北师大版八年级数学下册教案1Word文件下载.docx
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+×
=++=2
解法二:
=(++)=×
4=2
1.公因式与提公因式法分解因式的概念.
把多项式ma+mb+mc写成m与(a+b+c)的乘积的形式,相当于把公因式m从各项中提出来,作为多项式ma+mb+mc的一个因式,把m从多项式ma+mb+mc各项中提出后形成的多项式(a+b+c),作为多项式ma+mb+mc的另一个因式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.
2.例题讲解
[例1]将下列各式分解因式:
(1)3x+6;
(2)7x2-21x;
(3)8a3b2-12ab3c+abc
(4)-24x3-12x2+28x.
分析:
首先要找出各项的公因式,然后再提取出来.
(1)3x+6=3x+3×
2=3(x+2);
(2)7x2-21x=7x·
x-7x·
3=7x(x-3);
=8a2b·
ab-12b2c·
ab+ab·
c
=ab(8a2b-12b2c+c)
(4)-24x3-12x2+28x
=-4x(6x2+3x-7)
1.写出下列多项式各项的公因式.
(1)ma+mb(m)
(2)4kx-8ky(4k)
(3)5y3+20y2(5y2)
(4)a2b-2ab2+ab(ab)
2.把下列各式分解因式
(1)8x-72=8(x-9)
(2)a2b-5ab=ab(a-5)
(3)4m3-6m2=2m2(2m-3)
(4)a2b-5ab+9b=b(a2-5a+9)
(5)-a2+ab-ac=-(a2-ab+ac)=-a(a-b+c)
(6)-2x3+4x2-2x=-(2x3-4x2+2x)=-2x(x2-2x+1)
四、课后作业
1.解:
(1)2x2-4x=2x(x-2);
(2)8m2n+2mn=2mn(4m+1);
(3)a2x2y-axy2=axy(ax-y);
(4)3x3-3x2-9x=3x(x2-x-3);
(5)-24x2y-12xy2+28y3
=-(24x2y+12xy2-28y3)
=-4y(6x2+3xy-7y2);
(6)-4a3b3+6a2b-2ab
=-(4a3b3-6a2b+2ab)
=-2ab(2a2b2-3a+1);
(7)-2x2-12xy2+8xy3
=-(2x2+12xy2-8xy3)
=-2x(x+6y2-4y3);
(8)-3ma3+6ma2-12ma
=-(3ma3-6ma2+12ma)
=-3ma(a2-2a+4);
2.利用因式分解进行计算
(1)121×
0.13+12.1×
0.9-12×
1.21
=12.1×
1.3+12.1×
0.9-1.2×
12.1
(1.3+0.9-1.2)
1=12.1
(2)2.34×
13.2+0.66×
13.2-26.4
=13.2×
(2.34+0.66-2)
1=13.2
(3)当R1=20,R2=16,R3=12,π=3.14时
πR12+πR22+πR32
=π(R12+R22+R32)
=3.14×
(202+162+122)
=2512
2.2提公因式法
例1把a(x-3)+2b(x-3)分解因式.
这个多项式整体而言可分为两大项,即a(x-3)与2b(x-3),每项中都含有(x-3),因此可以把(x-3)作为公因式提出来.
a(x-3)+2b(x-3)=(x-3)(a+2b)
[例2]把下列各式分解因式:
(1)a(x-y)+b(y-x);
(2)6(m-n)3-12(n-m)2.
虽然a(x-y)与b(y-x)看上去没有公因式,但仔细观察可以看出(x-y)与(y-x)是互为相反数,如果把其中一个提取一个“-”号,则可以出现公因式,如y-x=-(x-y).(m-n)3与(n-m)2也是如此.
(1)a(x-y)+b(y-x)
=a(x-y)-b(x-y)
=(x-y)(a-b)
(2)6(m-n)3-12(n-m)2
=6(m-n)3-12[-(m-n)]2
=6(m-n)3-12(m-n)2
=6(m-n)2(m-n-2).
二、做一做
请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“-”号,使等式成立:
(1)2-a=__________(a-2);
(2)y-x=__________(x-y);
(3)b+a=__________(a+b);
(4)(b-a)2=__________(a-b)2;
(5)-m-n=__________-(m+n);
(6)-s2+t2=__________(s2-t2).
(1)2-a=-(a-2);
(2)y-x=-(x-y);
(3)b+a=+(a+b);
(4)(b-a)2=+(a-b)2;
(5)-m-n=-(m+n);
(6)-s2+t2=-(s2-t2).
把下列各式分解因式:
(1)x(a+b)+y(a+b)
=(a+b)(x+y);
(2)3a(x-y)-(x-y)
=(x-y)(3a-1);
(3)6(p+q)2-12(q+p)
=6(p+q)2-12(p+q)
=6(p+q)(p+q-2);
(4)a(m-2)+b(2-m)
=a(m-2)-b(m-2)
=(m-2)(a-b);
(5)2(y-x)2+3(x-y)
=2[-(x-y)]2+3(x-y)
=2(x-y)2+3(x-y)
=(x-y)(2x-2y+3);
(6)mn(m-n)-m(n-m)2
=mn(m-n)-m(m-n)2
=m(m-n)[n-(m-n)]
=m(m-n)(2n-m).
