线性代数B09备用Word文件下载.docx
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2．设A为4阶方阵，且满足A2-A-E=O，则R（A）=.
3．设2n+1阶行列式满足aim=-ajm（i，j=1，2，…，n），
则D2n+1=.
4．设3阶方阵A与B相似,且A的3个特征值为1，2，3.B-1为B的逆矩阵.则trB-1=.
5．设α1，α2，α3，α4为4维的列向量，且α2，α3，α4线性无关，而α1，α2，α3线性相关，令A=（α1,α2,α3,α4），则线性方程组Ax=0的基础解系解向量的个数为.
6．设A为实对称阵，且|A|≠0，则二次型f=xTAx化为f=yTA-1y的线性变换是x=_____．
（共6页，第1页）
二、单项选择题（共6小题，满分18分）
1、设A为n阶可逆矩阵，A*是A的伴随矩阵，若AAT=E，则（A*）-1=（）
（A）（AT）*；
（B）（A*）*；
（C）（AT）-1；
（D）（AT）T.
2、设α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是（）.
（A）α1，α2，α3-α1；
（B）α1，α1+α2，α1+α3；
（C）α1+α2，α2+α3，α3+α1；
（D）α1-α2，α2-α3，α3-α1.
3、设4阶方阵A=（1，2，3，4）可逆令B=（4，3，2，1），其中1，2，3，4均为4维的列向量，又矩阵
则B-1=（）.
（A）A-1P1P2；
（B）P1A-1P2；
（C）P1P2A-1；
（D）P2A-1P1.
4、设向量组α1，α2是方程组Ax=0的基础解系，β1，β2是方程组Ax=b的两个解向量，k1，k2是任意常数，则方程组Ax=b的通解为（）.
（A）;
（B）
（C）（D）
5、设矩阵与A相似，则R（A-2E）+R（A-E）=（）.
（A）2；
（B）3；
（C）4；
（D）5.
6、设A=（aij）n×
n为实对称矩阵，二次型
为正定的充要条件是（）
（A）|A|=0；
（B）|A|≠0；
（C）|A|＞0；
（D）|A|＜0.
三、解答题（共6小题，满分42分）
1、求的值
（共6页，第2页）
2、设A、B均为n阶方阵，B可逆，且满足A2+AB+B2=O，试证A和AB均可逆，并求出它们的逆.
3、设齐次线性方程组
的系数矩阵为A，若3阶非零方阵B满足AB=O，试求及|B|的值.
（共6页，第3页）
4、判断向量组1=（1，0，2，1），2=（1，2，0，1），3=（2，1，3，0），4=（2，5，-1，4）的线性相关性，求它的秩和一个极大无关组，并把其余的向量用这个极大无关组线性表示.
5、试证g1=1，g2=1+x，g3=（1+x）2是线性空间R[x]3的一个基，并求由基1，x，x2到1，1+x，（1+x）2基的过渡矩阵.
6、.设A、P均为3阶矩阵，且若P=（α1,α2,α3）,
Q=（α1+α2,α2,α3）,求QTAQ．
（共6页，第4页）
四、（本题满分8分）已知4阶方阵A=（α1，α2，α3，α4），其中α1，α2，α3，α4均为4维的列向量，且α2，α3，α4线性无关，α1=2α2-α3，如果β=α1+α2+α4，求线性方程组Ax=β的通解.
五、（本题满分9分）设矩阵相似于∧,求①a；
②可逆矩阵P和对角矩阵∧，使P-1AP=∧.
（共6页，第5页）
六、（本题满分5分）设1，2，…，t是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，向量不是线性方程组Ax=0的解，试证：
，+1，+2，…，+t线性无关.
