普通高等学校招生全国统一考试全国新课标Ⅰ卷数学试题文科解析版Word下载.docx

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2kπ+π（k∈Z），

正确的结论只有sin2α>

0.选C

（3）设，则

是奇函数，是偶函数，∴，为奇函数，选C.

（6）设分别为的三边的中点，则

A.B.C.D.

A

=,选A.

（7）在函数①，②，③,④中，最小正周期为的所有函数为

A.①②③B.①③④C.②④D.①③

由是偶函数可知，最小正周期为，即①正确；

y=|cosx|的最小正周期也是π，即②也正确；

最小正周期为,即③正确；

的最小正周期为,即④不正确.

即正确答案为①②③，选A

8.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（）

A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱

根据所给三视图易知，对应的几何体是一个横放着的三棱柱.选B

9.执行下图的程序框图，若输入的分别为1,2,3，则输出的=

...D.

D

输入；

时：

；

输出.选D.

10.已知抛物线C：

的焦点为,是C上一点，，则（）

A.1B.2C.4D.8

根据抛物线的定义可知，解之得.选A.

11.设，满足约束条件且的最小值为7，则

（A）-5（B）3

（C）-5或3（D）5或-3

B

画出不等式组对应的平面区域，如图所示.

在平面区域内，平移直线，可知在点A处，z取得最值，故解之得a=-5或a=3.但a=-5时，z取得最大值，故舍去，答案为a=3.选B.

（12）已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是

（A）（B）（C）（D）

【解析1】：

由已知，，令，得或，

当时，；

且，有小于零的零点，不符合题意。

当时，

要使有唯一的零点且＞0，只需，即，．选C

【解析2】：

由已知，=有唯一的正零点，等价于

有唯一的正零根，令，则问题又等价于有唯一的正零根，即与有唯一的交点且交点在在y轴右侧，记

，由，，，

，要使有唯一的正零根，只需，选C

第II卷

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分

（13）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________.

【解析】设数学书为A，B，语文书为C，则不同的排法共有（A，B，C），（A，C，B），（B，C，A），（B，A，C），（C，A，B），（C，B，A）共6种排列方法，其中2本数学书相邻的情况有4种情况，故所求概率为.

（14）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过、、三个城市时，

甲说：

我去过的城市比乙多，但没去过城市；

乙说：

我没去过城市；

丙说：

我们三人去过同一城市；

由此可判断乙去过的城市为________.

A

【解析】∵丙说：

三人同去过同一个城市，甲说没去过B城市，乙说：

我没去过C城市

∴三人同去过同一个城市应为Ａ，∴乙至少去过Ａ，若乙再去城市B，甲去过的城市至多两个，不可能比乙多，∴可判断乙去过的城市为Ａ.

（15）设函数则使得成立的的取值范围是________.

【解析】当x<

1时，由可得x-1≤ln2，即x≤ln2+1，故x<

1；

当x≥1时，由f（x）=≤2可得x≤8，故1≤x≤8，综上可得x≤8

（16）如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点.从点测得点的仰角，点的仰角以及；

从点测得.已知山高，则山高________.

150

【解析】在直角三角形ABC中，由条件可得，在△MAC中，由正弦定理可得，故，在直角△MAN中，.

三、解答题：

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（17）（本小题满分12分）

已知是递增的等差数列，，是方程的根。

（I）求的通项公式；

（II）求数列的前项和.

（I）方程的两根为2,3,由题意得，，设数列的公差为d,，则，故d=，从而，

所以的通项公式为：

…………6分

（Ⅱ）设求数列的前项和为Sn,由（Ⅰ）知，

则：

两式相减得

所以………12分

（18）（本小题满分12分）

从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：

质量指标值分组

[75，85）

[85，95）

[95，105）

[105，115）

[115，125）

频数

6

26

38

22

8

（I）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：

（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？

（I）

…………4分

（II）质量指标值的样本平均数为

.

