届吉林省长春市普通高中高三质量监测二数学理试题.docx
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届吉林省长春市普通高中高三质量监测二数学理试题
长春市普通高中2018届高三质量监测
（二）数学理科
一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知，，则李国波录
A. B.C.D.
2.已知复数为纯虚数，则
A.B.C.或D.
3.设命题，则是
A. B.
C. D.
4.已知平面向量，则
A. B.C.D.
5.已知等比数列的各项均为正数，前项和为，若，则
A. B.C.D.
6.已知动点满足线性条件，定点，则直线斜率的最大值为
A. B.C. D.
7.已知椭圆的左右焦点分别为，过且垂直于长轴的直线交椭圆于两点，则△内切圆的半径为
A. B.C.D.
8.已知函数，若将函数的图象向右平移个单位后关于轴对称，则下列结论中不正确的是
A. B.是图象的一个对称中心
C. D.是图象的一条对称轴
9.若向区域内投点，则该点落在由直线与曲线围成区域内的概率为
A. B.C.D.
10.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线条画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥中最长棱的长度为
A.
B.
C.
D.
11.已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且，则双曲线离心率的取值范围是
A. B.C. D.
12.若关于的方程存在三个不等实根，则实数的取值范围是
A. B.C.D.
二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.
13.的展开式中含项的系数为___________.
14.更相减损术是出自《九章算术》的一种算法.如图所示的程序框图是根据更相减损术写出的，若输入，则输出的值为_____.
15.底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥.已知同底的两个正四棱锥内接于同一个球，它们的底面边长为，球的半径为，设两个正四棱锥的侧面与底面所成的角分别为，则___________.
16.在数列中，，且对任意，成等差数列，其公差为，则________.
三、解答题：
共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：
共60分.
17.（本小题满分12分）
在△中，内角的对边分别为，其面积.
（1）求的值；
（2）设内角的平分线交于，，，求.
18.（本小题满分12分）
某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在，，，，，（单位：
克）中，经统计得频率分布直方图如图所示.
（1）现按分层抽样从质量为，的芒果中随机抽取个，再从这个中随机抽取个，记随机变量表示质量在内的芒果个数，求的分布列及数学期望.
（2）以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，将频率视为概率，某经销商来收购芒果，该种植园中还未摘下的芒果大约还有个，经销商提出如下两种收购方案：
A：
所以芒果以元/千克收购；
B：
对质量低于克的芒果以元/个收购，高于或等于克的以元/个收购.
通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？
19.（本小题满分12分）
如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，.
（1）证明：
；
（2）设是线段上的动点，是否存在这样的点，使得二面角的余弦值为，如果存在，求出的长；如果不存在，请说明理由.
20.（本小题满分12分）
已知直线过抛物线：
的焦点，且垂直于抛物线的对称轴，与抛物线两交点间的距离为.
（1）求抛物线的方程;
（2）若点，过点的直线与抛物线相交于,两点，设直线与的斜率分别为和.求证：
为定值，并求出此定值.
21.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）求证：
函数有唯一零点；
（2）若对任意，恒成立,求实数的取值范围.
（二）选考题：
共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分）选修4—4：
坐标系与参数方程选讲.
已知曲线的参数方程为（为参数），以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求的普通方程和的直角坐标方程；
（2）若过点的直线与交于,两点，与交于两点，求的取值范围.
23.（本小题满分10分）选修4—5：
不等式选讲.
已知函数.
（1）求的解集；
（2）若的最小值为,正数满足，求证：
.
长春市普通高中2018届高三质量监测
（二）
数学（理科）试题参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.A【命题意图】本题考查集合的运算.
【试题解析】A.故选A.
2.B【命题意图】本题考查复数的分类.
【试题解析】B.故选B.
3.C【命题意图】本题考查含有一个量词的命题的否定.
【试题解析】C 由含有一个量词的命题的否定.故选C.
4.A【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算.
【试题解析】A 由题意知，，所以.故选A.
5.C【命题意图】本题主要考查等比数列知识.
【试题解析】C由得，解得，从而.故选C.
6.C【命题意图】本题主要考查线性规划的相关知识.
