高考数学立体几何变式题练习docWord文件下载.docx

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高考数学立体几何变式题练习docWord文件下载.docx

由于底面的高为1,所以.

故所求全面积

      .

这个几何体的体积

(Ⅲ)因为,所以与所成的角是.

   在中,,

   故.

2.(人教A版,必修2,P20.例3)

如图2,已知几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图.

变式题2-1.如图2-1.已知几何体的三视图(单位:

cm).

(Ⅰ)画出它的直观图(不要求写画法);

(Ⅱ)求这个几何体的表面积和体积.

解(Ⅰ)这个几何体的直观图如图2-2所示.

(Ⅱ)这个几何体是一个简单组合体,它的下部是一个圆柱(底面半径为1cm,高为2cm),它的上部是一个圆锥(底面半径为1cm,母线长为2cm,高为cm).

所以所求表面积,

所求体积.

变式题2-2.如图2-3,已知几何体的三视图(单位:

(Ⅲ)设异面直线、所成角为,求.(理科考生)

(Ⅰ)这个几何体的直观图如图2-4所示. 

(Ⅱ)这个几何体可看成是由正方体及直三棱柱的组合体.

由,,

可得.

故所求几何体的全面积

所求几何体的体积

(Ⅲ)由,且,可知,

故为异面直线、所成的角(或其补角).

由题设知,,

取中点,则,且,

由余弦定理,得

                .

3.(北师大版.必修2.P31.第4题)

如图3,已知E,F分别是正方体的棱和棱上的点,且,求证:

四边形是平行四边形

变式题:

如图3-1.已知、分别是正方体的棱和棱的中点.

(Ⅰ)试判断四边形的形状;

(Ⅱ)求证:

平面平面.

解(Ⅰ)如图3-2,取的中点,连结、.

∵、分别是和的中点,

∴,

在正方体中,有

, ∴,

∴四边形是平行四边形,

∴.

又、分别是、的中点,

∴四边形为平行四边形,

故.

∴四边形是平行四边形.

又≌,

故四边形为菱形.

(Ⅱ)连结、、.∵四边形为菱形,

∴平面.

又平面,

又,

故平面平面

4.(人教A版,必修2,P74.例2)

如图4,在正方体中,求直线与平面所成的角.

如图4-1,已知正四棱柱中,底面边长,侧棱的长为4,过点作的的垂线交侧棱于点,交于点.

(Ⅰ)求证:

平面;

(Ⅱ)求与平面所成的角的正弦值.

(Ⅰ)如图4-2,以为原点,、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系.

设,则.

∵,∴.

∴,∴,.

∴且.

∴且.∴平面.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知是平面的一个法向量,又,

∴与平面所成角的正弦值为.

5.(人教A版,必修2,P87,第10题)

如图5,已知平面,且是垂足,试判断直线与的位置关系?

并证明你的结论.

变式题5-1,如图5,已知平面,且是垂足.

(Ⅱ)若,试判断平面与平面的位置关系,并证明你的结论.

变式题5-1,如图5,已知平面,

且是垂足.

解(Ⅰ)因为,所以.同理.

又,故平面.

(Ⅱ)设与平面的交点为,连结、.

因为平面,所以,

所以是二面角的平面角.

又,所以,即.

在平面四边形中,,

所以.

故平面平面.

变式题5-2.如图5-1,已知直二面角,与平面、所成的角都为,.

为垂足,为垂足.

(Ⅰ)求直线与所成角的大小;

(Ⅱ)求四面体的体积.

(Ⅰ)如图5-2,在平面内,作,连结、.则四边形为平行四边形,所以,即为直线与所成的角(或其补角).

因为.

所以.同理.

又与平面、所成角为,所以,,所以,.

在中,,从而.

因为,且为平行四边形,

又,所以.

故平面,从而.

在中,.

所以,

即直线与所成角的大小为.

(Ⅱ)在中,,所以.

三角形的面积,

故四面体的体积

6.(人教A版,必修2,P87,B组第1题)

如图5,边长为2的正方形ABCD中,

(1)点是的中点,点是的中点,将分别沿折起,使两点重合于点,求证:

(2)当时,求三棱锥的体积.

变式题.如图5-1,在矩形中,是的中点,以为折痕将向上折起,使为,且平面平面.

(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.

解(Ⅰ)在中,,

在中,,

∵,

∵平面平面,且交线为,

∵平面,

(Ⅱ)设与相交于点,由(Ⅰ)知,

∴平面,

∴平面平面,且交线为,

如图6-2,作,垂足为,则平面,

连结,则是直线与平面所成的角.

由平面几何的知识可知,∴.

在中,,可求得.

∴直线与平面所成的角的正弦值为.

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