1998年全国Ⅱ高考数学试题文Word格式.doc
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4.两条直线,垂直的充要条件是
A.B. C. D.
5.函数的反函数=
6.已知点在第一象限,则在内的取值范围是
A. B.
C. D.
7.已知圆锥的全面积是底面积的3倍,那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为
A.120°
B.150°
C.180°
D.240°
8.复数的一个立方根是,它的另外两个立方根是
9.如果棱台的两底面积分别是,,中截面的面积是,那么
C. D.
12.2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检,每校分配1名医生和2名护士,不同的分配方法共有
A.6种 B.12种 C.18种 D.24种
h
v
H
11.向高为的水瓶中注水,注满为止,如果注水量与水深的函数关系的图像如右图所示,那么水瓶的形状是
12.椭圆的焦点为,点在椭圆上,如果线段的中点在轴上,那么点的纵坐标是
A. B. C. D.
13.球面上有3个点,其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的,经过这3个点的小圆的周长为,那么这个球的半径为
A. B. C.2 D.
14.一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列,其最小内角正弦值为
15.等比数列的公比为,前项和满足,那么的值为
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
注意事项:
用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上.
二、填空题:
本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上.
A
B
C
D
A1
D1
B1
C1
16.设圆过双曲线的一个顶点和一个焦点,圆心在此双曲线上,则圆心到双曲线中心的距离是.
17.的展开式中的系数为(用数字作答).
18.如图,在直四棱柱中,当底面四边形满足条件时,有.(注:
填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形.)
19关于函数,有下列命题:
①由可得必是的整数倍;
②的表达式可改写为;
③的图像关于点对称;
④的图像关于直线对称.其中正确的命题的序号是.(注:
把你认为正确的命题的序号都填上.)
三、解答题:
本大题共6小题,共69分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
20.(本小题满分10分)设,解关于的不等式.
21.(本小题满分11分)在△中,、、分别是角、、的对边,设,.求的值.
以下公式供解题时参考:
,,
,
l2
l1
M
N
22.(本小题满分12分)如图,直线和相交于点,⊥,点.以、为端点的曲线段上的任一点到的距离与到点的距离相等,若△为锐角三角形,,且.建立适当的坐标系,求曲线段的方程.
23.(本小题满分12分)已知斜三棱柱的侧面与底面垂直,,,,且,.
(1)求侧棱与底面所成角的大小;
(2)求侧面与底面所成二面角的大小;
(3)求侧棱和侧面的距离.
b
a
2
24.(本小题满分12分)如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱,污水从孔流入,经沉淀后从孔流出.设箱体的长度为米,高度为米.已知流出的水中该杂质的质量分数与,的乘积成反比.现有制箱材料60平方米.问当,各为多少米时,经常常后流出的水中该杂质的质量分数最小(、孔的面积忽略不计).
25.(本小题满分12分)已知数列是等差数列,,.
(1)求数列的通项;
(2)设数列的通项,记是数列的前项和.试比较与的大小,并证明你的结论.
数学试题参考答案
一、选择题,本题考查基础知识,基本概念和基本运算能力
题号
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题.本题考查基础知识,基本概念和基本运算技巧
13.
14.
15.
16.
三、解答题
17.
1998年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考解答及评分标准
一.选择题:
本题考查基本知识和基本运算.第
(1)-(10)题每小题4分,第(11)-(15)题每小题5分.满分65分.
(1)D
(2)B(3)C(4)A(5)B(6)B(7)C(8)D(9)A(10)B(11)B(12)A(13)B(14)C(15)D
二.填空题:
本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.
(16)(17)-5120
(18)AC⊥BD,或任何能推导出这个条件的其他条件.例如ABCD是正方形,菱形等
(19)①,③注:
第(19)题多填、漏填的错填均给0分.
三.解答题:
(20)本小题主要考查不等式基本知识,不等式的解法.满分10分.
解:
将原不等式化为
(a2-b2)x+b2≥(a-b)2x2+2(a-b)bx+b2,移项,整理后得(a-b)2(x2-x)≤0,
∵a≠b即(a-b)2>0,∴x2-x≤0,即x(x-1)≤0.解此不等式,得解集{x|0≤x≤1}.
(21)本小题考查正弦定理,同角三角函数基本公式,诱导公式等基础知识,考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力.满分11分.
由正弦定理和已知条件a+c=2b得sinA+sinC=2sinB.
由和差化积公式得.