【试题解析】C 根据可行域，当取时，直线的斜率最大为3.故选C.
7.D【命题意图】本题考查椭圆的定义的应用.
【试题解析】D 由题意知的周长为，面积为，由内切圆的性质可知，其半径为.故选D.
8.C【命题意图】本题考查三角函数的图象及性质.
【试题解析】C 由题意可知，故，.故选C.
9.B【命题意图】本题主要考查定积分及几何概型的综合应用.
【试题解析】B由直线与曲线围成区域的面积为，从而所求概率为.故选B.
10.D【命题意图】本题主要考查三视图问题.
【试题解析】D可在正方体中画出该三棱锥的直观图，进而算出其最长棱长为.故选D.
11.B【命题意图】本题考查双曲线定义的相关知识.
【试题解析】B 由双曲线定义可知，从而，双曲线的离心率取值范围为.故选B.
12.A【命题意图】本题是考查函数的性质及零点的相关知识.
【试题解析】A 由题意知，令，的两根一正一负，由的图象可知，，解得.故选A.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.40【命题意图】本题考查二项展开式系数的算法.
【试题解析】由可知含的项为，因此的系数为40.
14.13【命题意图】本题考查程序框图的相关知识.
【试题解析】由输入，代入程序框图计算可得输出的的值为13.
15.【命题意图】本题考查球的相关知识.
【试题解析】设，则，，代入，
又，即.
16.【命题意图】本题考查数列通项公式的算法.
【试题解析】由题意可知
三、解答题
17.（本小题满分12分）【命题意图】本题考查解三角形的基本方法.
【试题解析】
（1），可知，即.（6分）
（2）由角平分线定理可知，，，
在中，，在中，
即，则.（12分）
18.（本小题满分12分）【命题意图】本小题主要考查学生对抽样的理解，以及分布列的相关知识，同时利用统计学中的决策方案考查学生的数据处理能力.
【试题解析】解：
（1）9个芒果中，质量在和内的分别有6个和3个.
则的可能取值为0,1,2,3.
，，
，
所以的分布列为
0
1
2
3
的数学期望.（6分）
（2）方案A：
方案B：
低于250克：
元
高于或等于250克元
总计元
由，故B方案获利更多，应选B方案.（12分）
19.（本小题满分12分）【命题意图】本小题以四棱柱为载体，考查立体几何的基础知识.本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.
【试题解析】解：
（1）连结，，则由余弦定理可知，
由直棱柱可知，
（6分）
（2）以为原点，以方向为轴，以方向为轴，以方向为轴，
建立坐标系.
（），，，
，，
，，
，又，则，故长为1.（12分）
20.（本小题满分12分）【命题意图】本小题考查抛物线的标准方程及直线与抛物线的位置关系，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.
【试题解析】
（1）由题意可知，，抛物线的方程为.（4分）
（2）已知点，设直线的方程为：
，，则，，
联立抛物线与直线的方程消去得
可得，，代入可得.
因此可以为定值，且该定值为.（12分）
21.（本小题满分12分）【命题意图】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力.
【试题解析】
（1），
易知在上为正，因此在区间上为增函数，又，
因此，即在区间上恰有一个零点，
由题可知在上恒成立，即在上无零点，
则在上存在唯一零点.（4分）
（2）设的零点为，即.原不等式可化为，
令，则，由
（1）可知在上单调递减，
在上单调递增，故只求，
下面分析，设，则，
可得，即
若，等式左负右正不相等，若，等式左正右负不相等，只能.
因此，即求所求.（12分）
22.（本小题满分10分）【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的转化、直线的参数方程的几何意义等内容.本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.
【试题解析】
（1）曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为；（5分）
（2）设直线的参数方程为（为参数）
又直线与曲线：
存在两个交点，因此.
联立直线与曲线：
可得则
联立直线与曲线：
可得，则
即.（10分）
23.（本小题满分10分）【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法等内容.本小题重点考查化归与转化思想.
【试题解析】
（1）由图像可知：
的解集为.（5分）
（2）图像可知的最小值为1，
由均值不等式可知，
当且仅当时，“”成立，即.（10分）
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