函数的定义域和值域Word文档格式.docx

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例求下列函数的定义域（用区间表示）

（1）；

解：

，解得函数定义域为.

例当a取何实数时，函数y=lg（-x2+ax+2）的定义域为（-1，2）?

分析：

可转化为：

确定a值，使关于x的不等式-x2+ax+2>

0的解集为（-1，2）.

-x2+ax+2>

0x2-ax-2<

0，故由根与系数的关系知a=（-1）+2=1即为所求.

练习、求下列函数的定义域

（1）

（2）

抽象函数定义域

【类型一】“已知f（x），求f（…）”型

例：

已知f（x）的定义域是[0，5]，求f（x+1）的定义域。

【类型二】“已知f（…），求f（x）”型

已知f（x+1）的定义域是[0，5]，求f（x）的定义域。

【类型三】“已知f（…），求f（…）”型

已知f（x+2）的定义域为[-2，3），求f（4x-3）的定义域。

【思路】f（…）f（x）f（…）

例.函数的定义域为，则函数的定义域是___。

分析：

因为相当于中的x，所以，解得

或。

例已知函数f（2x）的定义域是［-1，2］，求f（log2x）的定义域.

在同一法则f下，表达式2x与log2x的值应属于“同一范围”.

解:

∵-1≤x≤2，∴≤2x≤4故≤log2x≤4即

log2≤log2x≤log216≤x≤16.

总结：

已知F（g（x））的定义域为A，求F（h（x））的定义域，关键是求出既满足g（x）∈B，又满足h（x）∈B的x取值集合，在此例中，A=［-1，2］，B=［，4］.

例．已知函数定义域为（0，2），求下列函数的定义域：

（1）；

（2）。

（1）由0＜x＜2，得

练习

1、函数的定义域是[0，2]，则函数的定义域是___________.

2、已知函数的定义域是[-1，1]，则的定义域为

___________.

3、已知的定义域为，则的定义域为___________．

重点二：

求函数解析式的几种常用方法

1.换元法：

例已知f（x+1）=+2x-3,求f（x）

令x+1=t,则x=t-1代入函数式中得:

f（t）=+2（t-1）-3=-4

∴f（x）=-4

说明:

f（x）,f（t）都是同一个对应法则,只是自变量的表示不同,从函数来看没有区别.

练习、1若f（x）=2x2-1，求f（x-1）

2已知函数f（2x+1）=3x+2，求f（x）.

2.配凑法：

上例中,把已知的f（x+1）中的x+1看成是一个整体变量进行处理.

∵f（x+1）=+2x+1-4

=-4

用x代替x+1,得:

f（x）=-4

例已知f（x+）=,求f（x）.

将用x+表示出来，但要注意定义域。

f（x+）=

=

变式、1已知x≠0，函数f（x）满足f（）=，求f（x）.

2已知，求

3、待定系数法：

例.一次函数f（x）满足f[f（x）]=9x+8,求f（x）.

设此一次函数解析式为f（x）=kx+b,则有：

f[f（x）]=kf（x）+b

=k（kx+b）+b

=

由已知得：

=9x+8.

即解得或所求一次函数解析式为：

f（x）=3x+2,或f（x）=-3x-4.

例已知是二次函数，若，求.

4.解方程组法：

例设f（x）满足f（x）+2f（）=x（x≠0）,求f（x）.

要求f（x）需要消去f（）,根据条件再找一个关于f（x）与f（）的等式通过解方程组达到目的。

将f（x）+2f（）=x中的x用代替得f（）+2f（x）=.

消去f（）得:

例若3f（x）+f（-x）=2–x,求f（x）.

用-x替换式中x得:

3f（-x）+f（x）=2+x.

消去f（-x）得：

f（x）=2-2x

练习、1若，求．

2若满足求

重点三函数的值域

、观察法：

例、求下列函数的值域

（1）y=3x+2　（-1x1）

（2）

、配方法：

例、已知函数，分别求它在下列区间上的值域。

（1）x∈R；

（2）[3，4]　　　（3）[0，1]　　　（4）[0，5]

练习：

.已知函数，分别求它在下列区间上的值域。

（2）；

（3）；

（4）

2.求函数的值域

说明：

配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，一般是根据函数所给x的取值范围，结合函数的图象求得函数的值域.

