人教A版高中数学选修2-1知识点总结Word文档格式.doc
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6、四种命题的真假性:
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
真
假
四种命题的真假性之间的关系:
两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;
两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.
7、若,则是的充分条件,是的必要条件.
若,则是的充要条件(充分必要条件).
8、用联结词“且”把命题和命题联结起来,得到一个新命题,记作.
当、都是真命题时,是真命题;
当、两个命题中有一个命题是假命题时,是假命题.
用联结词“或”把命题和命题联结起来,得到一个新命题,记作.
当、两个命题中有一个命题是真命题时,是真命题;
当、两个命题都是假命题时,是假命题.
对一个命题全盘否定,得到一个新命题,记作.
若是真命题,则必是假命题;
若是假命题,则必是真命题.
9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词,用“”表示.
含有全称量词的命题称为全称命题.
全称命题“对中任意一个,有成立”,记作“,”.
短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词,用“”表示.
含有存在量词的命题称为特称命题.
特称命题“存在中的一个,使成立”,记作“,”.
10、全称命题:
,,它的否定:
,.全称命题的否定是特称命题.
第二章圆锥曲线与方程
11、平面内与两个定点,的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹称为椭圆.这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距.
12、椭圆的几何性质:
焦点的位置
焦点在轴上
图形
标准方程
范围
且
顶点
、
轴长
短轴的长长轴的长
焦点
焦距
对称性
关于轴、轴、原点对称
离心率
准线方程
13、设是椭圆上任一点,点到对应准线的距离为,点到对应准线的距离为,则.
14、平面内与两个定点,的距离之差的绝对值等于常数(小于)的点的轨迹称为双曲线.这两个定点称为双曲线的焦点,两焦点的距离称为双曲线的焦距.
15、双曲线的几何性质:
或,
虚轴的长实轴的长
关于轴、轴对称,关于原点中心对称
渐近线方程
16、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线.
17、设是双曲线上任一点,点到对应准线的距离为,点到对应准线的距离为,则.
18、平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线.定点称为抛物线的焦点,定直线称为抛物线的准线.
19、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段,称为抛物线的“通径”,即.
20、焦半径公式:
若点在抛物线上,焦点为,则;
若点在抛物线上,焦点为,则.
21、抛物线的几何性质:
对称轴
轴
第三章空间向量与立体几何
22、空间向量的概念:
在空间,具有大小和方向的量称为空间向量.
向量可用一条有向线段来表示.有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向.
向量的大小称为向量的模(或长度),记作.
模(或长度)为的向量称为零向量;
模为的向量称为单位向量.
与向量长度相等且方向相反的向量称为的相反向量,记作.
方向相同且模相等的向量称为相等向量.
23、空间向量的加法和减法:
求两个向量和的运算称为向量的加法,它遵循平行四边形法则.即:
在空间以同一点为起点的两个已知向量、为邻边作平行四边形,则以起点的对角线就是与的和,这种求向量和的方法,称为向量加法的平行四边形法则.
求两个向量差的运算称为向量的减法,它遵循三角形法则.即:
在空间任取一点,作,,则.
24、实数与空间向量的乘积是一个向量,称为向量的数乘运算.当时,与方向相同;
当时,与方向相反;
当时,为零向量,记为.的长度是的长度的倍.
25、设,为实数,,是空间任意两个向量,则数乘运算满足分配律及结合律.
分配律:
;
结合律:
.
26、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量称为共线向量或平行向量,并规定零向量与任何向量都共线.
27、向量共线的充要条件:
对于空间任意两个向量,,的充要条件是存在实数,使.
28、平行于同一个平面的向量称为共面向量.
29、向量共面定理:
空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对,,使;
或对空间任一定点,有;
或若四点,,,共面,则.
30、已知两个非零向量和,在空间任取一点,作,,则称为向量,的夹角,记作.两个向量夹角的取值范围是:
31、对于两个非零向量和,若,则向量,互相垂直,记作.
32、已知两个非零向量和,则称为,的数量积,记作.即.零向量与任何向量的数量积为.
33、等于的长度与在的方向上的投影的乘积.
34、若,为非零向量,为单位向量,则有;
,,;
35、向量数乘积的运算律:
36、若,,是空间三个两两垂直的向量,则对空间任一向量,存在有序实数组,使得,称,,为向量在,,上的分量.
37、空间向量基本定理:
若三个向量,,不共面,则对空间任一向量,存在实数组,使得.
38、若三个向量,,不共面,则所有空间向量组成的集合是
.这个集合可看作是由向量,,生成的,
称为空间的一个基底,,,称为基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
39、设,,为有公共起点的三个两两垂直的单位向量(称它们为单位正交基底),以,,的公共起点为原点,分别以,,的方向为轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系.则对于空间任意一个向量,一定可以把它平移,使它的起点与原点重合,得到向量.存在有序实数组,使得.把,,称作向量在单位正交基底,,下的坐标,记作.此时,向量的坐标是点在空间直角坐标系中的坐标.
40、设,,则.
.
若、为非零向量,则.
若,则.
,,则.
41、在空间中,取一定点作为基点,那么空间中任意一点的位置可以用向量来表示.向量称为点的位置向量.
42、空间中任意一条直线的位置可以由上一个定点以及一个定方向确定.点是直线上一点,向量表示直线的方向向量,则对于直线上的任意一点,有,这样点和向量不仅可以确定直线的位置,还可以具体表示出直线上的任意一点.
43、空间中平面的位置可以由内的两条相交直线来确定.设这两条相交直线相交于点,它们的方向向量分别为,.为平面上任意一点,存在有序实数对,使得,这样点与向量,就确定了平面的位置.
44、直线垂直,取直线的方向向量,则向量称为平面的法向量.
45、若空间不重合两条直线,的方向向量分别为,,则
,.
46、若直线的方向向量为,平面的法向量为,且,则
47、若空间不重合的两个平面,的法向量分别为,,则
48、设异面直线,的夹角为,方向向量为,,其夹角为,则有
49、设直线的方向向量为,平面的法向量为,与所成的角为,与的夹角为,则有.
50、设,是二面角的两个面,的法向量,则向量,的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小.若二面角的平面角为,则.
51、点与点之间的距离可以转化为两点对应向量的模计算.
52、在直线上找一点,过定点且垂直于直线的向量为,则定点到直线的距离为.
53、点是平面外一点,是平面内的一定点,为平面的一个法向量,则点到平面的距离为.