中考隐形圆问题上课讲义文档格式.docx
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因点O是点C以点B为中心顺时针旋转45度并1:
√2缩小而得,所以把圆A旋转45度再1:
缩小即得O点路径。
如下图,转化为求定点A到定圆F的最长路径,即AF+FO=3。
二定线+定角
与一条定线的两端夹角一定的动点路径是以定线为弦,定角为圆周角的弧。
(1)矩形ABCD中,AB=10,AD=4,点P是CD上的动点,当∠APB=90°
时求DP的长.
AB为定线,∠APB为定角(90°
),P点路径为以AB为弦(直径)的弧,如下图,易得DP为2或8。
(2)如图,∠XOY=45°
,等边三角形ABC的两个顶点A、B分别在OX、OY上移动,AB=2,那么OC的最大值为
AB为定线,∠XOY为定角,O点路径为以AB为弦所含圆周角为45°
的弧,如下图,转化为求定点C到定圆M的最长路径,即CM+MO=+1+。
(3)已知A(2,0),B(4,0)是x轴上的两点,点C是y轴上的动点,当∠ACB最大时,则点C的坐标为_____.
作ΔABC的处接圆M,当∠ACB最大时,圆心角∠AMB最大,当圆M半径最小时∠AMB最大,即当圆M与y轴相切时∠ACB最大。
如下图,易得C点坐标为(0,2)或(0,-2)。
(4)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax^2-3ax-4a的图象经过点C(0,2),交轴于点A、B,(A点在点左侧),顶点为D.
①求抛物线的解析式及点A、B的坐标;
②将ΔABC沿直线BC对折,点A的对称点为A'
试求A'
的坐标;
③抛物线的对称轴上是否存在点P,使∠BPC=∠BAC?
若存在,求出点P的坐标;
若不存在,请说明理由.
简析③:
定线BC对定角∠BPC=∠BAC,则P点在以BC为弦的双弧上(关于BC对称),如下图所示。
三三点定圆
不在同一直线上的三点确定一个圆。
ΔABC中,∠A=45°
,AD⊥BC于D,BD=4,CD=6,求AD的长。
作ΔABC的外接圆,如下图,易得AD=7+5=12。
四四点共圆
对角互补的四边形四个顶点共圆(或一边所对两个角相等)。
如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P、E分别是线段AC、BC上的点,四边形PEFD为矩形,若AP=2,求CF的长。
因∠PEF=∠PDF=∠DCE=90°
,知D、F、C、E、P共圆,如下图,由∠1=∠2、∠4=∠5,易得ΔAPD∼ΔDCF,CF:
AP=CD:
AD,得CF=1.5。
五旋转生圆
1.如图,圆O的半径为5,A、B是圆上任意两点,且AB=6,以为AB边作正方形ABCD(点D、P在直线两侧),若AB边绕点P旋转一周,则CD边扫过的面积为_____。
CD旋转一周扫过的图形可以用两点确定,一是最远点距离为PC,二是最近点距离为P到直线CD的垂线段,从而确定两个圆,CD即为两圆之间的圆环,如下图。
2.如图,在ΔABC中,∠BAC=90°
,AB=5cm,AC=2cm,将ΔABC绕顶点C按顺时针方向旋转至ΔA'
B'
C的位置,则线段AB扫过区域的面积为_____。
扫过的阴影部分旋转拼合成如下圆心角为45度的扇环。
六动圆综合
1.动圆+定弦:
依据直径是圆中最长的弦,知此弦为直径时,圆最小。
如图,△ABC中,∠ABC=90°
AB=6,BC=8,O为AC的中点,过O作OE⊥OF,OE、OF分别交射线AB、BC于E、F,则EF的最小值为
.
图中显然O、E、F、B共圆,圆是动的,但弦BO=5,当BO为直径时最小,所以EF最小为5.
2.动圆+定线:
相切时为临界值。
如图,Rt△ABC中,∠C=90°
∠ABC=30°
AB=6,点D在AB边上,点E是BC边上一点(不与点B、C重合),且DA=DE,则AD的取值范围是
。
因DA=DE,可以D点为圆心以DA为半径作圆,则圆D与BC相切时,半径DE最小。
E向B点移动半径增大直至D到B处(不含B点),得2≤AD<
3。
3.动弦+定角:
圆中动弦所对的角一定,则当圆的直径最小时此弦长最小。
已知:
△ABC中,∠B=45°
,∠C=60°
,D、E分别为AB、AC边上的一个动点,过D分别作DF⊥AC于F,DG⊥BC于G,过E作EH⊥AB于H,EI⊥BC于I,连FG、HI,
求证:
FG与HI的最小值相等。
可以看HI何时最小,因B、H、E、I共圆,且弦HI所对圆周角一定,所以当此圆直径最小时弦HI最小,即当BE最小时,此时BE⊥AC,解△OHI可得HI的最小长度。
同样可求FG的最小长度。
此题可归纳一般结论:
当∠ABC=α,∠ACB=β,BC=m时,FG和HI的最小值均为m*sinα*sinβ。
达标测试:
1.BC=AC=6,∠BCA=90°
,∠BDC=45°
,AD=2,求BD.
2.如图,将线段AB绕点A逆时针旋转60°
得到线段AC,继续旋转α(0°
<α<120°
)得到线段AD,连接CD,BD,则∠BDC的度数为
3.如图,在边长为2√3的等边△ABC中,动点D、E分别在BC、AC边上,且保持AE=CD,连接BE、AD,相交于点P,则CP的最小值为____.