补充练习
把下列各式分解因式
1.5(x-y)3+10(y-x)2
=5(x-y)3+10(x-y)2
=5(x-y)2[(x-y)+2]
=5(x-y)2(x-y+2);
2.m(a-b)-n(b-a)
=m(a-b)+n(a-b)
=(a-b)(m+n);
3.m(m-n)+n(n-m)
=m(m-n)-n(m-n)
=(m-n)(m-n)=(m-n)2;
4.m(m-n)(p-q)-n(n-m)(p-q)
=m(m-n)(p-q)+n(m-n)(p-q)
=(m-n)(p-q)(m+n);
5.(b-a)2+a(a-b)+b(b-a)
=(b-a)2-a(b-a)+b(b-a)
=(b-a)[(b-a)-a+b]
=(b-a)(b-a-a+b)
=(b-a)(2b-2a)
=2(b-a)(b-a)
=2(b-a)2
2.3运用公式法
(一)
1.使学生了解运用公式法分解因式的意义;
2.使学生掌握用平方差公式分解因式.
3.使学生了解,提公因式法是分解因式的首先考虑的方法,再考虑用平方差公式分解因式.
1.请看乘法公式
(a+b)(a-b)=a2-b2
(1)
左边是整式乘法,右边是一个多项式,把这个等式反过来就是
a2-b2=(a+b)(a-b)
(2)
左边是一个多项式,右边是整式的乘积.
利用平方差公式进行的因式分解.第
(1)个等式可以看作是整式乘法中的平方差公式,第
(2)个等式可以看作是因式分解中的平方差公式.
2.公式讲解
观察式子a2-b2,找出它的特点.
答:
是一个二项式,每项都可以化成整式的平方,整体来看是两个整式的平方差.
如果一个二项式,它能够化成两个整式的平方差,就可以用平方差公式分解因式,分解成两个整式的和与差的积.
如x2-16=(x)2-42=(x+4)(x-4).
9m2-4n2=(3m)2-(2n)2
=(3m+2n)(3m-2n)
3.例题讲解
[例1]把下列各式分解因式:
(1)25-16x2;
(2)9a2-b2.
(1)25-16x2=52-(4x)2
=(5+4x)(5-4x);
(2)9a2-b2=(3a)2-(b)2
=(3a+b)(3a-b).
(1)9(m+n)2-(m-n)2;
(2)2x3-8x.
(1)9(m+n)2-(m-n)2
=[3(m+n)]2-(m-n)2
=[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)]
=(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n)
=(4m+2n)(2m+4n)
=4(2m+n)(m+2n)
(2)2x3-8x=2x(x2-4)
=2x(x+2)(x-2)
说明:
例1是把一个多项式的两项都化成两个单项式的平方,利用平方差公式分解因式;
例2的
(1)是把一个二项式化成两个多项式的平方差,然后用平方差公式分解因式,例2的
(2)是先提公因式,然后再用平方差公式分解因式,由此可知,当一个题中既要用提公因式法,又要用公式法分解因式时,首先要考虑提公因式法,再考虑公式法.
1.判断正误
(1)x2+y2=(x+y)(x-y);
(×
(2)x2-y2=(x+y)(x-y);
(√)
(3)-x2+y2=(-x+y)(-x-y);
(×
(4)-x2-y2=-(x+y)(x-y).(×
(1)a2b2-m2
=(ab)2-m2
=(ab+m)(ab-m);
(2)(m-a)2-(n+b)2
=[(m-a)+(n+b)][(m-a)-(n+b)]
=(m-a+n+b)(m-a-n-b);
(3)x2-(a+b-c)2
=[x+(a+b-c)][x-(a+b-c)]
=(x+a+b-c)(x-a-b+c);
(4)-16x4+81y4
=(9y2)2-(4x2)2
=(9y2+4x2)(9y2-4x2)
=(9y2+4x2)(3y+2x)(3y-2x)
3.解:
S剩余=a2-4b2.
当a=3.6,b=0.8时,
S剩余=3.62-4×
0.82=3.62-1.62=5.2×
2=10.4(cm2)
剩余部分的面积为10.4cm2.
1.解:
(1)a2-81=(a+9)(a-9);
(2)36-x2=(6+x)(6-x);
(3)1-16b2=1-(4b)2=(1+4b)(1-4b);
(4)m2-9n2=(m+3n)(m-3n);
(5)0.25q2-121p2
=(0.5q+11p)(0.5q-11p);
(6)169x2-4y2=(13x+2y)(13x-2y);
(7)9a2p2-b2q2
=(3ap+bq)(3ap-bq);
(8)a2-x2y2=(a+xy)(a-xy);
2.解:
(1)(m+n)2-n2=(m+n+n)(m