函数概念与其三要素讲解Word格式文档下载.docx
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应特别注意：
①A中任一元素在B中应有象，且象唯一；
②B中可以有空闲元素，即B中可以有元素没有原象．
概括为：
“有原必有象，而且象唯一”可以多对一，但是不能一对多。
•看下面的例子：
设A，B分别是两个集合，为简明起见，设A，B分别是两个有限集
说明：
（2）（3）（4）这三个对应的共同特点是：
对于左边集合A中的任何一个元素，在右边集合B中都有唯一的元素和它对应◎映射的性质：
1任意性：
映射中的两个集合A,B可以是数集、点集或由图形组成的集合等；
2有序性：
映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；
3存在性：
映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象；
4唯一性：
映射中集合A的任一元素在集合B中的象是唯一的；
5封闭性：
映射中集合A的任一元素的象都必须是B中的元素，不要求B中的每一个元素都有原象，即A中元素的象集是B的子集.
映射三要素：
集合A、B以及对应法则f，缺一不可；
☆要点二：
函数和区间的概念
◎变量和常量
在一个变化过程中，数值发生变化的量，我们称之为变量，而数值始终保持不变的量，我们称之为常量。
◎函数的概念：
设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数．记作yf（x），xA．
◎函数的定义域与值域：
定义域：
函数的定义中，自变量x取值的范围叫做这个函数的定义域；
值域：
所有函数值构成的集合yyf（x）,xA叫做这个函数的值域．确定一个函数的两个要素：
定义域，对应法则．
•练习：
题1、f（x）x22x3，求f（0）、f
（1）、f
（2）、f（－1）的值。
→题2、求yx22x3,x{1,0,1,2}值域.
◎自变量取值范围的确定方法
1、自变量的取值范围必须使解析式有意义。
2、当解析式为整式时，自变量的取值范围是全体实数；
当解析式为分数形式时，自变量的取值范围是使分母不为0的所有实数；
当解析式中含有二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数大于等于0的所有实数，0次幂下的表达式底数不等于0，对数式函数保证真数大于0
3、自变量的取值范围必须使实际问题有意义。
4、复合函数的定义域求法根据：
函数的定义域都是指自变量“x”的范围；
同
一法则下括号内的范围相同◎区间的概念：
在数学里，区间通常是指这样的一类实数集合：
如果x和y是两个在集合里的数，那麽，任何x和y之间的数也属于该集合。
例如，由符合0≤x≤1的实数所构成的集合，便是一个区间，它包含了0、1，还有0和1之间的全体实数。
其他例子包括：
实数集，负实数组成的集合等。
区间在积分理论中起着重要作...设a、b是两个实数，且a<
b
（1）满足不等式a≤x≤b的实数的x集合叫做闭区间，表示为［a，b］；
（2）满足不等式a<
x<
b的实数的x集合叫做开区间，表示为（a，b）；
（3）满足不等式a≤x<
b的实数的x集合叫做半开半闭区间，表示为［a，b）；
（4）满足不等式a<
x≤b的实数的x集合也叫做半开半闭区间，表示为（a，b］．
（5）满足不等式x≥a的实数的x集合表示为［a，＋∞）；
（6）满足不等式x>
a的实数的x集合表示为（a，＋∞）；
（7）满足不等式x≤a的实数的x集合表示为（－∞，a］；
（8）满足不等式x<
a的实数的x集合表示为（－∞，a）；
（9）实数集表示为（－∞，＋∞）；
1、用区间表示：
R、{x|x≥a}、{x|x>
a}、{x|x≤b}、{x|x<
b}用区间表示：
函数y＝x的定义域，值域是。
•作业：
已知函数f（x）=3x2＋5x－2,求f（3）、f（-2）、f（a）、f（a+1）
☆要点三：
函数的图像◎函数图像的概念：
一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
◎描点法画函数图形的一般步骤第一步：
列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；
第二步：
描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；
第三步：
连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。
◎函数的三种表示方式：
4、解析式法：
两个变量之间的函数关系，一般可以用含有这两个变量的等式表示，即解析法，也叫关系式法。
函数的定义域的函数存在的前提，再写函数解析式的时候，一定要写出函数的定义域。
解析法的优点：
①函数关系清楚、精确②容易从自变量的值求出其对应的函数值③便于研究函数的性质。
解析法是中学研究函数的主要表达方法。
缺点：
