各种模态分析方法总结与比较Word格式文档下载.docx
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jr
URLR2
2-2
单自由度系统是一种很快速的方法，几乎不需要什么计算时间和计算机内存。
这种单自由度的假定只有当系统的各阶模态能够很好解耦时才是正确的。
然而实际情况通常并不是这样的，所以就需要用包含若干模态的模型对测得的数据进行近似，同时识别这些参数的模态，就是所谓的多自由度（MDOF法。
单自由度算法运算速度很快，几乎不需要什么计算和计算机内存，因此在当前小型二通道或四通道傅立叶分析仪中，都把这种方法做成内置选项。
然而随着计算机的发展，内存不断扩大，计算速度越来越快，在大多数实际应用中，单自由度方法已经让位给更加复杂的多自由度方法。
1、峰值检测
峰值检测是一种单自由度方法，它是频域中的模态模型为根据对系统极点进行局部估计（固有频率和阻尼）。
峰值检测方法基于这样的事实：
在
固有频率附近，频响函数通过自己的极值，此时其实部为零（同相部分最
小），而虚部和幅值最大（相移达90°
，幅度达峰值）图1。
出现极值的那
用半功率点法得到。
设
个固有频率就是阻尼固有频率r的良好估计。
相应的阻尼比r，的估计可
1和2分处在阻尼固有频率的两侧（1<
r<
2）,
则:
2-3
Hjr|"
VT"
2-4
2、模态检测
模态检测是根据频域中的模态模型对复模态
（或实模态）向量进行局
部估计的一种单自由度方法。
在hj
Qr
j
t
-UR
孚中略去剩余
项则单个频响函数在r处的值近似为:
Htjjr
Qr1rjr
jrrjr
Aljr
2-5
由此式可见，频响函数在r处的值乘以模态阻尼因
r，就是留数（的
估计值如图1。
利用这种模态检测方法之前，先要估计出
图1对频响应函数的幅值进行峰值和模态检测
3、圆拟合
圆拟合是一种单自由度方法，用频域中的模态模型对系统极点和复模
态（或实模态）向量进行局部估计。
此方法依据事实是：
单自由度系统的速度频响函数（速度对力）在奈奎斯特图（即实部对虚部）上呈现为一个圆。
如
r附近，频响函
果把其他模态的影响近似为一个复常数，那么在共振频率
数的基本公式为:
Htj
UjV
-Rj1
r
2-6
因此，首先要选择共振频率附近的一组频率响应点，通过这些点拟合成一个圆。
阻尼固有频率r可以看成是复平面上数据点之间角度变化率最大（角间隔最大）的那个点的频率，也可以看成是相位角与圆心的相位角最为接近的那个数据点的频率。
对于分得幵的模态而言，二者的差别是很小。
2-7
阻尼比r估计如下:
rtan力
式中1，2：
分居在r两侧的两个频率点:
2:
分别为频率点在1和2得半径与
r得半径之间的夹角。
圆的直径和阻尼固有频率点的角位置含有复留数
U+jV的信息:
^Ui^,tanU
rV
2-8
式中：
圆的直径
:
园心与固有频率点的连线跟虚轴之间的夹角.
圆拟合法速度也很快，但为避免结果出错，特别是在模态节点附近,
需要操作者参与。
（二）单自由度与多自由度系统
粘性阻尼单自由度SDO系统如图2的力平衡方程式表示惯性力、阻尼力、弹性力与外力之间的平衡
图2单自由度系统
MxtCxtKxtft
2-9
其中M:
质量C:
阻尼K：
xxx:
加速度，速度，位移f:
外力t时间变
量，把结构中所呈现出来的全部阻尼都近似为一般的粘性阻尼。
把上面的时间域方程变换到拉氏域复变量
P,并假设初始位移和初始
速度为零，则得到拉氏域方程：
Mp2Cp
Fp，或ZpXpFp
Z动刚度经过变换可得传递函数的定义，H
Z1p即XpHpFp
Hp——
p2C/MpK/M
2-10
上式右端的分母叫做系统特征方程，它的根即是系统的极点是:
J2
1,2C/2MVC/2MK/M
2-11
如果没有阻尼C=0,则所论系统是保守系统。
我们定义系统的无阻尼固有频率为:
1Jk/M
临界阻尼Cc的定义为使（）式中根式项等于零的阻尼值:
Cc2MJK/M
而临界阻尼分数或阻尼比Z1为：
Z1二CC,阻尼有时也有用品质因数即
Q因数表示:
系统按阻尼值的大小可以分成过阻尼系统（Z1>
1）、临界阻尼系统（Z1=1）和欠阻尼系统（Z1<
1）。
过阻尼系统的响应只含有衰减成分、没有振
荡趋势。
欠阻尼系统的响应时一种衰减振动，而临界阻尼系统则是过阻尼系统与欠阻尼系统之间的一种分界。
实际系统的阻尼比很少有大于10%的，除非这些系统含有很强的阻尼机
制，因此我们只研究欠阻尼的情形。
在欠阻尼的情况下式2-11两个共轭复根:
