年九年级数学第1讲二次函数探究二次函数与相似三角形的综合问题教案讲义文档格式.docx

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主要考查形式为二次函数与一些简单几何图形的点存在性问题，既考查了学生的数形结合能力，又考查学生的计算能力。

此类问题出现后，大多学生都无从下手，主要是学生的综合能力、解题技巧及实战经验不足所致。

就本节二次函数与相似三角形的点存在性问题，主要考查了学生能否将相似三角形的性质与判定融入到二次函数，在函数图像中构造相似图形的能力。

二、复习预习

勾股定理及逆定理

1.定理：

直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方。

（即：

a2+b2=c2）

2.勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：

（1）已知直角三角形的两边求第三边

（2）已知直角三角形的一边和另两边的关系，求直角三角形的另两边

（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题

3.逆定理：

如果三角形的三边长：

a，b，c，则有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。

4.用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意：

（1）首先确定最大边，不妨设最长边为c。

（2）验证c2和a2+b2是否具有相等的关系，若a2+b2=c2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形。

三、知识讲解

考点1二次函数的基础知识

1.一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0），那么y叫做x的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据．

当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数．

2.二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的三种表达形式分别为：

一般式：

y=ax2+bx+c，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；

顶点式：

y=a（x－h）2+k，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；

交点式：

y=a（x－x1）（x－x2），通常要知道图像与x轴的两个交点坐标x1，x2才能求出此解析式；

对于y=ax2+bx+c而言，其顶点坐标为（－，）．对于y=a（x－h）2+k而言其顶点坐标为（h，k），由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：

开口方向，对称轴，顶点．

考点2相似三角形的概念及其性质

1.定义：

对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

2.性质定理：

（1）相似三角形的对应角相等；

（2）相似三角形的对应边成比例；

（3）相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；

（4）相似三角形的周长比等于相似比；

（5）相似三角形的面积比等于相似比的平方.

考点3探究三角形相似的一般思路

解答三角形相似的存在性问题时，要具备分类讨论的思想及数形结合思想，要先找出三角形相似的分类标准，一般涉及到动态问题要以静制动，动中求静，具体如下：

（1）假设结论成立，分情况讨论。

探究三角形相似时，往往没有明确指出两个三角形的对应角（尤其是以文字形式出现让证明两个三角形相似的题目）或涉及到动点问题，因动点问题中点的位置不确定，此时应考虑不同的对应关系，从而分情况讨论；

（2）确定分类标准：

在分类时，先要找出分类的标准，看两个三角形是否有对应相等的角，若有，找出对应相等的角后，再根据其他角进行分类讨论来确定相似三角形成立的条件；

若没有，则分别按三种角来分类讨论；

（3）建立关系式并计算。

由相似三角形列出相应的比例式，将比例式中的线段用所设点的坐标表示出来（其长度多借助勾股定理运算），整理可得一元一次方程或者一元二次方程，解方程可得字母的值，再通过计算得出相应的点的坐标；

四、例题精析

考点一在函数中运用“SAS”判定定理构造相似三角形

例1直线分别交x轴、y轴于A、B两点，△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°

后得到△COD，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A、C、D三点．

（1）写出点A、B、C、D的坐标；

（2）求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标；

（3）在直线BG上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与△COD相似？

若存在，请求出点Q的坐标；

若不存在，请说明理由．

例2如图，已知点A（-2，4）和点B（1，0）都在抛物线上．

（1）求m、n；

（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形AA′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式；

（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB′的交点为C，试在x轴上找一个点D，使得以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似．

考点二运用相似三角形的性质解决二次函数综合问题

例3如图，已知直线AB：

y=kx+2k+4与抛物线y=x2交于A，B两点．

（1）直线AB总经过一个定点C，请直接出点C坐标；

（2）当k=﹣时，在直线AB下方的抛物线上求点P，使△ABP的面积等于5；

（3）若在抛物线上存在定点D使∠ADB=90°

，求点D到直线AB的最大距离．

例4如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y=﹣x2+bx+c（c＞0）的顶点为D，与y轴的交点为C，过点C作CA∥x轴交抛物线于点A，在AC延长线上取点B，使BC=AC，连接OA，OB，BD和AD．

（1）若点A的坐标是（﹣4，4）

①求b，c的值；

②试判断四边形AOBD的形状，并说明理由；

（2）是否存在这样的点A，使得四边形AOBD是矩形？

若存在，请直接写出一个符合条件的点A的坐标；

课程小结

有针对性的对勾股定理、相似三角形的性质及二次函数的基础知识进行复习，有助于为研究二次函数与相似三角形的综合问题提供有利的依据。

在探究二次函数与相似三角形的综合问题时，抓住已有的信息及条件在函数图像中构造出相似三角形，并能运用相似三角形的性质解决问题，掌握此类问题的解题思路及技巧是解决问题的关键。

解析

例1

（1）A（3，0），B（0，1），C（0，3），D（－1，0）．

（2）因为抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（3，0）、C（0，3）、D（－1，0）三点，所以解得

所以抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3＝－（x－1）2＋4，顶点G的坐标为（1，4）．

