92总体百分位数的估计.docx

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92总体百分位数的估计

922

总体百分位数的估计

课标要求

素养要求

结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义.

在学习和应用百分位数的过程中，要把实际问题转化为数学问题，并进行计算，对数据进行分析，发展学生的数学建模、数学运算素养和数据分析素养.

课前预习知识採究

教材知识探究

•悄境引入

某省数学考试结果揭晓，根据规定，0.8%的同学需要补考.

问题那么如何确定需要补考的分数线呢?

提示利用百分位数计算•

p新知延理

1•第p百分位数的定义

第50百分位数就是中位数，中位数是百分位数的特例，百分位数是中位数的推广一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%

的数据小于或等于这个值，且至少有（100-p）%的数据大于或等于这个值.

2.计算一组n个数据的第p百分位数的步骤

第1步，按从小到大排列原始数据.

第2步，计算i=nxp%.

第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第（i+1）项数据的平均数.

3.四分位数

25%，50%，75%这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数，其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数.

教材拓展补遗

［微判断］

1.若一组样本数据各不相等，则其75%分位数大于25%分位数.（V）

2.若一组样本数据的10%分位数是23,则在这组数据中有10%的数据大于23.（X）

3.若一组样本数据的24%分位数是24，则在这组数据中至少有76%的数据大于或等于24.（V）

提示2.若一组样本数据的10%分位数是23，则在这组数据中有10%的数据小于或等于23.

［微训练］

1.下列一组数据的第25百分位数是（）

2.1，3.0，3.2，3.8，3.4，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6

A.3.2B.3.0C.4.4D.2.5

解析把该组数据按照由小到大排列，可得：

2.1，3.0，3.2，3.4，3.8，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6，

由i=10X25%=2.5,不是整数，则第3个数据3.2，是第25百分位数.答案A

2.下列关于一组数据的第50百分位数的说法正确的是（）

A.第50百分位数就是中位数

B.总体数据中的任意一个数小于它的可能性一定是50%

C.它一定是这组数据中的一个数据

D.它适用于总体是离散型的数据

解析由百分位数的意义可知选项B，C，D错误.

答案A

［微思考］

1.班级人数为50的班主任老师说“90%的同学能够考取本科院校”，这里的“90%”是百分位数吗？

提示不是.是指能够考取本科院校的同学占同学总数的百分比.

2.“这次数学测试成绩的第70百分位数是85分”这句话是什么意思?

提示有70%的同学数学测试成绩小于或等于85分.

课皇旦功IS9WII

1■

题型一百分位数的计算

【例1】从某珍珠公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量（单

位：

g）如下：

7.9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0.

⑴分别求出这组数据的第25，50,95百分位数；

（2）请你找出珍珠质量较小的前15%的珍珠质量；

（3）若用第25，50,95百分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品

和特优品，依照这个样本的数据，给出该公司珍珠等级的划分标准.

解

（1）将所有数据从小到大排列，得7.8，7.9，8.0，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.6，8.9,9.0，9.9,

因为共有12个数据，所以12X25%=3，12X50%=6，12X95%=11.4,

80亠83则第25百分位数是8；=8.15,

85+85

第50百分位数是：

=8.5,

第95百分位数是第12个数据为9.9.

（2）因为共有12个数据，所以12X15%=1.8,则第15百分位数是第2个数据为

7.9.

即产品质量较小的前15%的产品有2个，它们的质量分别为7.8,7.9.

⑶由

（1）可知样本数据的第25百分位数是8.15g,第50百分位数为8.5g,第95百分位数是9.9g,所以质量小于或等于8.15g的珍珠为次品，质量大于8.15g且小于或等于8.5g的珍珠为合格品，质量大于8.5g且小于或等于9.9g的珍珠为优等品，质量大于9.9g的珍珠为特优品.

规律方法计算一组n个数据的第p百分位数的一般步骤：

（1）排列：

按照从小到大排列原始数据；

⑵算i:

计算i=nXp%；

（3）定数：

若i不是整数，大于i的最小整数为j，则第p百分位数为第j项数据;若i是整数，则第p百分位数为第i项与第（i+1）项数据的平均数•

【训练1】如图所示是某市3月1日至3月10日的最低气温（单位：

C）的情况

绘制的折线统计图，由图可知这

10天最低气温的第80百分位数是（

I）I2JS7BUlphlJ）

A.-2B.OC.1D.2

解析由折线图可知，这10天的最低气温按照从小到大的排列为：

一3，—2，—

1，-1,0,0,1,2,2,2，

因为共有10个数据，所以10X80%=8,是整数，则这10天最低气温的第80百

2+2

分位数是于二2.

