浅析Vandermonde行列式的 相关性质及其应用.docx

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浅析Vandermonde行列式的相关性质及其应用

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毕业论文

论文题目：

浅析Vandermonde行列式的

相关性质及其应用

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数学与应用数学

浅析Vandermonde行列式的相关性质及其应用

摘要：

在高等数学的学习中，行列式无疑是一个重点和难点，它是后续课程线性方程组、矩阵、向量空间和线性变换的基础。

而行列式的计算具有一定的规律性和技巧性。

Vandermonde行列式是一类很重要的行列式。

本文系统的阐述了Vandermonde行列式的相关性质及其应用,通过各种方法说明了行列式中的一些计算问题以及如何利用Vandermonde行列式计算一般的行列式，用多个例子论述并总结了Vandermonde行列式在科研和实践生活中如何更好的应用。

关键字:

行列式；Vandermonde行列式；Vandermonde

目录

第一章引言………………………………………………1

第二章预备知识……………………………………………2

2.1定义………………………………………………2

2.2行列式的性质……………………………………2

2.3行列式计算中的几种基本方法……………………3

2.3.1三角形法……………………………………………3

2.3.2加边法或升级法……………………………………4

2.3.3递推法或数学归纳法………………………………5

第三章行列式的一种特殊类型Vandermonde行列式……6

3.1Vandermonde行列式的证法………………………6

3.2Vandermonde行列式的性质………………………7

3.2.1推广的性质定理：

行列式………………………7

3.2.2一个Vandermonde行列式为0的充分必要条件…9

3.2.3Vandermonde行列式的偏导数……………………9

3.3Vandermonde行列式的翻转与变形………………11

3.4Vandermonde行列式的应用………………………12

第四章小结…………………………………………………17

第五章参考文献……………………………………………18

第六章谢辞………………………………………………19

引言

在中学数学和解析几何里，我们学习过两个未知量和三个未知量的线性方程组及其解法。

但是在数学研究和实际问题的解决过程中，经常会遇到由多个未知量而组成的多个方程组，并且未知量的个数和方程组的个数也未必相等。

为了解决这些具体的问题，经过一代代数学家的不懈努力，终于由莱布尼茨和日本数学家关孝和分别发明了行列式。

经过一段时间的发展，法国数学家范德蒙（A-T.Vandermonde,1735-1796）对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，即把行列式理论与线性方程组求解相分离。

后来又经过许多大数学家的不断发展完善，如柯西、詹姆士·西尔维斯特（J.Sylvester,1814-1894）、雅可比（J.Jacobi,1804-1851）等人都对行列式的进步起到了巨大的推动作用。

美国当代数学家BernardKolman对行列式又做了进一步的解析与应用。

数学家ChongyingDong,Fu-anLi等人在Vandermonde行列式方面的最新研究也被收录到RecentDevelopmentsinAlgebraandRelatedAreas一书中。

本文通过在行列式基本性质了解的基础上，进一步探讨一种特殊的行列式——Vandermonde行列式的相关性质及其应用。

2预备知识

为了深入学习Vandermonde行列式的性质及其应用，我们有必要回顾一下行列式的相关知识。

2.1定义1

行列式是由个元素（数）（=1,2,…,）排成行列并写成

（1）

的形式，它表示所有符合以下条件的项的代数和：

　　①每项是个元素的乘积，这个元素是从

（1）中每行取一个元素、每列取一个元素组成的，可记为,式中是1,2,…,的一个排列。

　②每项应带正号或负号，以1,2,…,的顺序为标准来比较排列（）的逆序数是偶或奇而决定。

例如三阶行列式中的项排列（231）有2个逆序，即2在1之前，3在1之前,所以应带正号；而中（213）的逆序为1，因为这时只有2在1之前，所以应带负号。

2.2行列式的性质

性质1行列式与它的转置行列式相等。

性质2交换行列式的两行（列），行列式改变符号。

性质3如果一个行列式有两行（列）完全相同，那么这个行列式等于0。

性质4把一个行列式的某一行（列）的所有元素同乘以某一个数,等于以数乘这个行列式。

性质5一个行列式中一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号的外边。

性质6如果一个行列式中有一行（列）的元素全部是0，那么这个行列式等于0。

性质7如果一个行列式有两行（列）的对应元素成比例，那么这个行列式等于0。

性质8设行列式的第行元素都可以表示成

那么等于两个行列式与的和，其中的第行元素是，的第行元素是，而与的其他各行都和的一样。

同样的性质对于列来说也成立。

性质9把行列式的某一行（列）的元素乘以同一个数后加到另一行（列）的对应元素上，行列式不变。

2.3行列式计算中的几种基本方法

2.3.1三角形法

就是利用行列式的性质，将给定的行列式化为上三角形或下三角形行列式，而上（下）三角形行列式的值即为其主对角线上所有元素的乘积。

例1计算级行列式

.

分析该行列式具有各行（列）元素之和相等的特点.可将第列（行）都加到第一列（行）（或第列（行）加到第列（行）），则第1（或）列（行）的元素相等，再进一步化简即可化为三角形行列式或次三角行列式.

解

2.3.2加边法或升级法

例2计算级行列式

分析该行列式的各行（列）含有共同的元素可在保持原行列式值不变的情况下，增加一行一列（称为升级发或加边法），适当选择所增加行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素.