并不是所有函数都有解析式，对于类似气温随时间变化的函数是没有解析式的，解析式是为了方便进行数学研究，当然，我们可以通过数学手段对一些东
西进行简单的函数拟和，从微积分的角度上来看，任何一小段（小到趋于0）的
连续图像都是线性的；
2、图像法：
将自变量与其对应的函数值，组成一组组实数对，作为点的坐标，在平面直角坐标系内把这些所有点的坐标描述出来，即可得到函数的图像，用图像表示函数关系的方法，也叫图像法。
图像法的优点：
能形象直观的表示出函数的变化趋势，是今后利用数形结合思想解题的基础。
图像法是最直观的，但是也是相对最不准确的，对于连续的函数，可以通过图像看出增减性、零点、顶点、对称轴的大概位置（就是坐标的范围），但是不能求出其具体位置。
所有函数都有图像，但并不是所有图像都有函数，比如圆的方程，因为函数要满足一一对应性。
在解决线性问题的时候，准确的函数图像可能可以直接让你看出答案。
3、列表法：
通过表格的形式来表示两个变量的函数关系，成为列表法。
列表法的优点：
不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值，当自变量的值的个数较少时使用，列表法在实际生产和生活中有广泛的应用。
缺点：
列表法有两个意义，第一，在已知函数部分性质的情况下，通过表中的数据比较函数的增减性；
第二，通过数据进行函数的拟和或者求函数，一般来说，列表只能看到函数的部分情况，而且不能判断函数的性质，当然，在知道函数是什么函数的情况下，列表可以助于求出函数解析式或者是做出函数的图像，列表法是对函数本身损失最大的，因为它丢失了大量的信息，但既然给出的数据列表法也是十分准确的；
【例】某种笔记本的单价是5元，买xx1,2,3,4,5个笔记本需要y元。
试用函数的三种表示法表示函数
解：
这个函数的定义域是数集{1，2，3，4，5}用解析法可将函数y=f（x）表示为：
y5x,x1,2,3,4,5用列表法可将函数表示为：
用图象法可将函数表示为下图：
25
20
15
10
5
函数的图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等。
☆要点四：
变换法求函数的图像
向左平移a个单位：
y1=y，x1-a=xy=f（x+a）;
平移变换向右平移a个单位：
y1=y，x1+a=xy=f（x-a）;
向上平移b个单位：
x1=x,y1+b=yy-b=f（x）;
向下平移b个单位：
x1=x,y1-b=yy+b=f（x）;
伸缩变换
横坐标变换：
把各点的横坐标x1缩短（当w>
1）时，或伸长（当0<
w<
1）时，1
到原来的倍纵坐标不变，即x1=wxy=f（wx）
w
纵坐标变换：
把各点的纵坐标y1伸长（A>
1）或缩短（0<
A<
1）到原来的
A倍（横坐标不变），即y1=Ayy1=Af（x）
2y0-y=f（2x0-x）
2y0-y=f（x）
y=f-1（x）
关于直线y=x对称：
x=y1
y=x1
正比例函数
一般地，?
形如y=?
kx?
（k是常数，?
k≠0?
）的函数，?
叫做正比例函数（proportionalfunction），其中k叫做比例系数．也就是说，形如y=?
kx，且k≠0的函数是正比例函数。
[正比例函数图象和性质]
一般地，正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点和（1，k）的直线．我们称它为直线y=kx.?
当k>
0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；
当k<
0时，?
直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．
（1）解析式：
y=kx（k是常数，k≠0）
（2）必过点：
（0，0）、（1，k）
（3）走向：
k>
0时，图像经过一、三象限；
k<
0时，?
图像经过二、四象限
（4）增减性：
0，y随x的增大而增大；
0，y随x增大而减小
（5）倾斜度：
|k|越大，越接近y轴；
|k|越小，越接近x轴
[正比例函数解析式的确定]——待定系数法
1.设出含有待定系数的函数解析式y=kx（k?
≠0）
2.把已知条件（一个点的坐标）代入解析式，得到关于k的一元一次方程
3.解方程，求出系数k
4.将k的值代回解析式
一次函数
[一次函数]
一般地，形如y=kx+b（k、b是常数，k0）函数，叫做一次函数.当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以正比例函数是一种特殊的一次函数．
[一次函数的图象及性质]
一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（-b，0）两点的一条直线，我k
们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.（当b>
时，向上平移；
当b<
0时，向下平移）
1）解析式：
y=kx+b（k、b是常数，k0）
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