伴随矩阵的性质论文2Word文档下载推荐.docx

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伴随矩阵；

若当标准型；

可逆矩阵

Abstract:

Asaspecialmatrix,adjointmatrixhasmanyspecialpropertiesinlinearalgebra.Inasense,itislikeapositivedefinitematrixandorthogonalmatrix,andnotonlyhasgreatresearchvalueintheorybutalsohaswideapplicationinpractice.Inthisarticlewefocusonvariouspropertiesofadjointmatrices,includingthepropertiesofadjointmatricesofsomespecialmatrices（theuppertriangularmatrices,symmetricmatrices,etc.）,andusethesepropertiestocalculatetheadjointmatricesofsomematrices.Asweshallsee,thissimplifiesthecalculationandavoidalargeamountofcomplicatedcalculations.

Keywords:

adjointmatrix;

Jordanstandardform;

invertiblematrix

目录

1绪论3

1.1研究目的3

1.2研究意义3

1.3国内外研究现状3

2基础知识4

2.1伴随矩阵的定义4

2.2伴随矩阵的基本性质及运算性质4

2.2.1伴随矩阵基本性质及证明4

2.2.2伴随矩阵运算性质及证明5

2.3某些特殊矩阵的伴随矩阵的一些性质13

2.3.1对称矩阵13

2.3.2上（下）三角矩阵13

2.2.3正定和半正定矩阵13

2.2.4正交矩阵14

谢辞16

参考文献17

1绪论

1.1研究目的

利用伴随矩阵的各种性质解决线性代数中的相关计算问题及拓宽它在各领域中的应用。

1.2研究意义

对伴随矩阵的性质及其应用的探讨，不仅有利于教师的教学，还有利于学生的学习，以便于我们更加得心应手的利用伴随矩阵的各种性质解决线性代数中的相关问题。

且在伴随矩阵在线性代数中是作为求解逆矩阵的身份出现的，伴随矩阵是非常重要的概念，在矩阵理论中占有非常重要的地位。

前人对伴随矩阵的各种性质研究很多，本文将在此基础上总结已有的一些伴随矩阵的性质与结果，并应用这些方法求解一些例子。

通过本文的写作，本人将对伴随矩阵若干性质有深入的把握，对伴随矩阵在各种解题中的应用有深入了解。

1.3国内外研究现状

现如今对于伴随矩阵的研究主要围绕的是伴随矩阵的基本性质，主要有伴随矩阵的运算性质﹑伴随矩阵的继承性质以及m重伴随矩阵的性质等。

杨闻起探讨了伴随矩阵在对称、反对称、正定、半正定、正交、相似和特征值等方面的性质；

王航平也在伴随矩阵的定义与基本性质的基础上，探讨了伴随矩阵的运算性质，特别研究了乘积矩阵的伴随矩阵的性质，并提出了自伴随矩阵的定义及其性质，归纳了伴随矩阵较强的继承性；

郑茂玉也提出了伴随矩阵与原矩阵之间的联系，探讨了伴随矩阵的性质，并且将伴随矩阵的性质推广到了m重；

徐淳宁也探究了m重伴随矩阵的定义及其性质，得出了一些有意义的结果，使伴随矩阵的内涵更加丰富。

上述结论都是在A为方阵的前提下提出来的，对于A不为方阵的情况也有一些结果。

本文将在这些研究基础上，总结伴随矩阵的一些性质，并应用这些结果求解一些具体例子。

2基础知识

2.1伴随矩阵的定义

定义1.设是矩阵A=中元素的代数余子式，则矩阵

=

称为A的伴随矩阵。

定义2.设A为n阶方阵，如果有矩阵B满足AB＝BA=E，则B就称为Ａ的逆矩阵，记为B=A-1。

注意：

只有方阵才有伴随矩阵和逆矩阵。

2.2伴随矩阵的基本性质及运算性质

2.2.1伴随矩阵基本性质及证明

基本性质：

，当A可逆时，有，即.

证明：

由行列式按一行（列）展开的公式=,=（i,j=1,2,n）,可得.

注：

（1）A可逆时，；

（2）有时用伴随矩阵来处理有关代数余子式问题。

例1若，求.

解：

因为，所以.，由性质得

=.

例2设，是的伴随矩阵则求.

由，因为,所以有.

又本题，所以.

本题是求A的逆矩阵的伴随矩阵，若用伴随矩阵的定义求解则太复杂.

例3已知A为一三阶可逆矩阵，它的伴随矩阵为,且,求.

2.2.2伴随矩阵运算性质及证明

性质1.

因，则，而

故.

性质2：

A可逆，则=.

因A可逆时，=,则,故.又,即.

例已知A为一三阶矩阵，且,求.

经计算可得,所以.

性质3：

阶方阵，则=.

证明:

当时，则可逆.由性质1知可逆，则.

当时，.一方面由时，可知，；

另一方面由于，则至少有一个n-1阶式子不为0，.故有

当时，的阶子式全为0，此时有.

例设n阶方阵A，若秩时，则秩=？

因为秩，由以上性质的，故结果为0.

性质4：

=.

证明A可逆时，由性质1知,,A不可逆时，，.当n2时，由性质3知,若，此时，自然有.若，,此时.综上所述，性质4成立.

例已知A和B都是n阶方程，=4，=-2，则=?

解:

===.

性质5.

.

例设A为一个3阶矩阵，且已知,求.

因为,所以

性质6.

若A为二阶矩阵，设,则，成立.

下证A的阶数时的情况：

当时，由性质1及性质6知.

