，可得π4<
A+π4<
π2，∴22<
sin（A+π4）<
1，
∴2<
2sin（A+π4）+1<
2+1，
即a+b+c的取值范围为（2，2+1）．
25.解：
（1）又A+B+C=π，即C+B=π−A，
∴sin（C+B）=sin（π−A）=sinA，
将（2a−c）cosB=bcosC，利用正弦定理化简得：
（2sinA−sinC）cosB=sinBcosC，
∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（C+B）=sinA，
在△ABC中，0<
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