《导数及其应用》文科测试题(详细答案)Word下载.doc
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9.设在内单调递增,,则是的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
10.函数的图像如图所示,下列数值排序正确的是()
(A)y
(B)
(C)
(D)O1234x
二.填空题(本大题共4小题,共20分)
11.函数的单调递增区间是____.
12.已知函数在区间上最大值、最小值分别为,则_.
13.点P在曲线上移动,设在点P处的切线的倾斜角为为,则的取值范围是
14.已知函数
(1)若函数在总是单调函数,则的取值范围是.
(2)若函数在上总是单调函数,则的取值范围.
(3)若函数在区间(-3,1)上单调递减,则实数的取值范围是.
三.解答题(本大题共4小题,共12+12+14+14+14+14=80分)
15.用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2:
1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?
最大体积是多少?
16.设函数在及时取得极值.
(1)求a、b的值;
(2)若对于任意的,都有成立,求c的取值范围.
17.设函数分别在处取得极小值、极大值.平面上点的坐标分别为、,该平面上动点满足,点是点关于直线的对称点,.求
(Ⅰ)求点的坐标;
(Ⅱ)求动点的轨迹方程.
18. 已知函数
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)若关于的方程有三个不同的实根,求实数的取值范围.
19.已知
(1)当时,求函数的单调区间。
(2)当时,讨论函数的单调增区间。
(3)是否存在负实数,使,函数有最小值-3?
20.已知函数,,其中.
(1)若是函数的极值点,求实数的值;
(2)若对任意的(为自然对数的底数)都有≥成立,求实数的取值范围.
【文科测试解答】
一、选择题
1.;
2.,选(A)
3.(B)数形结合
4.A由,依题意,首先要求b>
0,所以
由单调性分析,有极小值,由得.
5.解:
与直线垂直的直线为,即在某一点的导数为4,而,所以在(1,1)处导数为4,此点的切线为,故选A
6.(D)7.(D)8.(C)9.(B)
10.B设x=2,x=3时曲线上的点为AB,点A处的切线为AT
点B处的切线为BQ, T
yB
A
如图所示,切线BQ的倾斜角小于
直线AB的倾斜角小于Q
切线AT的倾斜角
O1234x
所以选B
11.12.3213.14.
(1)
三、解答题
15.解:
设长方体的宽为x(m),则长为2x(m),高为
.
故长方体的体积为
从而
令V′(x)=0,解得x=0(舍去)或x=1,因此x=1.
当0<x<1时,V′(x)>0;
当1<x<时,V′(x)<0,
故在x=1处V(x)取得极大值,并且这个极大值就是V(x)的最大值。
从而最大体积V=V′(x)=9×
12-6×
13(m3),此时长方体的长为2m,高为1.5m.
答:
当长方体的长为2m时,宽为1m,高为1.5m时,体积最大,最大体积为3m3。
16.解:
(1),
因为函数在及取得极值,则有,.
即
解得,.
(2)由(Ⅰ)可知,,
.
当时,;
当时,.
所以,当时,取得极大值,又,.
则当时,的最大值为.
因为对于任意的,有恒成立,
所以 ,
解得 或,
因此的取值范围为.
17.解:
(1)令解得
当时,,当时,,当时,
所以,函数在处取得极小值,在取得极大值,故,
所以,点A、B的坐标为.
(2)设,,
,所以,又PQ的中点在上,所以
消去得.
另法:
点P的轨迹方程为其轨迹为以(0,2)为圆心,半径为3的圆;
设点(0,2)关于y=2(x-4)的对称点为(a,b),则点Q的轨迹为以(a,b),为圆心,半径为3的圆,由,得a=8,b=-2
18.解
(1)………………………2分
∴曲线在处的切线方程为,即;
……4分
(2)记
令或1.…………………………………………………………6分
则的变化情况如下表
极大
极小
当有极大值有极小值.………………………10分
由的简图知,当且仅当
即时,
函数有三个不同零点,过点可作三条不同切线.
所以若过点可作曲线的三条不同切线,的范围是.…………14分
19.
(1)或递减;
递增;
(2)1、当
递增;
2、当递增;
3、当或递增;
当递增;
当或递增;
(3)因由②分两类(依据:
单调性,极小值点是否在区间[-1,0]上是分类“契机”:
1、当递增,,解得
2、当由单调性知:
,化简得:
,解得
不合要求;
综上,为所求。
20.
(1)解法1:
∵,其定义域为,
∴.
∵是函数的极值点,∴,即.
∵,∴.
经检验当时,是函数的极值点,
∴.
解法2:
∵,其定义域为,
∴.
令,即,整理,得.
∵,
∴的两个实根(舍去),,
当变化时,,的变化情况如下表:
—
+
极小值
依题意,,即,
∵,∴.
(2)解:
对任意的都有≥成立等价于对任意的都有≥.
当[1,]时,.
∴函数在上是增函数.
∴.
∵,且,.
①当且[1,]时,,
∴函数在[1,]上是增函数,
∴.
由≥,得≥,
又,∴不合题意.
②当1≤≤时,
若1≤<,则,
若<≤,则.
∴函数在上是减函数,在上是增函数.
又1≤≤,∴≤≤.
③当且[1,]时,,
∴函数在上是减函数.
又,∴.
综上所述,的取值范围为.