4.如图,E是正方形ABCD的边AB上的一点,过点E作DE的垂线交∠ABC的外角平分线于点F,求证:
FE=DE.
5.当你站在博物馆的展厅中时,你知道站在何观赏最理想吗?
如图,设墙壁上的展品最高点P距离地面2.5米,最低点Q距地面2米,观察者的眼睛E距地面1.6米,当视角∠PEQ最大时,站在此处观赏最理想,则此时E到墙壁的距离为
米.
6.如图直线y=x+2分别与x轴,y轴交于点M、N,边长为1的正方形OABC的一个顶点O在坐标系原点,直线AN与MC交于点P,若正方形OABC绕点O旋转一周,则点P到点(0,1)长度的最小值是____.
2016•淮安填压)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°
,AC=6,BC=8,点F在边AC上,并且CF=2,点E为边BC上的动点,将△CEF沿直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离的最小值是 .
【分析】如图,延长FP交AB于M,当FP⊥AB时,点P到AB的距离最小,利用△AFM∽△ABC,得到=求出FM即可解决问题.
【解答】解:
如图,延长FP交AB于M,当FP⊥AB时,点P到AB的距离最小.(点P在以F为圆心CF为半径的圆上,当FP⊥AB时,点P到AB的距离最小)
∵∠A=∠A,∠AMF=∠C=90°
,
∴△AFM∽△ABC,
∴=,
∵CF=2,AC=6,BC=8,
∴AF=4,AB==10,
∴FM=3.2,
∵PF=CF=2,
∴PM=1.2
∴点P到边AB距离的最小值是1.2.
故答案为1.2.
(2016•无锡填空倒2)如图,已知▱OABC的顶点A、C分别在直线x=1和x=4上,O是坐标原点,则对角线OB长的最小值为 .
【分析】过点B作BD⊥直线x=4,交直线x=4于点D,过点B作BE⊥x轴,交x轴于点E.则OB=.由于四边形OABC是平行四边形,所以OA=BC,又由平行四边形的性质可推得∠OAF=∠BCD,则可证明△OAF≌△BCD,所以OE的长固定不变,当BE最小时,OB取得最小值,从而可求.
过点B作BD⊥直线x=4,交直线x=4于点D,过点B作BE⊥x轴,交x轴于点E,直线x=1与OC交于点M,与x轴交于点F,直线x=4与AB交于点N,如图:
∵四边形OABC是平行四边形,
∴∠OAB=∠BCO,OC∥AB,OA=BC,
∵直线x=1与直线x=4均垂直于x轴,
∴AM∥CN,
∴四边形ANCM是平行四边形,
∴∠MAN=∠NCM,
∴∠OAF=∠BCD,
∵∠OFA=∠BDC=90°
∴∠FOA=∠DBC,
在△OAF和△BCD中,
∴△OAF≌△BCD.
∴BD=OF=1,
∴OE=4+1=5,
∴OB=.
由于OE的长不变,所以当BE最小时(即B点在x轴上),OB取得最小值,最小值为OB=OE=5.
故答案为:
5.
(2017•南通选压)如图,矩形ABCD中,AB=10,BC=5,点E,F,G,H分别在矩形ABCD各边上,且AE=CG,BF=DH,则四边形EFGH周长的最小值为( )
A.5B.10C.10D.15
【分析】作点E关于BC的对称点E′,连接E′G交BC于点F,此时四边形EFGH周长取最小值,过点G作GG′⊥AB于点G′,由对称结合矩形的性质可知:
E′G′=AB=10、GG′=AD=5,利用勾股定理即可求出E′G的长度,进而可得出四边形EFGH周长的最小值.
作点E关于BC的对称点E′,连接E′G交BC于点F,此时四边形EFGH周长取最小值,过点G作GG′⊥AB于点G′,如图所示.
∵AE=CG,BE=BE′,
∴E′G′=AB=10,
∵GG′=AD=5,
∴E′G==5,
∴C四边形EFGH=2E′G=10.
故选:
B.
(2018•镇江选压)如图,一次函数y=2x与反比例函数y=(k>0)的图象交于A,B两点,点P在以C(﹣2,0)为圆心,1为半径的⊙C上,Q是AP的中点,已知OQ长的最大值为,则k的值为( )
A.B.C.D.
【分析】作辅助线,先确定OQ长的最大时,点P的位置,当BP过圆心C时,BP最长,设B(t,2t),则CD=t﹣(﹣2)=t+2,BD=﹣2t,根据勾股定理计算t的值,可得k的值.
连接BP,
由对称性得:
OA=OB,
∵Q是AP的中点,
∴OQ=BP,
∵OQ长的最大值为,
∴BP长的最大值为×
2=3,
如图,当BP过圆心C时,BP最长,过B作BD⊥x轴于D,
∵CP=1,
∴BC=2,
∵B在直线y=2x上,
设B(t,2t),则CD=t﹣(﹣2)=t+2,BD=﹣2t,
在Rt△BCD中,由勾股定理得:
BC2=CD2+BD2,
∴22=(t+2)2+(﹣2t)2,
t=0(舍)或﹣,
∴B(﹣,﹣),
∵点B在反比例函数y=(k>0)的图象上,
∴k=﹣=;
C.
(2018•无锡)如图,已知∠XOY=60°
,点A在边OX上,OA=2.过点A作AC⊥OY于点C,以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC,点P是△ABC围成的区域(包括各边)内的一点,过点P作PD∥OY交OX于点D,作PE∥OX交O