利用空间向量求空间角Word格式文档下载.docx

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以O为原点，，为x，y轴正方向，z轴过O且平行于CF，建立空间直角坐标系O—xyz，则B（0，，0），D（0，－，0），E（1,0,2），F（－1,0，a）（a>

0），＝（－1,0，a）。

设平面EDB的法向量为n＝（x，y，z），则有

即

令z＝1，n＝（－2,0,1），

由题意sin45°

＝|cos〈，n〉|＝＝＝，解得a＝3或－。

由a>

0，得a＝3。

所以CF＝3。

答案　

（1）见解析　

（2）3

2.（优质试题·

全国卷Ⅱ）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF＝，EF交BD于点H。

将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′＝。

（1）证明：

D′H⊥平面ABCD；

（2）求二面角B－D′A－C的正弦值。

由已知得AC⊥BD，AD＝CD。

又由AE＝CF得＝，故AC∥EF。

因此EF⊥HD，从而EF⊥D′H。

由AB＝5，AC＝6，得

DO＝BO＝＝4。

由EF∥AC得＝＝。

所以OH＝1，D′H＝DH＝3。

于是D′H2＋OH2＝32＋12＝10＝D′O2，故D′H⊥OH。

又D′H⊥EF，而OH∩EF＝H，所以D′H⊥平面ABCD。

（2）如图，

以H为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系H－xyz，则H（0,0,0），A（－3，－1,0），B（0，－5,0），C（3，－1,0），D′（0,0,3），

＝（3，－4,0），＝（6,0,0），＝（3,1,3）。

设m＝（x1，y1，z1）是平面ABD′的法向量，则

所以可取m＝（4,3，－5）。

设n＝（x2，y2，z2）是平面ACD′的法向量，则

所以可取n＝（0，－3,1）。

于是cos〈m，n〉＝＝＝－，

sin〈m，n〉＝。

因此二面角B－D′A－C的正弦值是。

答案　

（1）见解析　

（2）

3．如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是棱D1D的中点，点F在棱B1B上，且满足B1F＝2BF。

EF⊥A1C1；

（2）在棱C1C上确定一点G，使A，E，G，F四点共面，并求此时C1G的长；

（3）求平面AEF与平面ABCD所成二面角的余弦值。

因为A1C1⊥B1D1，A1C1⊥DD1，B1D1∩DD1＝D1，所以A1C1⊥平面BB1D1D。

因为EF⊂平面BB1D1D，所以EF⊥A1C1。

在平面BCC1B1内，过点F作FG∥AE交棱C1C于点G，此时A，E，G，F四点共面，且C1G＝

a－a＝a。

（3）解法一：

延长DB，EF相交于H，连接AH，则AH为平面AEF与平面ABCD的交线，过点B作BI⊥AH（垂足为I），连接FI，则∠FIB为所求平面AEF与平面ABCD所成二面角的平面角。

因为BF＝a，DE＝a，DB＝a，则BH＝2a，AH＝a，

由S△ABH＝BI×

AH＝AB×

BHsin45°

＝a2，解得BI＝a。

所以tan∠FIB＝＝，

cos∠FIB＝。

解法二：

建立如图所示空间直角坐标系，则A（a,0,0），F，E，＝，＝。

设平面AEF的一个法向量为n1＝（x，y，z），则·

n1＝0，·

n1＝0，即取z＝6，则n1＝（3，－2,6）；

又平面ABCD的法向量n2＝（0,0,1），设平面AEF与平面ABCD所成二面角为θ，

则cosθ＝＝。

答案　

（1）见解析　

（2）过点F作FG∥AE交棱C1C于点G，C1G＝a　（3）

4.（优质试题·

浙江高考）如图，在三棱台ABC－DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°

，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3。

BF⊥平面ACFD；

（2）求二面角B－AD－F的平面角的余弦值。

延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示。

因为平面BCFE⊥平面ABC，平面BCFE∩平面ABC＝BC，且AC⊥BC，所以，

AC⊥平面BCK，因此，BF⊥AC。

又EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，所以

△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则

BF⊥CK，又AC∩CK＝C，

所以BF⊥平面ACFD。

延长AD，BE，CF相交于一点K，则△BCK为等边三角形。

取BC的中点O，连接KO，则KO⊥BC，又平面BCFE⊥平面ABC，所以KO⊥平面ABC。

以点O为原点，分别以射线OB，OK的方向为x轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系O－xyz。

由题意得B（1,0,0），C（－1,0,0），K（0,0，），

A（－1，－3，0），E，F。

因此＝（0,3,0），＝（1,3，），＝（2,3,0）。

设平面ACK的法向量为m＝（x1，y1，z1），平面ABK的法向量为n＝（x2，y2，z2）。

由得取m＝（，0，－1）；

由

得

于是，cos〈m，n〉＝＝。

所以，二面角B－AD－F的平面角的余弦值为。

（时间：

20分钟）

天津高考）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB＝BE＝2。

EG∥平面ADF；

（2）求二面角O－EF－C的正弦值；

（3）设H为线段AF上的点，且AH＝HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值。

解析　依题意，OF⊥平面ABCD，如图，以O为原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系O—xyz，依题意可得O（0,0,0），A（－1,1,0），B（－1，－1,0），C（1，－1,0），D（1,1,0），E（－1，－1,2），F（0,0,2），G（－1,0,0）。

依题意，＝（2,0,0），＝（1，－1,2）。

设n1＝（x，y，z）为平面ADF的法向量，则即不妨设z＝1，可得n1＝（0,2,1），又＝（0,1，－2），可得·

n1＝0，又直线EG⊄平面ADF，所以EG∥平面ADF。

（2）易证，＝（－1,1,0）为平面OEF的一个法向量。

依题意，＝（1,1,0），＝（－1,1,2）。

设n2＝（x′，y′，z′）为平面CEF的法向量，则即不妨设x′＝1，可得n2＝（1，－1,1）。

因此有cos〈，n2〉＝＝－，

于是sin〈，n2〉＝。

所以二面角O－EF－C的正弦值为。

（3）由AH＝HF，得AH＝AF。

因为＝（1，－1，2），所以＝＝，进而有H，从而＝，

因此cos〈，n2〉＝＝－。

所以，直线BH和平面CEF所成角的正弦值为。

答案　

（1）见解析　

（2）　（3）

2．如图，在四棱锥P－ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝，PA＝AD＝2，AB＝BC＝1。

（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；

（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长。

解析　以{，，}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则各点的坐标为B（1,0,0），C（1,1,0），D（0,2,0），P（0,0,2）。

（1）由题意知，AD⊥平面PAB，

所以是平面PAB的一个法向量，＝（0,2,0）。

因为＝（1,1，－2），＝（0,2，－2），

设平面PCD的法向量为m＝（x，y，z），

则m·

＝0，m·

＝0，

即令y＝1，解得z＝1，x＝1。

所以m＝（1,1,1）是平面PCD的一个法向量。

从而cos〈，m〉＝＝，

所以平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为。

（2）因为＝（－1,0,2），

设＝λ＝（－λ，0,2λ）（0≤λ≤1），

又＝（0，－1,0），则＝＋＝（－λ，－1,2λ）。

又＝（0，－2,2），

从而cos〈，〉＝＝。

设1＋2λ＝t，t∈[1,3]，

则cos2〈，〉＝＝≤。

当且仅当t＝，即λ＝时，|cos〈，〉|的最大值为。

因为y＝cosx在上是减函数，

所以此时直线CQ与DP所成角取得最小值。

又因为BP＝＝，

所以BQ＝BP＝。

答案　

（1）　

（2）