《立体几何》专题(文科)Word下载.doc

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如果α∥β，aα，那么α∥β

如果aα，bα，cβ，dβ，a∥c，b∥d，a∩b=P，那么α∥β

如果aα，bα,a∩b=P,a∥β,b∥β，那么α∥β

如果α∥β，β∥γ，那么α∥γ

如果a⊥α，a⊥β，那么α∥β

线线垂直

线面垂直

面面垂直

平行关系

二垂线定理及逆定理

如果a⊥α，bα，那么a⊥b

如果三个平面两两垂直，那么它们交线两两垂直

如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c

如果a⊥b，a⊥c，bα，cα，b∩c=P，那么a⊥α

如果α⊥β，α∩β=b，aα,a⊥b，那么a⊥β

如果a⊥α，b∥a，那么b⊥α

定义（二面角等于900）

如果a⊥α，aβ，那么β⊥α

二、练习题：

1．l1∥l2，a，b与l1，l2都垂直，则a，b的关系是

A．平行B．相交C．异面D．平行、相交、异面都有可能

2．三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V，P、Q分别为AA1、CC1上的点，且满足AP=C1Q，则四棱锥B—APQC的体积是

A

B

D

C

A1

D1

C1

B1

P

Q

图1

A．B．C．D．

3．设、、为平面，、、为直线，则的一个充分条件是

A．　B．

C．D．

4．如图1，在棱长为的正方体中，P、Q是对角

线上的点，若，则三棱锥的体积为

A．B．C．D．不确定

5．圆台的轴截面面积是Q，母线与下底面成60°

角，则圆台的内切球的表面积是

ABQCQDQ　

6．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点，O为AC与BD的交点（如图），求证：

（1）EG∥平面BB1D1D；

（2）平面BDF∥平面B1D1H；

（3）A1O⊥平面BDF；

（4）平面BDF⊥平面AA1C．

7．如图，斜三棱柱ABC—A’B’C’中，底面是边长为a的正三角形，

侧棱长为b，侧棱AA’与底面相邻两边AB、AC都成450角，求

此三棱柱的侧面积和体积．

8．在三棱锥P—ABC中，PC=16cm，AB=18cm，PA=PB=AC=BC=17cm，求三棱锥的体积VP-ABC．

9．如图6为某一几何体的展开图，其中是边长为6的正方形，SD=PD=6，CR=SC，AQ=AP，点S、D、A、Q及P、D、C、R共线.

S

R

图6

沿图中虚线将它们折叠起来，使P、Q、R、S四点重合，请画出其直观图，试问需要几个这样的几何体才能拼成一个棱长为6的正方体？

N

图10

M

10．如图10，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=，

AA1=2，M、N分别是BB1、DD1的中点．

（1）求证：

平面A1MC1⊥平面B1NC1；

（2）若在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为V，

三棱锥M-A1B1C1的体积为V1，求V1：

V的值．

图11

E

11．直三棱柱ABC-A1B1C1中，，E是A1C的中点，

且交AC于D，（如图11）．

（I）证明：

平面；

（II）证明：

平面．

参考答案

1．D2．B3．D4．A5．D

6．解析：

（1）欲证EG∥平面BB1D1D，须在平面BB1D1D内找一条与EG平行的直线，构造辅助平面BEGO’及辅助直线BO’，显然BO’即是．

（2）按线线平行线面平行面面平行的思路，

在平面B1D1H内寻找B1D1和O’H两条关键的相交直线，

转化为证明：

B1D1∥平面BDF，O’H∥平面BDF．

（3）为证A1O⊥平面BDF，由三垂线定理，易得BD⊥A1O，

再寻A1O垂直于平面BDF内的另一条直线．

猜想A1O⊥OF．借助于正方体棱长及有关线段的关系

计算得：

A1O2+OF2=A1F2A1O⊥OF．

（4）∵CC1⊥平面AC，∴CC1⊥BD

又BD⊥AC，∴BD⊥平面AA1C

又BD平面BDF，∴平面BDF⊥平面AA1C

7．解析：

在侧面AB’内作BD⊥AA’于D，连结CD．

∵AC=AB，AD=AD，∠DAB=∠DAC=450

∴△DAB≌△DAC

∴∠CDA=∠BDA=900，BD=CD

∴BD⊥AA’，CD⊥AA’

∴△DBC是斜三棱柱的直截面

在Rt△ADB中，BD=AB·

sin450=

∴△DBC的周长=BD+CD+BC=（+1）a，△DBC的面积=

∴S侧=b（BD+DC+BC）=（+1）ab

∴V=·

AA’=

8．解析：

取PC和AB的中点M和N

∴

在△AMB中，AM2=BM2=172-82=25×

9

∴AM=BM=15cm，MN2=152-92=24×

6

∴S△AMB=×

AB×

MN=×

18×

12=108（cm2）

∴VP-ABC=×

16×

108=576（cm3）

9．解：

它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥（如图）．

第九题

需要3个这样的几何体可以拼成一个正方体.

H

G

10．解：

（1）取CC1的中点P，联结MP、NP、D1P（图18），

则A1MPD1为平行四边形∴D1P∥A1M，∵A1B1C1D1是边长

为的正方形，又C1P=，

∴C1PND1也是正方形，∴C1N⊥D1P．∴C1N⊥A1M．

又C1B1⊥A1M，∴A1M⊥平面B1NC1，又A1M平面A1MC1，

∴平面A1MC1⊥平面B1NC1；

（2）V=，VM-A1B1C1=VC-MA1B1=，∴V1：

V=

11．证明：

（I）证：

三棱柱中，

又平面，且平面，

平面

（II）证：

三棱柱中，

中，，是等腰三角形．

E是等腰底边的中点，

又依条件知

且

由①，②，③得平面EDB．

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