11j1，11j1
其中1为阻尼因子1为阻尼固有频率。
有关系统极点的另外一些关系式有:
1jj112
2-2式写成如下形式:
1/M
2-12
在展幵成部分分式形式，则有:
HP—A」—，这里A
P1P1
j21
2-13
这里的A和A是留数。
多自由度系统
多自由度系统可以用简单的力平衡代数方程演化成形式相似的一个
矩阵的方程。
下面是以而自由度系统为例。
如图:
该系统的运动方程如下:
M1X1C]C2X1tM2X2C2C3X2t
C2X2t
C2X1t
K1
K2
K2X-,tK2x2t
K3X21
1t
K2x1tf2t
2-14
写成矩阵形式是
M10X
0M2x2
C1C2
C2
C2C3
X2
K1K2
K2X1
K2K3X2
f22-15
或者M
2-16
其中［M、［q、
［的、｛f（t）｝和｛x（t）｝分别为质量矩阵、阻尼矩阵、刚度
矩阵、方向量和响应向量。
把这个时间域的矩阵方程变换到拉氏域（变量
为P）且假定初始位移和初始速度为零，则得:
p2MpC
2-17
或者是ZpXp
［Z（p）］
动刚度矩阵2-18
可以得到传递函数矩阵为:
2-19
adjZP
Zp|
式中adjZp:
Zp的伴随矩阵，等于
ijZij
ij
Zij:
Zp去掉第行第列后的行列式
如果ij等于偶数；
如果ij等于奇数；
传递函数矩阵含有幅值函数。
2-19式中的分母，即是ZP的韩烈士,
叫做系统的特征方程。
与单
2-17转
自由度情况一样，系统特征方程的根，即系统极点，决定系统的共振频率。
根据特征值问题，可以求出系统特征方恒的根。
为了把系统方程化为一般的特征值问题公式，加入下面的恒等式:
2-20
将此式与2-17式结合在一起得:
F'
2-21
其中
pX
X
如果力函数等于零，那么式2-19就成了关于实值矩阵的一般特征值问
题，其特征值马祖下列方程的P值:
2-22
它的根就是特征方程ZP0的根
对于
N各自由度系统，此方程有
2N个呈复共轭对出现的特征根:
2-23
同单自由度系统一样，多自由度系统的极点的实部
r是阻尼因子，虚
部r是阻尼固有频率。
（三）实模态和复模态
按照模态参数（主要指模态频率及模态向量）是实数还是复数，模态可以分为实模态和复模态。
对于无阻尼或比例阻尼振动系统，其各点的振
动相位差为零或180度，其模态系数是实数，此时为实模态；
对于非比例
阻尼振动系统，各点除了振幅不同外相位差也不一定为零或
180度，这样
模态系数就是复数，即形成复模态。
1复模态与实模态理论
在拟合频段,
实模态理论中传递函数在k点激励Z点响应的留数表达式
Hki
rRklejr
2
rarctan——r
Vr
k,l1,2,,n
r:
rrjVr
其中，rRkl为留数；
r和Vr构成的复数为系统的复特征值
拟合频段复模态理论中传递函数在k点激励f点响应的留数表达式为
n
Hki（）
IrRklkr
rRklejr
rl2jr
Vrr12Jr2Vr
rarctanr
k，l1，，n
由
（1）、
（2）式中可以看出，传递函数共振峰处复模态的相位与实模态相
位的差别在于多出的复留数相位r，由传递函数的逆变换可以得到脉冲响
应函数，由此可以得到物理坐标系中结构的自由响应表达式。
对于无阻尼结构,
t时刻第r阶模态k点的振动为
Xkr
krYrSinrtr
粘性比例阻尼：
时刻第
r阶模态k点的振动为
般粘性阻尼：
rt
krYrerSindrtr
式中，©
kr表示振型幅值；
Q表示模态频率；
0表示相位角。
可以看出，无阻尼和比例阻尼系统的初相位与初始条件有关，与物理坐标无关，具有模态（振型）保持性；
而一般粘性阻尼系统的初相位还与物理坐标k有关，每个物理坐标振动时并不同时达到平衡位置和最大位置，不具备模态保持性，是行波形式．但各物理坐标的相位差保持不变，各点的振动周期、衰减率仍保持相同J．从物理坐标点的自由响应公式还可看出，即使各测点留数为复数，但如果留数的相位差，即振型的幅角相同，那么还是可以得到振动周期内形状不变且节点固定的振型．这样模态虽是复模态，但表现出实模态的性质．因此实模态理论的实振型与复模态理论中复模态的差别在于各测点峰值相位差的大小．
2实模态提取方法
复模态理论中模态参数（特征值和特征向量）均为复数，在进行结构模型修正时大量采用复数矩阵和复数迭代运算，计算工作量大，效率低；
实模态理论中模态参数为实数，物理概念明确，后续结
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