例．若实数x、y满足x2+4y2=4x，求S=x2+y2的值域

∵4y2=4x-x2≥0

∴x2-4x≤0，即0≤x≤4

∴当x=4时，Smax=16

当x=0时，Smin=0

∴值域0≤S≤16

例．已知函数y=f（x）=x2+ax+3在区间x∈[-1,1]时的最小值为-3，求实数a的值．

的位置取决于a，而函数的自变量x限定在[-1，1]内，因此，有三种可能性，应分别加以讨论．

综合

（1）

（2）（3）可得：

a=±

7

、换元法

例、求函数的值域。

令，则13-4x=t2

∴

该二次函数的对称轴为t=1，又t≥0由二次函数的性质可知y≤4，当且仅当t=1即x=3时等式成立，∴原函数的值域为（-∞，4]。

例．求函数的值域。

解析：

方法1、可用换元法解答方法2、根据函数的单调性来做

例求函数y=2x+2-3×

4 

x（-1≤x≤0） 

的值域

解y=2x+2-3·

4x

=4·

2x-3·

22x

令2x=t

例

练习、1.求函数的值域

2.求函数的值域

形如：

的函数可令，则转化为关于t的二次函数求值。

（四）、分离常数法

例求函数的值域。

练习、1.求的值域

2.求值域

因为，

而，所以，则，

故所求函数的值域为。

（此题也可用判别式法求解）

对于形如的有理分式函数均可利用部分分式发求其值域。

（五）判别式法

例

解由已知得（2y-1）x2-（2y-1）x+（3y-1）=0（*）

（2）若2y-1≠0，则∵x∈R

∴Δ=（2y-1）2-4（2y-1）（3y-1）≥0

即（2y-1）（10y-3）≤0

练习1求函数的值域.

2求函数y=的值域。

（六）利用函数的单调性

解：

调递减

若函数的定义域为R，求k的取值范围。

【变】若函数的定义域为R，求k的取值范围。

函数的定义域与值域

目的：

1.能够由函数表达式求出定义域（各种不同类型）；

2.对含字母系数的定义域会对字母参数取值范围进行全面讨论；

3.掌握求函数值域的基本方法：

观察法、配方法、判别法、换元法、反函数法、均值不等式法、

及图象法。

一、选择题：

1.函数y＝的取定义域是（）

A.[－1，1]B.C.[0，1]D.｛－1，1｝

2.已知函数f（x）＝的定义域是一切实数，则M的取值范围是（）

A.0＜m＜1B.0≤m≤4C.m≥4D.0＜m≤4

3.已知函数f（x）的定义域为[0，1]，那么函数f（x－1）的定义域为（）

A.[0，1]B.[1，2]C.[1，]D.[－，－1]∪[1，]

5.函数y＝2－的值域是（）

A.[－2，2]B.[1，2]C.[0，2]D.[－，]

6.值域是（0，＋∞）的函数是（）

A.y＝5－2B.y＝（）C.y＝D.

7.函数的值域是（）

A.（－∞，1）∪（5，＋∞）B.（1，5）

C.（－∞，1）∪（1，＋∞）D.（－∞，－）∪（－，＋∞）

8.函数的值域是（）

A.[－1，1]B.[0，1]C.[－1，0]D.[1，2]

9.函数的值域为（）

A.B.C.D.

10.函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域是（）

A.B.C.D.

二、填空题：

11．函数的定义域为__________________

12．设，则f（x）的定义域是________________

13．函数y＝2的值域为______________________

14．函数y=x＋的值域为____________________

三．解答题：

15求下列函数的定义域

1、　　　　2、

3、　　　　

4y=5y=

16求下列函数值域

（1）y=

（2）y=x2-2x+3,x∈[2,3]

（3）y=2x-（4）y=

17知函数在[5，20]上是单调函数，求实数k的取值范围。

18．当时，求函数的最小值。

19．已知在区间内有一最大值，求的值.

20．若函数的定义域为R，求实数a的取值范围。

21．若f（x＋1）的定义域是，求的定义域。