解

2.3.3递推法或数学归纳法

例3计算级行列式

分析对于三对角或次三对角行列式，按其第1行（列）或第行（列）展开得到两项的递推关系，再利用变形递推的技巧求解.

解

直接递推不易得到结果（按低级是可以的），变形得

3行列式的一种特殊类型——Vandermonde行列式

定义2我们把型如

=

的行列式叫做Vandermonde行列式，其中表示这个数码的所有可能（，）因子共项的乘积（）。

3.1Vandermonde行列式的证法

方法一、消元法

证：

从第行开始，每一行加上前一行的倍。

根据行列式的性质可知行列式的值不变，此时有

=

=1

（按行列式首项展开得到）

（2）

注意到行列式

（2）是阶Vandermonde行列式，即已经将用表示出来。

重复用上述方法对进行求解，经过有限步可以得到：

=（…）（）…（）

=即证。

方法二：

数学归纳法

证：

当时,成立。

假设对于阶成立，对于阶有：

首先要把降阶，从第n行起后一行减去前一行的倍，然后按第一行进行展开，就有，于是就有=，其中表示连乘，的取值为，原命题得证。

方法一与方法二的实质与算法是一致的，可以说是同一种方法。

3.2Vandermonde行列式的性质

3.2.1推广的性质定理：

行列式

==（k=0,1,2…n-1）,

其中是中（）个数的一个正序排列。

表示对所有（）阶排列求和。

证：

（i）在行列式中增补第（）行和（）列相应的元素考虑（）阶Vandermonde行列式

=

…………

=（*）

（ii）由（*）式的两端分别计算多项式中项的系数，在（*）左端，由行列式计算：

的系数为行列式中该元素对应的代数余子式，在（*）式右端，由多项式计算为的个不同根。

根据根与系数的关系，项的系数为

，

其中是1，2…中（）个数的一个正序排列，表示对所有（）阶排列求和。

（iii）比较中项的系数，计算行列式，因为（*）式左右两端项系数应该相等，所以

即（**）

定理得证。

利用此性质定理可以计算各阶准Vandermonde行列式，简便易行。

特别，当时，令=1，（**）式即为Vandermonde行列式V。

例4计算准Vandermonde行列式

解由定理，=6,=3,所以

=

.

3.2.2一个Vandermonde行列式为0的充分必要条件是中至少有两个相等.

3.2.3Vandermonde行列式的偏导数.

定理，

由Vandermonde行列式的定义知，是的元函数.

例5设是个两两互异的数，证明对任意个数，存在唯一的次数小于的多项式

，

使得，.

证从定义容易看出的次数小于，且

，

故只需证明唯一性即可.

设满足

，，即

，

这个关于的线性方程组系数行列式为

，

故是唯一的，必须

.

这就是有名的拉格朗日插值公式。

例6设是个复系数多项式，满足

.

证明：

.

证：

设，取，分别以代入，可得

，这个关于的齐次线性方程组的系数行列式为

，

因此.

3.3Vandermonde行列式的翻转与变形.

3.3.1将Vandermonde行列式逆时针旋转，得

.

3.3.2将Vandermonde行列式顺时针旋转，得

.

3.3.3将Vandermonde行列式旋转，得

.

3．4Vandermonde行列式的应用

3.4.1Vandermonde行列式在Cramer法则中的应用.

例7设是互不相同的数，求解下面的方程组

.

解：

系数行列式为

，其中，所以

，.

3.4.2如何利用Vandermonde行列式计算行列式

法一所给行列式各行（列）都是某元素的不同方幂，但其方幂次数或其排列与Vandermonde行列式不完全相同，需利用行列好似性质（如提取公因式，调换各行（列）的次序等）将行列式化为Vandermonde行列式。

例8计算

解：

.

法二利用行列式性质，改变原行列式中的元素，产生以新元素为行（列）的Vandermonde行列式。

例9计算阶行列式

，其中，，（）.

解：

提取各行的公因式，得到

（Vandermonde行列式）

上式右端行列式是以新元素为列元素的阶Vandermonde行列式，所以

=.

法三如阶行列式的第行（列）由两个分行（列）所组成，其中任意相邻两行（列）均含有相同分行（列），且中含有个分行（列）组成的Vandermonde行列式，那么将的第行（列）乘以（）加到（）行（列），消除一些分行（列），即可化成Vandermonde行列式。

例10计算行列式

△=.

解：

在△的第2行中去掉与第一行成比例的分行，得到

△=

在上面行列式的第3行中去掉与第2行成比例的分行，得到一个新的行列式，在此新行列式的第4行中去掉与第3行成比例的分行，得到

△==.

法四各行（列）元素均为某一元素的不同方幂，但都缺少同一方幂的行列式，可用各种方法化成Vandermonde行列式。

下面用加边法。

例11（缺行Vandermonde行列式）

.

解：

注意此行列式与Vandermonde行列式的区别在于的幂跳过，我们自然会想到把缺了的幂补起来，再利用Vandermonde行列式，故令

=

=.

另一方面，对按最后一列进行Laplace展开，可知的代数余子式是.因此视为的多项式，则应是的系数，故

（的系数）

.