普通高等学校招生全国统一考试全国新课标Ⅰ卷数学试题文科解析版Word下载.docx
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2kπ+π(k∈Z),
正确的结论只有sin2α>
0.选C
(3)设,则
是奇函数,是偶函数,∴,为奇函数,选C.
(6)设分别为的三边的中点,则
A.B.C.D.
A
=,选A.
(7)在函数①,②,③,④中,最小正周期为的所有函数为
A.①②③B.①③④C.②④D.①③
由是偶函数可知,最小正周期为,即①正确;
y=|cosx|的最小正周期也是π,即②也正确;
最小正周期为,即③正确;
的最小正周期为,即④不正确.
即正确答案为①②③,选A
8.如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的事一个几何体的三视图,则这个几何体是()
A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱
根据所给三视图易知,对应的几何体是一个横放着的三棱柱.选B
9.执行下图的程序框图,若输入的分别为1,2,3,则输出的=
...D.
D
输入;
时:
;
输出.选D.
10.已知抛物线C:
的焦点为,是C上一点,,则()
A.1B.2C.4D.8
根据抛物线的定义可知,解之得.选A.
11.设,满足约束条件且的最小值为7,则
(A)-5(B)3
(C)-5或3(D)5或-3
B
画出不等式组对应的平面区域,如图所示.
在平面区域内,平移直线,可知在点A处,z取得最值,故解之得a=-5或a=3.但a=-5时,z取得最大值,故舍去,答案为a=3.选B.
(12)已知函数,若存在唯一的零点,且,则的取值范围是
(A)(B)(C)(D)
【解析1】:
由已知,,令,得或,
当时,;
且,有小于零的零点,不符合题意。
当时,
要使有唯一的零点且>0,只需,即,.选C
【解析2】:
由已知,=有唯一的正零点,等价于
有唯一的正零根,令,则问题又等价于有唯一的正零根,即与有唯一的交点且交点在在y轴右侧,记
,由,,,
,要使有唯一的正零根,只需,选C
第II卷
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分
(13)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为________.
【解析】设数学书为A,B,语文书为C,则不同的排法共有(A,B,C),(A,C,B),(B,C,A),(B,A,C),(C,A,B),(C,B,A)共6种排列方法,其中2本数学书相邻的情况有4种情况,故所求概率为.
(14)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过、、三个城市时,
甲说:
我去过的城市比乙多,但没去过城市;
乙说:
我没去过城市;
丙说:
我们三人去过同一城市;
由此可判断乙去过的城市为________.
A
【解析】∵丙说:
三人同去过同一个城市,甲说没去过B城市,乙说:
我没去过C城市
∴三人同去过同一个城市应为A,∴乙至少去过A,若乙再去城市B,甲去过的城市至多两个,不可能比乙多,∴可判断乙去过的城市为A.
(15)设函数则使得成立的的取值范围是________.
【解析】当x<
1时,由可得x-1≤ln2,即x≤ln2+1,故x<
1;
当x≥1时,由f(x)=≤2可得x≤8,故1≤x≤8,综上可得x≤8
(16)如图,为测量山高,选择和另一座山的山顶为测量观测点.从点测得点的仰角,点的仰角以及;
从点测得.已知山高,则山高________.
150
【解析】在直角三角形ABC中,由条件可得,在△MAC中,由正弦定理可得,故,在直角△MAN中,.
三、解答题:
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分12分)
已知是递增的等差数列,,是方程的根。
(I)求的通项公式;
(II)求数列的前项和.
(I)方程的两根为2,3,由题意得,,设数列的公差为d,,则,故d=,从而,
所以的通项公式为:
…………6分
(Ⅱ)设求数列的前项和为Sn,由(Ⅰ)知,
则:
两式相减得
所以………12分
(18)(本小题满分12分)
从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量表得如下频数分布表:
质量指标值分组
[75,85)
[85,95)
[95,105)
[105,115)
[115,125)
频数
6
26
38
22
8
(I)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图:
(II)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(III)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定?