（共6页，第6页）
2008–2009学年第二学期《线性代数B》
试卷参考答案及评分标准
1．2；
2．4；
3．0；
4．；
5．1；
6．．
1．（A）；
2．（D）；
3．（C）；
4．（B）；
5．（C）；
6．（B）．
三、解答题（共6小题，满分42分）
1解
解：
由B可逆，|B|≠0，再由A2+AB+B2=O，得A（A+B）=-B2（*）
两边取行列式得|A||A+B|=（-1）n|B|2≠0，所以|A|≠0，|A+B|≠0故A和A+B均可逆.……………（4分）
在（*）的两边右乘﹣（B2）-1，得
A（A+B）（-B2）-1=E
所以A-1=-（A+B）（B2）-1=-A（B-1）2-B-1;
（A+B）-1=-（B2）-1A=-（B-1）2A.……………（7分）
由AB=O知，B的3个列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解向量，又B≠O，故B至少有一列非零，从而知齐次线性方程组Ax=0有非零解，所以有R（A）＜3,因此……………（3分）
，
于是得=1.……………（5分）
因为A≠O，故由AB=O知必有|B|=0.事实上，若|B|≠0，则B可逆，从而得A=O，这于A≠O矛盾，故有|B|=0.……………（7分）
4、判断向量组1=（1，0，2，1），2=（1，2，0，1），3=（2，1，3，0），4=（2，5，-1，4）的线性相关性，求它的秩和一个极大无关组，并把其余的向量用这个极大无关组线性表示.
设A=，对A作初等行变换，得
显然，向量组1=（1，0，2，1），2=（1，2，0，1），3=（2，1，3，0），4=（2，5，-1，4）的线性相关，秩为3.……………（3分）
1，2，3是一个极大无关组.……………（5分）
为把4用1，2，3线性表示，所以对上面的矩阵继续作初等行变换，得
所以有4=1+32-3.………（7分）
由g1=1，g2=1+x，g3=（1+x）2得在基1，x，x2下的坐标为
显然，线性无关，故g1=1，g2=1+x，g3=（1+x）2也线性无关，所以g1=1，g2=1+x，g3=（1+x）2为线性空间R[x]3的一个基．……（4分）
又因为
故由基1，x，x2到基1，1+x，（1+x）2的过渡矩阵为．
6、设A、P均为3阶矩阵，且若
P=（α1,α2,α3）,Q=（α1+α2,α2,α3）,求QTAQ．
由于
Q=（α1+α2,α2,α3）=（α1,α2,α3）
于是QTAQ=
…（7分）
四、（本题满分8分）已知4阶方阵A=（α1，α2，α3，α4），其中α1，α2，α3，α4均为4维的列向量，且α2，α3，α4线性无关，
α1=2α2-α3，如果β=α1+α2+α4，求线性方程组Ax=β的通解.
由α2，α3，α4线性无关及α1=2α2-α3
知矩阵A的秩为3,因此Ax=0的基础解系只有一个解向量,
由α1-2α2+α3+0α4=0
得
=0，
即齐次线性方程组Ax=0的基础解系为
再由
知是Ax=β的一个特解，于是方程组Ax=β的通解为
解由|A-λE|=0，得A的三个特征值λ1=λ2=6，λ3=-2.
由于A相似于对角矩阵，R（A-6E）=1，即
显然，当a=0时，R（A-6E）=1，A的二重特征值6应对应两个线性无关的特征向量.于是对应于λ1=λ2=6的两个线性无关的特征向量可取为
当λ3=-2时，取对应的特征向量为
.
令，则P可逆，并有P-1AP=.
证：
设有实数，1，2，…，t，使得
+1（+1）+…+2（+2）+…+t（+t）=0，
即
（+1+2+…+t）+11+22+…+tt=0，
（1）
在
（1）的两边左乘A，并利用Aj=0（j=1，2，…，t）得
（+1+2+…+t）A=0，
由于A≠0，所以+1+2+…+t=0，
（2）
将
（2）代入
（1）可得11+22+…+tt=0，
注意到1，2，…，t是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，所以线性无关，故1=2=…=t=0，于是由
（2）得=0，故，+1，+2，…，+t线性无关.
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