质量指标值的样本方差为

…10分

（Ⅲ）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38+0.22+0.08=0.68.由于该估计值小于0.8,故不能认为该企业生产的这种产品“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.…………….12分

19（本题满分12分）

如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且平面.

（I）证明：

（II）若,

求三棱柱的高.

（I）连结，则O为与的交点，因为侧面为菱形，所以，又平面，故平面，由于平面，

故………6分

（II）作OD⊥BC,垂足为D,连结AD,作OH⊥AD,垂足为H,

由于BC⊥AO,BC⊥OD,故BC⊥平面AOD,所以OH⊥BC.

又OH⊥AD,所以OH⊥平面ABC.

因为,所以△为等边三角形,又BC=1,可得OD=，由于，所以，由OH·

AD=OD·

OA,且，得OH=

又O为B1C的中点,所以点B1到平面ABC的距离为,故三棱柱ABC-A1B1C1的高为

……………………….12分

20.（本小题满分12分）

已知点，圆:

，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点.

（I）求的轨迹方程；

（II）当时，求的方程及的面积

（I）圆C的方程可化为,所以圆心为C（0,4）,半径为4.

设M（x,y）,则，，,由题设知,故

，即

由于点P在圆C的内部,所以M的轨迹方程是…………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知M的轨迹是以点N（1,3）为圆心,2为半径的圆.

由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上,从而ON⊥PM.

因为ON的斜率为3,所以的斜率为,直线的方程为：

又，到的距离为，，

所以的面积为：

.……………12分

21（12分）

设函数，曲线处的切线斜率为0

（I）求b;

（II）若存在使得，求a的取值范围。

（I），由题设知,解得b=1.……………4分

（Ⅱ）f（x）的定义域为（0,+∞）,由（Ⅰ）知,，

（i）若，则，故当x∈（1,+∞）时,f'

（x）>

0,f（x）在（1,+∞）上单调递增.

所以,存在≥1,使得的充要条件为，即

所以--1<

a<

-1;

（ii）若，则，故当x∈（1,）时,f'

（x）<

0,x∈（）时,,f（x）在（1,）上单调递减，f（x）在单调递增.

所以,存在≥1,使得的充要条件为，而

，所以不和题意.

（ⅲ）若，则。

综上，a的取值范围为：

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.

（22）（本小题满分10分）选修4-1，几何证明选讲

如图，四边形是的内接四边形，的延长线与的延长线交于点，且.

（II）设不是的直径，的中点为，且，证明：

为等边三角形.

.（Ⅰ）由题设知得A、B、C、D四点共圆，所以D=CBE，由已知得，CBE=E,

所以D=E……………5分

（Ⅱ）设BCN中点为，连接MN,则由MB=MC,知MN⊥BC所以O在MN上，又AD不是O的直径，M为AD中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD，所以AD//BC,故A=CBE，又CBE=E，故A=E由（Ⅰ）

（1）知D=E，所以△ADE为等边三角形．……………10分

（23）（本小题满分10分）选修4-4：

坐标系与参数方程

已知曲线，直线（为参数）

（1）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；

（2）过曲线上任意一点作与夹角为30°

的直线，交于点，求的最大值与最小值.

.（Ⅰ）曲线C的参数方程为：

（为参数），

直线l的普通方程为：

………5分

（Ⅱ）

（2）在曲线C上任意取一点P（2cos,3sin）到l的距离为

，

则，其中为锐角．且.

当时，取得最大值，最大值为；

当时，取得最小值，最小值为.…………10分

（24）（本小题满分10分）选修4-5；

不等式选讲

若且

（I）求的最小值；

（II）是否存在，使得？

并说明理由.

（Ⅰ）由，得，且当时等号成立，

故，且当时等号成立，

∴的最小值为.………5分

（Ⅱ）由，得，又由（Ⅰ）知，二者矛盾，

所以不存在，使得成立.……………10分