数学模型投掷标枪Word文件下载.docx
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2014年7月16日
1绪论
1.1课题的背景
标枪是田径运动的投掷项目之一,对核心力量与大腿手臂力量要求严格,但是实际上,标球运动并不是一项只靠身体素质就能取得好成绩的运动,除了与选手的比赛状态有关外,还与选手所采用的技术有关。
而本次我们就来研究一下在确定的力量与身高下求最佳的出手角度。
进而再研究通过一定的训练使力量增加,研究力量与出手角度和距离的关系。
建立标枪掷远模型。
不考虑阻力,设标枪初速度为,出手高度为,出手角度为(与地面夹角),建立投掷距离与,,的关系式,计算在确定的,下,计算最佳出手角度,进而研究出手速度与出手角度的关系。
1.2预备知识
上述问题是最优化问题,首先应该考虑投掷距离与初速度、出手高度和出手角度之间的关系,这个需要用到一定的物理知识:
抛体运动的水平位移和竖直位移的计算方法。
在得到这个关系后,进而转化为初速度、出手高度一定的情况下,求解最佳出手角度。
2计算机工具简介
MATLAB具有非常丰富的图像表达功能,它提供了丰富的作图命令,利用它们可以容易地画出各种函数的二维或三维曲线图形,可以方便地实现数学计算的结果可视化,从中掌握函数的性质和变化趋势,从而求出模型的最优解。
本模型将首先计算出虑投掷距离与初速度、出手高度和出手角度之间的函数关系式,接着在初速度、出手高度一定的情况下,找出投掷距离与出手角度之间的关系。
然后给出一组具体的初速度和出手高度,利用MATLAB作图工具绘制出投掷距离和出手角度的关系图,从曲线中掌握函数的变化趋势,最终求出最优解。
再对出手角度与出手速度都未知求它们与最远距离的关系,以及出手角度与出手速度的对最远距离的影响关系。
3模型的假设
3.1模型假设
(1)标枪运行的过程中没有任何阻力;
(2)可以将标枪看作一个质点;
(3)投射角度与投射初速度是两个相互独立的量;
(4)设当地的重力加速度为,且取值为9.8m/s,并在投掷的任意点都相等;
(5)标枪运动轨迹在同一平面内,且地面处处水平。
(6)不考虑标枪的旋转。
3.2符号说明
:
标枪初速度;
在水平方向上的分量;
:
在竖直方向上的分量;
重力加速度;
投射高度;
出手角度;
标枪运行的时间;
标枪在水平方向的位移(即为投掷距离);
标枪在竖直方向的位移。
4模型的建立与求解
一、在确定的,下计算最佳出手角度
由题目所示,再根据物理知识可得,标枪投掷轨迹为一抛物线,且初速度和出手高度一定,因此可以建立一个平面直角坐标系,分别对水平和竖直两个方向进行分析,标枪投掷出去后,它在水平方向作匀速直线运动,在竖直方向受重力影响作竖直上抛运动,加速度为。
所以标枪的运动轨迹为两个运动的叠加,图像如图1所示。
图4.1标枪投掷轨迹图
出手时的速度可以分解为:
水平方向:
垂直方向:
则有水平位移和竖直位移分别为:
消去,有
令方程中的为0,有:
舍去负根,有:
取=1.8m,=10m/s,利用MATLAB作图工具绘制出投掷距离和出手角度的关系图。
a=[0:
0.01:
1.57]
x=(25.*sin(2*a))./19.6+sqrt(((25.*sin(2*a))./19.6).*((25.*sin(2*a))./19.6)+(360.*(cos(a)).*(cos(a)))./9.8)
plot(a,x)
title('
标枪投掷距离与出手角度的关系'
)
xlabel('
出手角度'
ylabel('
投掷距离'
grid
结果如图4.2所示:
图4.2标枪投掷距离与出手角度的关系图
由图可知,最大值的坐标为(0.40,6.50)。
二、研究不同的出手速度下最佳的出手角度
当和一定时,研究的变化对出手角度的影响。
便为关于的函数,即:
则对求一阶导数为:
令,有:
解得:
所以在给定出手高度,对于不同的出手速度,为最佳出手角度。
将上式代入
中,得:
Matlab命令:
1.在给定出手速度v下要达到最大射程时对应的角度
函数文件:
functionf=fun_sv(v)
f=0.5*acos(1.8*9.8/(1.8*9.8+v*v))/pi*180;
绘出图像:
fplot('
fun_sv'
[0,100]);
速度Vm/s'
);
角度'
v不同得到最大投掷距离时对应的角度曲线'
axis([050060]);
结果如图4.3所示:
图4.3出手速度不同时得到最大投掷距离对应的角度曲线
5模型结果
5.1模型的评价
标枪的投掷模型在运动员训练比赛中经常能够遇到,在运动员身体条件大致相当的情况下,该模型具有一定的参考价值结合实际情况对问题进行求解,使得模型具有很好的通用性和推广性,而且模型的最终计算方法简便,计算过程简单,最终得到结果与理论基本相符。
但是由于条件限制,本模型考虑得是标枪在没有任何阻力的情况下,而实际情况中都会有一定的阻力。
此外,标枪投掷的距离由很多因素决定,重力加速度也会随地域的不同而变化。
我们建立的模型只是简单地研究了这个问题,比起实际问题的复杂程度,有很多因素没有考虑到。
5.2模型的推广
本模型不仅可以用于标枪投掷问题,还可以推广到其他运动中。
运用该模型的目的就是确定出手角度和最大投掷距离。
此外,还可以根据此来引导运动员的一些运动习惯,从而在训练和比赛中队运动员和教练有一定的理论指导意义。
结论
标枪运动作为一个传统的比赛项目,对增强体质,特别是发展躯干和上下肢力量有显著的作用。
如何能够在比赛中取得更好的成绩,是个困扰很多运动员和教练的问题。
因此,能够通过数学模型的知识解决这个问题是很有意义的。
本模型首先建立了铅球投掷的轨迹图,然后根据物理知识,把该运动分为水平和竖直两个方向来考虑,计算出虑投掷距离与初速度、出手高度和出手角度之间的函数关系式,接着在初速度、出手高度一定的情况下,找出投掷距离与出手角度之间的关系。
得到结论是:
在=1.8m,=10m/s时,出手的角度约为0.40(约为23度),投掷距离约为6.5m。
当出手角度为时,标枪投得最远。
由图4.3得,不同的出手速度对应不同的最佳角度,速度不断增加的时候,角度趋于45°
。
根据不同运动员的具体情况可从图4.3中确定最佳出手角度。
参考文献
[1]冯杰,黄力伟,王勤,易成义.数学建模原理与案例[M].北京:
科学出版社,2007:
222-226.
[2]姜启源,谢金星,叶俊.数学模型(第三版)[M].北京:
高等教育出版社,2003.8:
135-153,248-262,358-375.