（3）如图2，直线BG的解析式为y＝3x＋1，直线CD的解析式为y＝3x＋3，因此CD//BG．

因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以AB⊥CD．因此AB⊥BG，即∠ABQ＝90°

．

因为点Q在直线BG上，设点Q的坐标为（x，3x＋1），那么．

Rt△COD的两条直角边的比为1∶3，如果Rt△ABQ与Rt△COD相似，存在两种情况：

①当时，．解得．所以，．

②当时，．解得．所以，．

【总结与反思】1．图形在旋转过程中，对应线段相等，对应角相等，对应线段的夹角等于旋转角．

2．用待定系数法求抛物线的解析式，用配方法求顶点坐标．

3．第（3）题判断∠ABQ＝90°

是解题的前提．

4．△ABQ与△COD相似，按照直角边的比分两种情况，每种情况又按照点Q与点B的位置关系分上下两种情形，点Q共有4个．

例2【规范解答】

（1）因为点A（-2，4）和点B（1，0）都在抛物线上，所以解得，．

（2）如图2，由点A（-2，4）和点B（1，0），可得AB＝5．因为四边形AA′B′B为菱形，所以AA′＝B′B＝AB＝5．因为，所以原抛物线的对称轴x＝－1向右平移5个单位后，对应的直线为x＝4．

因此平移后的抛物线的解析式为．

图2

（3）由点A（-2，4）和点B′（6，0），可得AB′＝．

如图2，由AM//CN，可得，即．解得．所以．根据菱形的性质，在△ABC与△B′CD中，∠BAC＝∠CB′D．

①如图3，当时，，解得．此时OD＝3，点D的坐标为（3，0）．

②如图4，当时，，解得．此时OD＝，点D的坐标为（，0）．

【总结与反思】1．点A与点B的坐标在3个题目中处处用到，各具特色．第

（1）题用在待定系数法中；

第

（2）题用来计算平移的距离；

第（3）题用来求点B′的坐标、AC和B′C的长．

2．抛物线左右平移，变化的是对称轴，开口和形状都不变．

3．探求△ABC与△B′CD相似，根据菱形的性质，∠BAC＝∠CB′D，因此按照夹角的两边对应成比例，分两种情况讨论．

例3【规范解答】解：

（1）∵当x=﹣2时，y=（﹣2）k+2k+4=4．

∴直线AB：

y=kx+2k+4必经过定点（﹣2，4）．∴点C的坐标为（﹣2，4）．

（2）∵k=﹣，∴直线的解析式为y=﹣x+3．联立，解得：

或．

∴点A的坐标为（﹣3，），点B的坐标为（2，2）．

过点P作PQ∥y轴，交AB于点Q，过点A作AM⊥PQ，垂足为M，过点B作BN⊥PQ，垂足为N，如图1所示．

设点P的横坐标为a，则点Q的横坐标为A．∴yP=a2，yQ=﹣a+3．∵点P在直线AB下方，

∴PQ=yQ﹣yP

=﹣a+3﹣a2∵AM+NB=a﹣（﹣3）+2﹣a=5．

∴S△APB=S△APQ+S△BPQ=PQ•AM+PQ•BN=PQ•（AM+BN）=（﹣a+3﹣a2）•5=5．

整理得：

a2+a﹣2=0．解得：

a1=﹣2，a2=1．当a=﹣2时，yP=×

（﹣2）2=2．此时点P的坐标为（﹣2，2）．

当a=1时，yP=×

12=．此时点P的坐标为（1，）．

∴符合要求的点P的坐标为（﹣2，2）或（1，）．

（3）过点D作x轴的平行线EF，作AE⊥EF，垂足为E，作BF⊥EF，垂足为F，如图2．

∵AE⊥EF，BF⊥EF，∴∠AED=∠BFD=90°

．∵∠ADB=90°

，∴∠ADE=90°

﹣∠BDF=∠DBF．

∵∠AED=∠BFD，∠ADE=∠DBF，

∴△AED∽△DFB．∴．

设点A、B、D的横坐标分别为m、n、t，则点A、B、D的纵坐标分别为m2、n2、t2．

AE=yA﹣yE=m2﹣t2．BF=yB﹣yF=n2﹣t2．ED=xD﹣xE=t﹣m，DF=xF﹣xD=n﹣t．

∵，∴=．化简得：

mn+（m+n）t+t2+4=0．

∵点A、B是直线AB：

y=kx+2k+4与抛物线y=x2交点，∴m、n是方程kx+2k+4=x2即x2﹣2kx﹣4k﹣8=0两根．

∴m+n=2k，mn=﹣4k﹣8．∴﹣4k﹣8+2kt+t2+4=0，

即t2+2kt﹣4k﹣4=0．即（t﹣2）（t+2k+2）=0．∴t1=2，t2=﹣2k﹣2（舍）．∴定点D的坐标为（2，2）．

过点D作x轴的平行线DG，过点C作CG⊥DG，垂足为G，如图3所示．

∵点C（﹣2，4），点D（2，2），∴CG=4﹣2=2，DG=2﹣（﹣2）=4．∵CG⊥DG，

∴DC====2．

过点D作DH⊥AB，垂足为H，如图3所示，∴DH≤DC．∴DH≤2．∴当DH与DC重合即DC⊥AB时，

点D到直线AB的距离最大，最大值为2．∴点D到直线AB的最大距离为2．

【总结与反思】

（1）要求定点的坐标，只需寻找一个合适x，使得y的值与k无关即可．

（2）只需联立两函数的解析式，就可求出点A、B的坐标．设出点P的横坐标为a，运用割补法用a的代数式表示△APB的面积，然后根据条件建立关于a的方程，从而求出a的值，进而求出点P的坐标．

（3）设点A、B、D的横坐标分别为m