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（x）+x+1>

0，求k的最大值

（1）的定义域为，，

若，则，所以在单调递增.

若，则当时，；

当时，，所以在单调递减，在单调递增.

（2）由于，所以.

故当时，等价于.

令，则.

由

（1）知，函数在单调递增，而，，

所以，在存在唯一的零，故在存在唯一的零点.

设此零点为，则.

当时，；

当时，.

所以在的最小值为.又由，可得，所以.由于①式等价于，故整数的最大值为2

【2013新课标1】20.已知函数f（x）＝ex（ax＋b）－x2－4x，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝4x＋4.

（1）求a，b的值；

（2）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．

（1）f′（x）＝ex（ax＋a＋b）－2x－4.由已知得f（0）＝4，f′（0）＝4.

故b＝4，a＋b＝8.从而a＝4，b＝4.

（2）由

（1）知，f（x）＝4ex（x＋1）－x2－4x，

f′（x）＝4ex（x＋2）－2x－4＝4（x＋2）·

.

令f′（x）＝0得，x＝－ln2或x＝－2.

从而当x∈（－∞，－2）∪（－ln2，＋∞）时，f′（x）＞0；

当x∈（－2，－ln2）时，f′（x）＜0.

故f（x）在（－∞，－2），（－ln2，＋∞）上单调递增，在（－2，－ln2）上单调递减．

当x＝－2时，函数f（x）取得极大值，极大值为f（－2）＝4（1－e－2）．

【2013新课标2】21．已知函数f（x）＝x2e－x.

（1）求f（x）的极小值和极大值；

（2）当曲线y＝f（x）的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围．

（1）f（x）的定义域为（－∞，＋∞），f′（x）＝－e－xx（x－2）．①

当x∈（－∞，0）或x∈（2，＋∞）时，f′（x）＜0；

当x∈（0,2）时，f′（x）＞0.

所以f（x）在（－∞，0），（2，＋∞）单调递减，在（0,2）单调递增．

故当x＝0时，f（x）取得极小值，极小值为f（0）＝0；

当x＝2时，f（x）取得极大值，极大值为f

（2）＝4e－2.

（2）设切点为（t，f（t）），则l的方程为y＝f′（t）（x－t）＋f（t）．

所以l在x轴上的截距为m（t）＝.

由已知和①得t∈（－∞，0）∪（2，＋∞）．

令h（x）＝（x≠0），则当x∈（0，＋∞）时，h（x）的取值范围为[，＋∞）；

当x∈（－∞，－2）时，h（x）的取值范围是（－∞，－3）．

所以当t∈（－∞，0）∪（2，＋∞）时，m（t）的取值范围是（－∞，0）∪[，＋∞]．

综上，l在x轴上的截距的取值范围是（－∞，0）∪[，＋∞]．

【2014新课标1】21．设函数，曲线处的切线斜率为0

（1）求b;

（2）若存在使得，求a的取值范围。

（1），由题设知,解得b=1

（2）f（x）的定义域为（0,+∞）,由

（1）知,，

（i）若，则，故当x∈（1,+∞）时,f'

（x）>

0,f（x）在（1,+∞）上单调递增.

所以,存在≥1,使得的充要条件为，即

所以--1<

a<

-1;

（ii）若，则，故当x∈（1,）时,f'

（x）<

0,x∈（）时,

，f（x）在（1,）上单调递减，f（x）在单调递增.

所以,存在≥1,,使得的充要条件为，

而，所以不符合题意.

（ⅲ）若，则。

综上，a的取值范围为：

【2014新课标2】21.已知函数，曲线在点（0,2）处的切线与轴交点的横坐标为-2.

（1）求a；

当时，曲线与直线只有一个交点。

（1），

曲线在点（0，2）处的切线方程为，由题设得，所以

（2）由

（1）知，

设

由题设知

当时，，单调递增，，

所以在有唯一实根。

当时，令，则

在单调递减，在单调递增，所以

所以在没有实根

综上在R由唯一实根，即曲线与直线只有一个交点。

【2015新课标1】21.设函数。

（1）讨论的导函数零点的个数；

当时，。

【2015新课标2】21.已知.

（1）讨论的单调性；

（2）当有最大值,且最大值大于时,求a的取值范围.

【解析】已知.

（2）由

（1）知，当

【2016新课标1】21.已知函数fx=x-2ex+a（x-1）2.

（I）讨论f（x）的单调性；

（II）若f（x）有两个零点，求的取值范围.

（I）

（i）设，则当时，；

当时，.

