第三章 数字频谱分析Word格式.docx

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设有限长序列x（n）:

由于离散富氏变换（DFT）只能处理有限长的数据序列,上述相当于对无穷长系列

加一矩形窗后得到:

x（n）的频谱:

（对无限长序列加矩形窗）

（3-2-1）

如果,如图3-2-1所示:

图3-2-1相干采样时的离散频谱

如果，则如图3-2-2所示:

图3-2-2非相干采样时的离散频谱

这样单频信号的频谱经DFT后变成了多条谱线,造成功率的分散（即是泄漏），下面详细分析其原因。

假设输入信号频率为采样频率.

（）当l为整数（相干采样）时，

这种情况下，频谱没有泄漏，输入信号频率为的整数倍。

采样点,即采样长度为信号的整数倍周期。

这种情况称为相干采样。

（）l不为整数时（记录长度M中不含整数个信号周期，非相干采样）

有：

这时便出现频谱泄漏，本来应是单条谱线（单频信号），但作DFT后出现多条谱线。

从上面可知这是由于对无穷长信号截短产生的必然结果，是非相干采样的固有特性，不能根本消除，只能使用窗函数使泄漏减小.

3-2-2.频谱泄漏的直观解释:

由离散傅氏变换的含义及来源可知:

DFT实际上相当于将采样的信号在时间轴上，即上作无限的周期延拓，产生无限长的周期信号。

对作傅氏级数展开，得到，由傅氏级数的性质;

周期离散

离散周期

因而是离散周期的系列。

离散傅氏变换:

DFT（x（n））实际上是取的一个周期，k=0,1,...,M-1.记为：

其中：

。

当x（n）不是由相干采样产生时,即n=0,1...m-1时,信号长度不包含整数周期的正弦波。

如果作周期延拓,如图3-2-3所示,

图3-2-3采样延拓信号与原始信号

这时M*Ts=L*T0,L不是整数,作周期延拓后的信号显然与原信号有所不同.在接点处,即t=M*Ts*k（k=...,-1,0,1,...）,延拓信号是不连续不光滑的（导数不存在或不连续）。

这样从延拓信号看便产生了高频成份，而导致了泄漏!

如果M=L*fs/f0,即M*Ts=L*f0,L是整数,则延拓后的信号和原信号一样。

因而没有产生泄漏。

从这一直观的分析也同样得出结论:

只有相干采样才能根本消除泄漏。

在非相干采样中是无法根本消除的.只有用窗函数来减少这一影响.

以上考虑单频输入的情况.如果几种输入频率不同,则一般更难于用相干采样,因而绝大多数情况,窗函数是不可避免的!

第三节窗函数

3-3-1.窗函数的物理意义

由上面讨论可知,非相干采样时,数据泄漏造成频谱图严重失真,为提高频谱的估计准确度,使用窗函数减少泄漏。

窗函数是一种权重函数在时域上和采样数据相乘，因而减少了周期延拓信号在边界上的不连续性程度,使加窗后的数据在边界上（0与M-1）有尽可能高次的微分连续。

为达到这一目的,一种简单的方法是将加窗的数据靠近边界处使数据缓慢地变成零。

目前常用的窗函数都如此。

如图3-3-1所示。

图3-3-1窗函数的时域图

在时域中,x（n）、w（n）相乘,而在频域中x（k）、w（k）是周期卷积,离散情况为。

从频域看，窗函数是一种作用于DFT基向量{k/MTs},k=0,1,2...M-1的一种乘性因子。

这种因子使得任何频率的信号只在频率靠近此信号的基向量上有较大的投影（分量），从这种含义上看，窗函数相当于一种滤波器。

这两种观点是等价的,也是设计窗函数的基本指导思想.

3-3-2.窗函数的主要技术指标

1）等效噪声带宽ENBW：

设窗函数w（n）,n=0,1,2...M-1.

则其等效噪声带宽（3-3-1）

频域中,窗函数相当于一种滤波器,在任何一个频率点上,它以某种权重将整个频带的噪声累加起来。

等效噪声带宽是指一个理想的矩形滤波器的带宽，其高度与窗函数的最大功率增益相同,且累加的噪声功率也和窗函数相同。

2）处理增益（processinggain）

假设加窗前信号为:

f（n）=Aexp（jwknT）+q（nT），其中q（nT）为噪音，其方差（功率）为σ2。

这里假设.（相干采样）。

则加窗后的频谱为：

.（3-3-2）

（功率最大的谱线,相干成份）。

可见如果无噪声,其频谱与A成正比,也正比于窗函数的直流信号增益。

相干增益为，相干功率增益为上述的平方。

非相干成分（噪声部分）为:

（3-3-3）

这实际上是噪声平台的平均高度。

输出噪声总功率为:

（3-3-4）

（白噪声分布）。

PG定义为输出信噪比与输入信噪比的比值。

由此可见它和等效噪声带宽恰好成反比。

实际上这是理所当然的。

因为等效噪声带宽越大,则加窗后就有越多的噪声被加入频谱。

3）栅栏损失（ScallopingLoss）

我们知道,DFT实际上是整个频谱中按基向量{k*fs/N},k=0,1,2...N/2取样。

取样结果即是DFT的输出谱瓣。

当输入信号的频谱不是上述基矢中的一个是时则谱峰必然有损失。

损失最大的情况出现在两基矢正中时,即输入信号频率为:

（K+1/2）*fs/N；

k=0,1,2...N/2-1时。

定义SL为上述频率的相干增益与频率为基矢中的一个时的相干增益比:

（3-3-5）

SL表示由于频率不等于基矢频率而导致的处理增益最大损失。

4）最差处理损失（Processingloss）

这也是从信号主峰高度而言。

一方面,PL定义为窗函数的最大栅栏损失与窗的等效噪声带宽之和。

PL是由于加窗和频率不等于DFT取样点而导致的信号主峰与噪声平台比的最大损失，这在讨论谱平均时有用。

5）加窗后的频谱泄漏

从上述讨论ENBW的图上可知，频谱在某点的测量值不仅受到宽带噪声的影响,还受到其它频率信号或杂散波的影响,即在处的信号,在处也有贡献,其大小取决于中心位置在W0处的窗函数在W处的增益。

实际上即为由此可见加窗后仍然存在泄漏,泄漏的大小由窗函数的边瓣大小和边瓣远离中心瓣时的下降速度有关：

边瓣幅度越小,边瓣衰减越快,则频谱泄漏导致的误差越小。

因而衡量一个窗函数的泄漏时,用Peaksidelope和asymptonicsidelepeoffalloffofthesesidelobes。

此外,还有主瓣宽度,重叠相干等指标：

主瓣宽度可以用3dB或6dB宽度表示，6dB宽度还表示窗函数能分辨的最小带宽（MinimumResolutionBandwidth），即两信号频率只有大于窗的6dB带宽才能明显地在频谱图中分辨出两个峰。

3-3-3几种常用窗函数

这里列出几种常用窗函数的表达式。

1）矩形窗,即是最简单的截短函数.

双边形式为:

W（n）=1,n=-M/2,...,0,1,...,M/2.

单边形式为:

W（n）=1,n=0,1...M-1.

2）三角窗:

W（n）=2n/M,n=0,1...M/2

=2（M-n）/M,n=M/2,M/2+1...M-1

3）汉宁窗（Hanning）.

双边:

单边:

4）海明窗（hamming）

单边

5）Blackman窗

双边形式为

单边形式为

其中系数k为整数一般取2,3,4.

a0是窗的相干增益

a0a1a2a3

Blackman:

0.420.500.08

ExactBlackman:

3Term（-67dB）0.423230.492530.07912

3Term（-61dB）0.449598.493648.05677

4Term（-92dB）0.358750.488290.141280.01168

4Term（-74dB）0.402170.497050.093720.00183

6）凯泽--贝塞尔窗（Kaiser-Besselwidow）

这是一种最优化窗，其优化准则是:

使主瓣内的能量最大。

7）高斯窗:

单边形式为

双边形式为

8）Dolph-chebyshow窗

这也是一种最优化窗,优化准则是在规定的旁瓣大小下,使主瓣宽度最小。

双边频谱形式为:

第四节选择合适的记录长度M

数学频谱分析所需的信号记录长度M，要从以下几个方面综合考虑：

1.为了便于FET计算,M应取2的幂次方,因而采样点数取，一般为128--4096（8192）点.实际上如果连续采样点数不是2的幂次,可以利用补零（或截短）的方法使其点数满足这一要求。

2.从频率分辨率上考虑:

DFT输出的离散频谱,相邻谱线的频率间隔为fs/M,这里fs是采样频率。

在多频率信号时，这一指标非常重要。

但实际上频率分辨还与所用窗函数有关。

结合上式和窗函数的6dB带宽便可以较准确地确定加窗FFT的频率分辨能力。

f=fs/M=1/（MTs）=1/tl（3-4-1）

实际上由信号连续记录的时间tl决定.（如果人为地在信号后加零,不会增加频率分辨率!

）

3.在非相干采样时,要使用窗函数,窗函数都有一定宽度的主瓣和一定幅度的边瓣。

例如Hanning窗:

主瓣的宽度为（4*fs/M）。

这里以过零点考虑，而最大边瓣为-32dB，边瓣下降速度为-18dB/倍频。

这样为了使计算的谱精度高于68dB，则要计算主峰一旁的谱线数为:

计算信号能量时,左右两边共21条谱线要计算在内。

如果FFT的点数

M=256,则信号峰占:

21/128=16%

M=1024,则信号峰占:

21/512=4%

为使信号Mgqust频率内点的成份少,点数M需要适当地增加（大一些好!

）如图3-4-1:

图3-4-1FFT点数与信号峰在奈奎斯特频率范围内所占的成分

4.FFTNoisefloor的限制

如果FFT本身的截断误差而引起的噪声可忽略,那么信号的功率与每个bin（瓣）上的噪声功率比为:

SNR=6.02N+1.76+10lg（M/2）（3-4-2）

这里出现10lgM/2一项是因为SNR为信号功率与与单位频率内（fs/M）的噪声功率比。

而不