答案D

题型二百分位数的综合应用

【探究1】第p百分位数有什么特点？

提示总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是p%.

【探究2】某组数据的第p百分位数在此组数据中一定存在吗？

为什么？

提示不一定•因为按照计算第p百分位数的步骤，第2步计算所得的i=nxp%如果是整数，则第p百分位数为第i项与第（i+1）项数据的平均数，若第i项与第（i+1）项数据不相等，则第p百分位数在此组数据中就不存在•

【探究3】某市为了鼓励居民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居

民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费.

（1）求某户居民用电费用y（单位：

元）关于月用电量x（单位：

千瓦时）的函数解析式；⑵为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图•若这100户居民中，今年1月份用电费用低于260元的占80%，求a，b的值；

（3）根据

（2）中求得的数据计算用电量的75%分位数.

解⑴当0Wx<200时，y=0.5x;

当200

y=0.5X200+0.8X（x-200）=0.8x—60;

当x>400时，

y=0.5X200+0.8X200+1.0X（x—400）=x—140.

所以y与x之间的函数解析式为

0.5x，0

y=0.8x—60，200

x—140，x>400.

⑵由⑴可知，当y=260时，x=400，即用电量低于400千瓦时的占80%，

结合频率分布直方图可知

0.001X100+2X100b+0.003X100=0.8,

100a+0.0005X100=0.2，

解得a=0.0015,b=0.0020.

⑶设75%分位数为m,

因为用电量低于300千瓦时的所占比例为

（0.001+0.002+0.003）X100=60%，

用电量低于400千瓦时的占80%，

所以75%分位数m在［300，400）内，

所以0.6+（m—300）X0.002=0.75,

解得m=375（千瓦时），即用电量的75%分位数为375千瓦时.

规律方法由频率分布直方图求百分位数的方法

（1）要注意频率分布直方图中小矩形的面积，就是数据落在该组的频率.

⑵一般采用方程的思想，设出第p百分位数，根据其意义列出方程并求解即可.

【训练2】某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，对不同年

龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（90分及以上

为认知程度高），现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组（第一组：

［20，25），第二组：

［25，30），第三组：

［30，35），第四组：

［35，40），第五组：

［40，45］），得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有5人.

（1）求x;

⑵求抽取的x人的年龄的50%分位数（结果保留整数）；

⑶以下是参赛的10人的成绩：

90，96，97，95，92，92，98，88，96，99,求这10人成绩的20%分位数和平均数，以这两个数据为依据，评价参赛人员对“一带一路”的认知程度，并谈谈你的感想.

解⑴第一组频率为0.01X5=0.05，

5

所以x==100.

0.05

⑵由图可知年龄低于30岁的所占比例为40%，年龄低于35岁的所占比例为70%，所以抽取的x人的年龄的50%分位数在［30,35）内，由30+5X豎-弩二弓〜32,

0.70一0.403

所以抽取的x人的年龄的50%分位数为32.

⑶把参赛的10人的成绩按从小到大的顺序排列：

88，90，92，92，95，96，96，97，98，99，

计算10X20%=2,所以这10人成绩的20%分位数为一^=91,这10人成绩

的平均数为1

10（88+90+92+92+95+96+96+97+98+99）=94.3.

评价：

从第20百分位数和平均数来看，参赛人员的认知程度很高感想：

结合本题和实际，符合社会主义核心价值观即可.

1.通过学习和应用百分位数，重点培养数据分析素养、数学运算和数学建模素养.

2.求一组数据的百分位数时，掌握其步骤：

①按照从小到大排列原始数据；②计

算i=nxp%；③若i不是整数，大于i的最小整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第（i+1）项数据的平均数.

二、素养训练

1.已知100个数据的第75百分位数是9.3,贝U下列说法正确的是（）

A.这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3

B.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据

C.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数

D.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第74个数据的平均数解析因为100X75%=75为整数，所以第75个数据和第76个数据的平均数为第75百分位数，是9.3，选C.

答案C

2.数据7.0，8.4，8.4，8.4，8.6,8.7，9.0,9.1的第30百分位数是.

解析因为8X30%=2.4,故30%分位数是第三项数据8.4.

答案8.4

3.—组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的第50百分位数为.

解析样本数据低于10的比例为（0.08+0.02）X4=0.40,样本数据低于14的比例