所以在单调递减，在单调递增.

（ii）设，由得x=1或x=ln（-2a）.

①若，则，所以在单调递增.

②若，则ln（-2a）<

1,故当时，；

当时，，所以在单调递增，在单调递减.

③若，则，故当时，，当时，。

所以在单调递增，在单调递减.

（II）

（i）设，则由（I）知，在单调递减，在单调递增.

又，取b满足b<

0且，

则，所以有两个零点.

（ii）设a=0，则所以有一个零点.

（iii）设a<

0，若，则由（I）知，在单调递增.

又当时，<

0，故不存在两个零点；

若，则由（I）知，在单调递减，在单调递增.又当时<

0，故不存在两个零点.

综上，a的取值范围为.

【2016新课标2】20.已知函数．

（1）当时，求曲线在处的切线方程；

（2）若当时，，求的取值范围．

（1）当时，，，切点坐标．对求导，得，从而切线斜率，所以切线方程为，

即

（2）对求导，得，再求导，得．

当时，，函数在区间内单调递增，所以．

（ⅰ）若，则当时，，函数在区间内单调递增，所以．

（ⅱ）若，则结合函数在区间内单调递增，可知方程存在唯一零点，设为，则．

当时，，函数在区间内单调递减，所以，不成立．

综上，的取值范围是．

【2016新课标3】21.设函数.

（2）证明当时，；

（3）设，证明当时，.

（1）由题设，的定义域为，，令，解得.

当时，，单调递增；

当时，，单调递减.

（2）由

（1）知，在处取得最大值，最大值为.

所以当时，.

故当时，，，即.

（3）由题设，设，则，

令，解得.

由

（2）知，，故，又，故当时，.

所以当时，.

【2017新课标1】21.已知函数=ex（ex﹣a）﹣a2x．

（2）若，求a的取值范围。

（1）函数的定义域为，，

①若，则，在单调递增.

②若，则由得.

当时，；

当时，，所以在单调递减，在单调递增.

③若，则由得.

当时，，故在单调递减，在单调递增.

（2）①若，则，所以.

②若，则由

（1）得，当时，取得最小值，最小值为.从而当且仅当，即时，.

③若，则由

（1）得，当时，取得最小值，最小值为.从而当且仅当，即时.

综上，的取值范围为.

【2017新课标2】21.设函数f（x）=（1-x2）ex.

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）当x0时，f（x）ax+1，求a的取值范围。

（1）∵f（x）=（1﹣x2）ex，x∈R，∴f′（x）=（1﹣2x﹣x2）ex，

令f′（x）=0可知x=﹣1±

，

当x＜﹣1﹣或x＞﹣1+时，f′（x）＜0，当﹣1﹣＜x＜﹣1+时f′（x）＞0，

∴f（x）在（﹣∞，﹣1﹣），（﹣1+，+∞）上单调递减，在（﹣1﹣，﹣1+）上单调递增；

（2）由题可知f（x）=（1﹣x）（1+x）ex．下面对a的范围进行讨论：

①当a≥1时，设函数h（x）=（1﹣x）ex，则h′（x）=﹣xex＜0（x＞0），

因此h（x）在[0，+∞）上单调递减，又因为h（0）=1，所以h（x）≤1，

所以f（x）=（1﹣x）h（x）≤x+1≤ax+1；

②当0＜a＜1时，设函数g（x）=ex﹣x﹣1，则g′（x）=ex﹣1＞0（x＞0），

所以g（x）在[0，+∞）上单调递增，又g（0）=1﹣0﹣1=0，所以ex≥x+1．

因为当0＜x＜1时f（x）＞（1﹣x）（1+x）2，

所以（1﹣x）（1+x）2﹣ax﹣1=x（1﹣a﹣x﹣x2），

取x0=∈（0，1），则（1﹣x0）（1+x0）2﹣ax0﹣1=0，

所以f（x0）＞ax0+1，矛盾；

③当a≤0时，取x0=∈（0，1），则f（x0）＞（1﹣x0）（1+x0）2=1≥ax0+1，矛盾；

综上所述，a的取值范围是[1，+∞]．

【2017新课标3】21.设函数.

（2）当时，证明.

（1）由有

①当时，单增

②当时，令，即，

③解得，设

ⅰ.当时，开口向上，,,即，单增

ⅱ.当时，开口向上，，

此时，在上，，即，单减

在上，，即，单增

（2）由

（1）可得：

故要证，即证

即证，即证

令，则，令，得

，故原命题得证.

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