计算方法上机题目Word格式文档下载.docx

计算方法上机题目Word格式文档下载.docx

《计算方法上机题目Word格式文档下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《计算方法上机题目Word格式文档下载.docx（11页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

3．绘图程序的设计模式

#include"

graphics.h"

main（）

{intgraphdriver=DETECT,graphmode;

initgraph（&

graphdriver,&

graphmode,"

"

）;

调用绘图函数进行绘图

closegraph（）;

}

实验内容：

实验一

实验题目：

编写程序求多项式

在某一点x的值。

相关知识：

秦九韶算法（递推计算公式）

递推关系的由来：

因为可以改写为

此法只用n次加法和n次乘法，称此算法为秦九韶（约1202~1261，南宋四川人，著有《数书九章》）算法。

国外称秦九韶算法为Horner（霍纳）规则，其实Horner于1819年才提出此算法，比秦九韶晚了500多年。

数据结构：

一维数组

算法设计：

（略）

编写代码：

实验用例：

自选

实验要求：

编写通用程序——能够求任意多项式在任意一点的值。

建议：

画出多项式的曲线。

实验二

Lagrange插值多项式

通过n+1个节点的次数不超过n的Lagrange插值多项式为：

其中，Lagrange插值基函数，k=0,1,…,n。

两个一维数组或一个二维数组

已知函数y=f（x）的一张表：

x

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

y

5

1

7.5

3

4.5

8.8

15.5

6.5

-5

-10

-2

7

试验要求：

利用Lagrange插值多项式求被插值函数f（x）在点x=65处的近似值。

画出Lagrange插值多项式的曲线。

实验三

Newton插值多项式

通过n+1个节点的次数不超过n的Newton插值多项式为：

已知函数y=f（x）的一张表（同实验二）

利用Newton插值多项式求被插值函数f（x）在点x=65处的近似值。

画出Newton插值多项式的曲线。

实验四

Hermite插值多项式

通过n+1个节点的次数不超过2n+1的Hermite插值多项式为：

其中，Hermite插值基函数

三个一维数组或一个二维数组

已知函数y=f（x）的一张表（其中）：

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.904837

0.818731

0.740818

0.670320

0.606531

m

-0.904837

-0.818731

-0.740818

-0.670320

-0.606531

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

0.548812

0.496585

0.449329

0.406570

0.367879

-0.548812

-0.496585

-0.449329

-0.406570

-0.367879

利用Hermite插值多项式求被插值函数f（x）在点x=0.55处的近似值。

画出Hermite插值多项式的曲线。

实验五

曲线拟合的最小二乘法

已知C[a,b]中函数f（x）的一组实验数据（xi,yi）（i=0,1,…,m），其中yi=f（xi）。

设是C[a,b]上线性无关函数族。

在中找函数f（x）曲线拟合的最小二乘解，其法方程（组）为：

其中，

k=0,1,…,n

特别是，求函数f（x）曲线拟合的线性最小二乘解的计算公式为：

68

67.1

66.4

65.6

64.6

61.8

61.0

60.8

60.4

利用曲线拟合的线性最小二乘法求被逼近函数f（x）在点x=55处的近似值，并画出实验数据和直线。

实验六

复化求积公式

将积分区间[a,b]n等分，节点xk=a+kh，k=0,1,…,n,步长。

复化梯形公式为：

再将每个小区间二等分，即整个积分区间[a,b]2n等分，此时复化梯形公式为。

复化梯形公式的递推关系为

其中，，。

复化梯形公式的算法如下

第一步：

n=1,h=b-a；

第二步：

；

第三步：

计算；

第四步：

第五步：

n=2n,h=h/2；

第六步：

若（事先给定的误差精度），则转第三步；

第七步：

输出Tn和等分数n/2，结束算法。

利用复化梯形求积公式求的近似值（积分的精确值I=-12.0703463164，），误差精度。

实验七

Romberg求积公式

用两个相邻的近似公式（其中后一个公式是由前一个公式的分半得到的）的线性组合而得到更好的近似公式的方法，就是近代电子计算机上常用的Romberg求积方法，也叫逐次分半加速（收敛）法。

设以表示二分k次后求得的梯形值，且以表示序列{}的j次加速值。

Romberg求积公式的T表如下

k

h

…

b-a

2

4

Romberg求积公式（逐次分半加速公式）如下

一个二维数组

Romberg求积公式的算法如下

取k=0，h=b-a，求

令1→k（k记区间[a,b]的二分次数）

⑴求梯形值，按梯形的递推公式；

⑵求加速值，按公式逐个求出T表的第k行其余各元素（j=1,2,…,k）；

⑶若（预先给定的误差精度），k+1→k，则转⑴；

输出和等分数（或二分次数k），结束算法。

利用Romberg求积公式求上述定积分（），误差精度。

实验八

用Gauss消元法求解线性代数方程组

在做除法运算时，分母的绝对值越小，舍入误差就越大。

因此，消元的每一步都先选取绝对值比较大的元素（称作主元），用它作分母再消元。

这就是主元素消去法的基本思想。

用一个二维数组存储线性代数方程组的增广矩阵；

线性代数方程组的解最后存储在增广矩阵的最后一列上。

用列主元Gauss消元法求解线性代数方程组（同时求出系数行列式的值det）的算法为

det←1;

对于k=1,2,…,n-1

⑴按列选取主元，找，使

⑵如果（最好是，为预先给定的一个非常小的数），则det=0，计算停止

⑶如果（或），则换行

①

②det←-det

⑷消元计算，对于i=k+1,k+2,…,n

②对于j=k+1,k+2,…,n+1

⑸

如果（最好是，为预先给定的一个非常小的数），则det=0，计算停止，否则，回代求解

⑴

⑵对于i=n-1，n-2，…，1

1对于j=i+1,i+2,…,n

2

线性代数方程组为

利用列主元的Gauss消元法求解上述线性代数方程组（精确解为），并同时求出系数行列式的值。

实验九

直接三角分解法

有矩阵A的三角LU分解，则求解线性代数方程组Ax=b的问题就等价于求解两个三角方程组Ly=b和Ux=y。

而利用矩阵相等则对应元素相等的事实，可逐一求出系数矩阵A的三角分解中L和U的各元素。

分解过程的计算公式如下

一个一维数组先后存储b、y和x；

一个二维数组先存储A，后被L和U覆盖（二者中的零元素不用存，L的对角元1亦不用存）

利用直接三角分解法求解线性代数方程组的算法

分解对于r=1,2,…,n-1

⑴求L的r列对于i=r+1,r+2,…,n

⑵求U的r+1行

①l←r+1

②对于i=l，l+1，…,n

求解Ly=b（解存储在b中）对于i=2，3，…,n

求解Ux=b（即y，解仍然覆盖b）

利用直接三角分解法求解上述线性代数方程组（精确解为）

实验十

求解线性代数方程组的迭代法

求解线性代数方程组的Gauss-Seidel迭代法的计算公式如下

一个一维数组和一个二维数组

用Gauss-Seidel迭代法求解线性代数方程组的算法如下

对于i=1，2，…，n

（取零向量为初始向量）

e←0

⑵对于j=1，2，…，n但

⑶

⑷若，则

若（预先给定的误差精度），则转到第二步

输出并停止计算

利用Gauss-Seidel迭代法（或Jacobi迭代法）求解上述线性代数方程组（它的精确解为）。