-河南省郑州市高二上期末数学试卷文科Word文档格式.doc
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A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
6.(5分)函数f(x)=﹣x3+3x2+9x+a,x∈[﹣2,2]的最小值为﹣2,则f(x)的最大值为( )
A.25 B.23 C.21 D.20
7.(5分)等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1000+a1018=2,则S2017=( )
A.1008 B.1009 C.2016 D.2017
8.(5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=2,c=4,cosA=,则b=( )
A.2 B.2 C.4 D.6
9.(5分)已知直线y=x+k与曲线y=ex相切,则k的值为( )
A.e B.2 C.1 D.0
10.(5分)过y2=4x的焦点作直线交抛物线于A,B两点,若O为坐标原点,则•=( )
A.﹣1 B.﹣2 C.﹣3 D.不确定
11.(5分)在△ABC中,若BC=2,A=60°
,则•有( )
A.最大值﹣2 B.最小值﹣2 C.最大值2 D.最小值2
12.(5分)圆O的半径为定长,A是平面上一定点,P是圆上任意一点,线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q,当点P在圆上运动时,点Q的轨迹为( )
A.一个点 B.椭圆
C.双曲线 D.以上选项都有可能
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(5分)若命题P:
∀x∈R,2x+x2>0,则¬P为 .
14.(5分)若x,y满足,则z=x+2y的取值范围为 .
15.(5分)数列{an}满足a1=1,a2=2,且an+2=(n∈N*),则ai= .
16.(5分)已知F为双曲线C:
﹣=1的左焦点,A(1,4),P是C右支上一点,当△APF周长最小时,点F到直线AP的距离为 .
三、解答题:
本大题共6小题,共70分.解答写出文字说明、证明过程或演算过程.
17.(10分)已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且b2=2,b3=4,a1=b1,a8=b4.
(Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)设cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和.
18.(12分)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,a2﹣c2=b2﹣,a=6,sinB=.
(Ⅰ)求角A的正弦值;
(Ⅱ)求△ABC的面积.
19.(12分)已知p:
函数f(x)=lg(x2﹣2x+a)的定义域为R;
q:
对任意实数x,不等式4x2+ax+1>0成立,若“p∨q”为真,“p∧q”为假,求实数a的取值范围.
20.(12分)Sn为数列{an}的前n项和,已知an>0,an2+an=2Sn.
(Ⅱ)若bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
21.(12分)已知函数f(x)=lnx.
(Ⅰ)y=kx与f(x)相切,求k的值;
(Ⅱ)证明:
当a≥1时,对任意x>0不等式f(x)≤ax+﹣1恒成立.
22.(12分)在圆x2+y2=3上任取一动点P,过P作x轴的垂线PD,D为垂足,=动点M的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程及其离心率;
(2)若直线l交曲线C交于A,B两点,且坐标原点到直线l的距离为,求△AOB面积的最大值.
参考答案与试题解析
【分析】不等式可化为x(x﹣1)<0,即可得到不等式>1的解集.
【解答】解:
不等式可化为x(x﹣1)<0,
∴0<x<1,
∴不等式>1的解集为(0,1),
故选B.
【点评】本题考查不等式的解法,考查学生转化问题的能力,正确转化是关键.
【分析】利用正弦定理求得sinB的值.
△ABC中,若a=1,b=2,sinA=,
则由正弦定理可得=,
即=,∴sinB=,
故选:
A.
【点评】本题主要考查正弦定理的应用,属于基础题.
【分析】由等比数列通项公式列出方程组,求出首项和公差,由此能求出a6.
∵等比数列{an}中,a2+a4=20,a3+a5=40,
∴,解得a=2,q=2,
∴a6=2×
25=64.
C.
【点评】本题考查等比数列的第6项的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等比数列的性质的合理运用.
【分析】先根据题意确定∠ACB的值,再由勾股定理可直接求得|AB|的值.
根据题意,△ABC中,∠ACB=180°
﹣20°
﹣70°
=90°
∵AC=akm,BC=2akm,
∴由勾股定理,得AB=akm,
即灯塔A与灯塔B的距离为akm,
【点评】本题给出实际应用问题,求海洋上灯塔A与灯塔B的距离.着重考查了三角形内角和定理和运用勾股定理解三角形等知识,属于基础题.
【分析】根据不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断.
由a3>b3得a>b,
则“a>b“是“a3>b3”的充要条件,
A
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据不等式的关系是解决本题的关键.比较基础.
【分析】先将f(x)的各极值与其端点的函数值比较,其中最大的一个就是最大值,最小的一个就是最小值,再根据条件求出a的值,最小值即可求得.
求导函数可得f′(x)=﹣3x2+6x+9=﹣3(x+1)(x﹣3)
令f′(x)=﹣3x2+6x+9=0,解得x=﹣1或3
∵x∈[﹣2,﹣1)时,f′(x)<0,函数单调减,x∈(﹣1,2]时,f′(x)>0,函数单调增,
∴函数在x=﹣1时,取得最小值,在x=﹣2或x=2时,函数取得最大值,
∵f(﹣1)=﹣5+a=﹣2,
∴a=3,
∴f(﹣2)=2+a=5,f
(2)=22+a=25,函数的最大值为25,
【点评】本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值,解题的关键是利用导数工具,确定函数的最值,属于中档题.
【分析】由等差数列的性质得a1+a2017=2由此能求出结果
∵等差数列{an}的前n项和为Sn,a1000+a1018=2,
∴a1+a2017=2,
∴S2017=(a1+a2017)=2017.
D
【点评】本题考查等差数列的前2017项和的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列的性质的合理运用.
【分析】由已知利用余弦定理即可计算得解.
∵a=2,c=4,cosA=,
∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA,可得:
20=b2+16﹣2×
,
∴整理可得:
3b2﹣16b﹣12=0,解得:
b=6或﹣(舍去).
D.
【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用,属于基础题.
【分析】设切点为(x0,y0),求出切线斜率,利用切点在直线上,代入方程,即可得到结论.
设切点为(x0,y0),则y0=ex0,
∵y′=(ex)′=ex,∴切线斜率k=ex0,
又点(x0,y0)在直线上,代入方程得y0=k+x0,
即ex0=ex0+x0,
解得x0=0,k=1,
【点评】本题考查切线方程,考查导数的几何意义,考查学生的计算能力,属于中档题.
【分析】可得出抛物线y2=4x的焦点为(1,0),并画出图形,根据题意可设AB的方程为x=ky+1,联立抛物线方程消去x便得到y2﹣4ky﹣4=0,从而得出y1y2=﹣4,然后可设,这样便可求出的值.
抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),如图:
设直线AB的方程为x=ky+1,代入y2=4x消去x得:
y2﹣4ky﹣4=0;
∴y1y2=﹣4;
设,则:
.
故选C.
【点评】考查抛物线的标准方程,过定点且斜率不为0的直线方程的设法,韦达定理,以及向量数量积的坐标运算.
【分析】可先画出图形,根据BC=2,A=60°
,对两边平方,进行数量积的运算即可得到,从而得出,这样便可求出,从而得出正确选项.
如图,
;
∴,且BC=2,A=60°
∴;
即;
∴有最小值﹣2.
【点评】考查向量加法的几何意义,向量数量积的运算及计算公式,不等式a2+b2≥2ab的运用,以及不等式的性质.
【分析】结合双曲线的定义及圆与直线的相关性质,推导新的结论,熟练掌握双曲线的定义及圆与直线的性质是解决问题的关键.
∵A为⊙O外一定点,P为⊙O上一动点
线段AP的