北京市西城区高三期末考试数学理科试题及答案Word文件下载.docx
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二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.在复平面内,复数对应的点的坐标为____.
10.数列是公比为的等比数列,其前项和为.若,则____;
____.
11.在△中,,,△的面积为,则____.
12.把件不同的产品摆成一排.若其中的产品与产品都摆在产品的左侧,则不同的摆法有____种.(用数字作答)
13.从一个长方体中截取部分几何体,得到一个以原长方体的
部分顶点为顶点的凸多面体,其三视图如图所示.该几何
体的表面积是____.
14.已知函数若,则的值域是____;
若的值域是,则实数的取值范围是____.
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
已知函数.
(Ⅰ)求的最小正周期;
(Ⅱ)求在区间上的最大值.
16.(本小题满分13分)
已知表1和表2是某年部分日期的天安门广场升旗时刻表.
表1:
某年部分日期的天安门广场升旗时刻表
日期
升旗时刻
1月1日
7:
36
4月9日
5:
46
7月9日
4:
53
10月8日
6:
17
1月21日
31
4月28日
19
7月27日
07
10月26日
2月10日
14
5月16日
59
8月14日
24
11月13日
56
3月2日
47
6月3日
9月2日
42
12月1日
16
3月22日
15
6月22日
9月20日
12月20日
表2:
某年2月部分日期的天安门广场升旗时刻表
2月1日
23
2月11日
13
2月21日
2月3日
22
2月13日
11
2月23日
57
2月5日
20
2月15日
08
2月25日
55
2月7日
2月17日
05
2月27日
52
2月9日
2月19日
02
2月28日
49
(Ⅰ)从表1的日期中随机选出一天,试估计这一天的升旗时刻早于7:
00的概率;
(Ⅱ)甲,乙二人各自从表2的日期中随机选择一天观看升旗,且两人的选择相互独立.记为这两人中观看升旗的时刻早于7:
00的人数,求的分布列和数学期望.
(Ⅲ)将表1和表2中的升旗时刻化为分数后作为样本数据(如7:
31化为).记表2中所有升旗时刻对应数据的方差为,表1和表2中所有升旗时刻对应数据的方差为,判断与的大小.(只需写出结论)
17.(本小题满分14分)
如图,三棱柱中,平面,,.
过的平面交于点,交于点.
(Ⅰ)求证:
平面;
(Ⅱ)求证:
四边形为平行四边形;
(Ⅲ)若,求二面角的大小.
18.(本小题满分13分)
已知函数,其中.
(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)证明:
在区间上恰有个零点.
19.(本小题满分14分)
已知椭圆过点,且离心率为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆交于两点.若直线上存在点,使得四边形是平行四边形,求的值.
20.(本小题满分13分)
数列:
满足:
,,或.
对任意,都存在,使得,其中且两两不相等.
(Ⅰ)若,写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号;
①;
②;
③
(Ⅱ)记.若,证明:
;
(Ⅲ)若,求的最小值.
北京市西城区2017—2018学年度第一学期期末
高三数学(理科)参考答案及评分标准
2018.1
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分.
1.A2.D3.C4.D
5.D6.C7.B8.C
本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.10.,11.
12.13.14.;
注:
第10,14题第一空2分,第二空3分.
本大题共6小题,共80分.其他正确解答过程,请参照评分标准给分.
解:
(Ⅰ)因为
[4分]
[5分]
,[7分]
所以的最小正周期.[8分]
(Ⅱ)因为,
所以.[10分]
当,即时,[11分]取得最大值为.[13分]
(Ⅰ)记事件A为“从表1的日期中随机选出一天,这一天的升旗时刻早于7:
00”,
[1分]
在表1的20个日期中,有15个日期的升旗时刻早于7:
00,
所以.[3分]
(Ⅱ)X可能的取值为.[4分]
记事件B为“从表2的日期中随机选出一天,这一天的升旗时刻早于7:
则,.[5分]
;
.[8分]
所以X的分布列为:
X
1
2
P
.[10分]
学生得到X~,所以,同样给分.
(Ⅲ).[13分]
(Ⅰ)因为平面,所以.[1分]
因为三棱柱中,,所以四边形为菱形,
所以.[3分]
所以平面.[4分]
(Ⅱ)因为,平面,所以平面.[5分]
因为平面平面,所以.[6分]
因为平面平面,
平面平面,平面平面,
所以.[7分]
所以四边形为平行四边形.[8分]
(Ⅲ)在平面内,过作.
因为平面,
如图建立空间直角坐标系.[9分]
由题意得,,,,,.
因为,所以,
所以.
由(Ⅰ)得平面的法向量为.
设平面的法向量为,
则即
令,则,,所以.[11分]
所以.[13分]
由图知二面角的平面角是锐角,
所以二面角的大小为.[14分]
(Ⅰ)当时,,
所以.[2分]
因为,,[4分]
所以曲线在点处的切线方程为.[5分]
(Ⅱ).[6分]
由,得.[7分]
因为,所以.[8分]
当时,由,得.
所以存在唯一的,使得.[9分]
与在区间上的情况如下:
↗
极大值
↘
所以在区间上单调递增,在区间上单调递减.[11分]
因为,[12分]
且,
所以在区间上恰有2个零点.[13分]
(Ⅰ)由题意得,,所以.[2分]
因为,[3分]
所以,[4分]
所以椭圆的方程为.[5分]
(Ⅱ)若四边形是平行四边形,
则,且.[6分]
所以直线的方程为,
所以,.[7分]
设,.
由得,[8分]
由,得.
且,.[9分]
所以.
因为,所以.
整理得,[12分]
解得,或.[13分]
经检验均符合,但时不满足是平行四边形,舍去.
所以,或.[14分]
(Ⅰ)②③.[3分]
注:
只得到②或只得到③给[1分],有错解不给分.
(Ⅱ)当时,设数列中出现频数依次为,由题意.
①假设,则有(对任意),
与已知矛盾,所以.
同理可证:
.[5分]
②假设,则存在唯一的,使得.
那么,对,有(两两不相等),
与已知矛盾,所以.[7分]
综上:
,
所以.[8分]
(Ⅲ)设出现频数依次为.
同(Ⅱ)的证明,可得,,则.
取,,得到的数列为:
下面证明满足题目要求.对,不妨令,
①如果或,由于,所以符合条件;
②如果或,由于,,
所以也成立;
③如果,则可选取;
同样的,如果,
则可选取,使得,且两两不相等;
④如果,则可选取,注意到这种情况每个数最多被选取了一次,因此也成立.
综上,对任意,总存在,使得,其中且两
两不相等.因此满足题目要求,所以的最小值为.[13分]