(I)
…………4分
(II)质量指标值的样本平均数为
.
质量指标值的样本方差为
…10分
(Ⅲ)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38+0.22+0.08=0.68.由于该估计值小于0.8,故不能认为该企业生产的这种产品“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.…………….12分
19(本题满分12分)
如图,三棱柱中,侧面为菱形,的中点为,且平面.
(I)证明:
(II)若,
求三棱柱的高.
(I)连结,则O为与的交点,因为侧面为菱形,所以,又平面,故平面,由于平面,
故………6分
(II)作OD⊥BC,垂足为D,连结AD,作OH⊥AD,垂足为H,
由于BC⊥AO,BC⊥OD,故BC⊥平面AOD,所以OH⊥BC.
又OH⊥AD,所以OH⊥平面ABC.
因为,所以△为等边三角形,又BC=1,可得OD=,由于,所以,由OH·
AD=OD·
OA,且,得OH=
又O为B1C的中点,所以点B1到平面ABC的距离为,故三棱柱ABC-A1B1C1的高为
……………………….12分
20.(本小题满分12分)
已知点,圆:
,过点的动直线与圆交于两点,线段的中点为,为坐标原点.
(I)求的轨迹方程;
(II)当时,求的方程及的面积
(I)圆C的方程可化为,所以圆心为C(0,4),半径为4.
设M(x,y),则,,,由题设知,故
,即
由于点P在圆C的内部,所以M的轨迹方程是…………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,2为半径的圆.
由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上,从而ON⊥PM.
因为ON的斜率为3,所以的斜率为,直线的方程为:
又,到的距离为,,
所以的面积为:
.……………12分
21(12分)
设函数,曲线处的切线斜率为0
(I)求b;
(II)若存在使得,求a的取值范围。
(I),由题设知,解得b=1.……………4分
(Ⅱ)f(x)的定义域为(0,+∞),由(Ⅰ)知,,
(i)若,则,故当x∈(1,+∞)时,f'
(x)>
0,f(x)在(1,+∞)上单调递增.
所以,存在≥1,使得的充要条件为,即
所以--1<
a<
-1;
(ii)若,则,故当x∈(1,)时,f'
(x)<
0,x∈()时,,f(x)在(1,)上单调递减,f(x)在单调递增.
所以,存在≥1,使得的充要条件为,而
,所以不和题意.
(ⅲ)若,则。
综上,a的取值范围为:
请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,解答时请写清题号.
(22)(本小题满分10分)选修4-1,几何证明选讲
如图,四边形是的内接四边形,的延长线与的延长线交于点,且.
(II)设不是的直径,的中点为,且,证明:
为等边三角形.
.(Ⅰ)由题设知得A、B、C、D四点共圆,所以D=CBE,由已知得,CBE=E,
所以D=E……………5分
(Ⅱ)设BCN中点为,连接MN,则由MB=MC,知MN⊥BC所以O在MN上,又AD不是O的直径,M为AD中点,故OM⊥AD,即MN⊥AD,所以AD//BC,故A=CBE,又CBE=E,故A=E由(Ⅰ)
(1)知D=E,所以△ADE为等边三角形.……………10分
(23)(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
已知曲线,直线(为参数)
(1)写出曲线的参数方程,直线的普通方程;
(2)过曲线上任意一点作与夹角为30°
的直线,交于点,求的最大值与最小值.
.(Ⅰ)曲线C的参数方程为:
(为参数),
直线l的普通方程为:
………5分
(Ⅱ)
(2)在曲线C上任意取一点P(2cos,3sin)到l的距离为
,
则,其中为锐角.且.
当时,取得最大值,最大值为;
当时,取得最小值,最小值为.…………10分
(24)(本小题满分10分)选修4-5;
不等式选讲
若且
(I)求的最小值;
(II)是否存在,使得?
并说明理由.
(Ⅰ)由,得,且当时等号成立,
故,且当时等号成立,
∴的最小值为.………5分
(Ⅱ)由,得,又由(Ⅰ)知,二者矛盾,
所以不存在,使得成立.……………10分