当时，知,若，则,由性质4知，从而.若，则.即，故.综上所述，性质6成立.

例已知A为n阶可逆矩阵，且，化简.

因为，所以，所以

.

性质7..

当A,B均可逆时，所以

.

从而.当A,B至少有一个不可逆时，考虑矩阵,时，

当x足够大时，可保证，均可逆，此时有

而左右两端均为有关x的多项式

2个多项式对应相等意味着变量x取任意值时都成立.特别的，对时也成立,即有.

例已知A和B为三阶可逆矩阵，且，，求

经计算可得，所以

===.

性质8.若n阶矩阵A的特征值为则A*的特征值为一切的（i=1,,n）.

证明设A的若当标准形为J=，且A=PJP-1,其中Ji=，i=1,2,…,s.由于下三角的伴随矩阵也是下三角矩阵

则可知J*=P*A*（P*）-1=，其中，…是伴随矩阵的特征根.而A*与J*有相同的特征根，所以，…也是A*的特征根.而直接计算J的n-1阶主子式可知=（1≤i1<

…<

in-1<

n,i=1,…,n）.

例1设A为n阶可逆矩阵，A*为A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵，若A有特征值，则必有的特征值是什么？

由性质知，A有特征值，则A*必有特征值，从而必有特征值。

例2设A，B为三阶相似矩阵，A的特征值为1，1,3，求.

因为A的特征值为1,1,3，故，所以的特征值为，又因为A相似于B，故相似于，所以的特征值为3,3，1

所以＝9.

例3　设Ａ为三阶矩阵，Ａ的特征值1,5，,7，试求行列式

因为，由性质知，的特征值分别为35,7,5，

于是的特征值为，，，故.

例的特征值；

行列式的值

分析:

利用，，与的特征值得关系

设为的特征值，则为的特征值，为的特征值由性质，为的特征值.

设为的特征值，是属于的特征向量，则，由此可得，，则，又，设，则的特征值为，

，

同可求得的特征值为11,46，-5，故

性质9.设,所以，故的特征根至少n-1个为0.,设的另外一个特征根为，则有=.

由于，所以，故A*的特征根至少n-1个为0.设A*的另外一个特征根为，则有=.

例已知三阶矩阵满足条件：

（1），其中是的代数余子式

（2）。

求|A|

解由条件

（1）和性质2知，,则，所以.又，

故.

性质10.设，为n阶矩阵，=,则=.

当，均可逆时，知可逆，此时

==.

若A1,A2至少一个不可逆时，可仿照以上性质的证明过程构造，，令其可逆进行证明.

例已知A和B均为n阶矩阵，相应的伴随矩阵分别为和，分块矩阵，求C的伴随矩阵

解.

2.3某些特殊矩阵的伴随矩阵的一些性质

2.3.1对称矩阵

若是可逆的对称矩阵，则它的伴随矩阵也是可逆的对称矩阵

a.已知数量矩阵，它的伴随矩阵也是数量矩阵；

b.若对角矩阵是可逆的，则它的伴随矩阵也是对角矩阵

2.3.2上（下）三角矩阵

若是上（下）三角矩阵，且是可逆的，则也是上（下）三角矩阵

例设，故，所以是可逆的，

所以是可逆的，且为上三角矩阵.

2.2.3正定和半正定矩阵

当n阶实矩阵是半正定时，则它的伴随矩阵也是半正定的. 

证明 

由于是半正定的，因此存在实矩阵，使，从而，其中，即有实矩阵P，使得

所以也是半正定的.

当n阶实矩阵是正定矩阵时，则它的伴随矩阵也是正定矩阵 

由于矩阵是正定的，从而可知存在可逆矩阵，使，所以，即有，所以也是正定矩阵.

2.2.4正交矩阵

当n阶矩阵A为正交矩阵时，则其伴随矩阵也为正交矩阵.

由于A为正交矩阵，从而可知，,,而，所以，而，

故也是正交矩阵.

例设正交矩阵A=

易算，从而可算的，即也为正交矩阵.

谢辞

从论文选题到搜集资料，从写稿到反复修改，期间经历了喜悦、聒噪、痛苦和彷徨，在写作论文的过程中心情是如此复杂。

如今，伴随着这篇毕业论文的最终成稿，复杂的心情烟消云散，自己甚至还有一点成就感。

那种感觉就宛如在一场盛大的颁奖晚会上，我在晚会现场看着其他人一个接着一个上台领奖，自己却始终未能被念到名字，经过了很长的时间后，终于有位嘉宾高喊我的大名，这时我忘记了先前漫长的无聊的等待时间，欣喜万分地走向舞台，然后迫不及待地开始抒发自己的心情，发表自己的感想。

这篇毕业论文的就是我的舞台，以下的言语便是有点成就感后在舞台上发表的发自肺腑的诚挚谢意与感想：

我要感谢，非常感谢我的导师王志华老师。

他为人随和热情，治学严谨细心。

在闲聊中他总是能像知心朋友一样鼓励你，在论文的写作和措辞等方面他也总会以“专业标准”严格要求你，从选题、定题开始，一直到最后论文的反复修改、润色，王老师始终认真负责地给予我深刻而细致地指导，帮助我开拓研究思路，精心点拨、热忱鼓励。

正是王老师的无私帮助与热忱鼓励，我的毕业论文才能够得以顺利完成，谢谢王老师。

我要感谢，非常感谢我的班主任张晗老师。

张老师诲人不倦的工作作风，一丝不苟的工作态度，严肃认真的治学风