由A+B+C=π,得=,
又A-C=,得cos=sinB,∴cos=2sincos.∵0<<,≠0,
∴sin=,从而cos==
∴sinB==
(22)本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系,求曲线方程的解析几何的基本思想.考查抛物线的概念和性质,曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力.满分12分.
解法一:
如图建立坐标系,以l1为x轴,MN的垂直平分线为y轴,点O为坐标原点.
依题意知:
曲线段C是以点N为焦点,以l2为准线的抛线段的一段,其中A、B分别为C的端点.
设曲线段C的方程为y2=2px(p>0),(xA≤x≤xB,y>0),其中xA,xB分别为A,B的横坐标,P=|MN|.
所以M(-,0),N(,0).
由|AM|=,|AN|=3得(xA+)2+2PxA=17,①
(xA-)2+2PxA=9.②
由①、②两式联立解得xA=,再将其代入①式并由p>0解得或.
因为△AMN是锐角三角形,所以>xA,故舍去.∴P=4,xA=1.
由点B在曲线段C上,得xB=|BN|-=4.综上得曲线段C的方程为y2=8x(1≤x≤4,y>0).
解法二:
如图建立坐标系,分别以l1、l2为x、y轴,M为坐标原点.
作AE⊥l1,AD⊥l2,BF⊥l2,垂足分别为E、D、F.
设A(xA,yA)、B(xB,yB)、N(xN,0).
依题意有xA=|ME|=|DA|=|AN|=3,
yA=|DM|==2,由于△AMN为锐角三角形,故有
xN=|AE|+|EN|=4.=|ME|+=4
XB=|BF|=|BN|=6.
设点P(x,y)是曲线段C上任一点,则由题意知P属于集合{(x,y)|(x-xN)2+y2=x2,xA≤x≤xB,y>0}.
故曲线段C的方程y2=8(x-2)(3≤x≤6,y>0).
(23)本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,棱柱的性质,空间的角和距离的概念,逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力.满分12分.
注:
题中赋分为得到该结论时所得分值,不给中间分.
(Ⅰ)作A1D⊥AC,垂足为D,由面A1ACC1⊥面ABC,得A1D⊥面ABC,
∴∠A1AD为A1A与面ABC所成的角.∵AA1⊥A1C,AA1=A1C,∴∠A1AD=45º
为所求.
(Ⅱ)作DE⊥AB,垂足为E,连A1E,则由A1D⊥面ABC,得A1E⊥AB.
∴∠A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角.
由已知,AB⊥BC,得ED∥BC.又D是AC的中点,BC=2,AC=2,
∴DE=1,AD=A1D=,tgA1ED==.故∠A1ED=60º
为所求.
(Ⅲ)作BF⊥AC,F为垂足,由面A1ACC1⊥面ABC,知BF⊥面A1ACC1.
∵B1B∥面A1ACC1,∴BF的长是B1B和面A1ACC1的距离.
在Rt△ABC中,,∴为所求.
(24)本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力,考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识.满分12分.
设y为流出的水中杂质的质量分数,则y=,其中k>0为比例系数,依题意,即所求的a,b值使y值最小.
根据题设,有4b+2ab+2a=60(a>0,b>0),得(0<a<30=,①
于是
当a+2=时取等号,y达最小值.
这时a=6,a=-10(舍去).将a=6代入①式得b=3.
故当a为6米,b为3米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.
依题意,即所求的a,b的值使ab最大.
由题设知4a+2ab+2a=60(a>0,b>0)
即a+2b+ab=30(a>0,b>0).∵a+2b≥2,∴2+ab≤30,
当且仅当a=2b时,上式取等号.
由a>0,b>0,解得0<ab≤18.即当a=2b时,ab取得最大值,其最大值18.
∴2b2=18.解得b=3,a=6.
(25)本小题主要考查等差数列基本概念及其通项求法,考查对数函数性质,考查归纳,推理能力以及用数学归纳法进行论证的能力.满分12分.
(Ⅰ)设数列工{bn}的公差为d,由题意得
b1=1,
10b1+=100.
解得b1=1,
d=2.
∴bn=2n-1.
(Ⅱ)由bn=2n-1,知
Sn=lg(1+1)+lg(1+)+…+lg(1+)=lg[(1+1)(1+)·
…·
(1+)],lgbn+1=lg.
因此要比较Sn与lgbn+1的大小,可先比较(1+1)(1+)·
(1+)与的大小.
取n=1有(1+1)>,
取n=2有(1+1)(1