届高考数学一轮复习 第1章集合与常用逻辑用语Word格式.docx

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记法

基本关系

子集

集合A的元素都是集合B的元素

x∈A⇒

x∈B

A⊆B或B⊇A

真子集

集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A

A⊆B，且

∃x0∈B，

x0∉A

AB或

BA

相等

集合A，B的元素完全相同

A⊆B，

B⊆A

A＝B

空集

不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集

∀x，x∉∅，∅⊆A，∅B（B≠∅）

∅

3．集合的基本运算

集合的并集

集合的交集

集合的补集

表示

A∪B

A∩B

若全集为U，则集合A的补集为∁UA

图形

意义

{x|x∈A，或x∈B}

{x|x∈A，且x∈B}

{x|x∈U，且x∉A}

4．集合的运算性质

（1）并集的性质：

A∪∅＝A；

A∪A＝A；

A∪B＝B∪A；

A∪B＝A⇔BA.

（2）交集的性质：

A∩∅＝∅；

A∩A＝A；

A∩B＝B∩A；

A∩B＝A⇔A⊆B.

（3）补集的性质：

A∪（∁UA）＝；

A∩（∁UA）＝；

∁U（∁UA）＝；

∁U（A∪B）＝（∁UA）∩（∁UB）；

∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）．

1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×

”）

（1）若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.（　　）

（2）{x|x≤1}＝{t|t≤1}．（　　）

（3）{x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{（x，y）|y＝x2＋1}．（　　）

（4）任何一个集合都至少有两个子集．（　　）

（5）若AB，则A⊆B且A≠B.（　　）

（6）对于任意两个集合A，B，关系（A∩B）⊆（A∪B）恒成立．（　　）

（7）若A∩B＝A∩C，则B＝C.（　　）

答案：

（1）×

（2）√　（3）×

　（4）×

　（5）√　（6）√　（7）×

2．（2017·

全国卷Ⅱ）设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则A∪B＝（　　）

A．{1,2,3,4}　　　　　　B．{1,2,3}

C．{2,3,4}D．{1,3,4}

解析：

选A　由题意得A∪B＝{1,2,3,4}．

3．（2017·

北京高考）若集合A＝{x|－2<

x<

1}，B＝{x|x<

－1或x>

3}，则A∩B＝（　　）

A．{x|－2<

－1}B．{x|－2<

3}

C．{x|－1<

1}D．{x|1<

选A　由集合交集的定义可得A∩B＝{x|－2<

－1}．

4．（2017·

北京高考）已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜－2或x＞2}，则∁UA＝（　　）

A．（－2,2）B．（－∞，－2）∪（2，＋∞）

C．[－2,2]D．（－∞，－2]∪[2，＋∞）

选C　由已知可得，集合A的补集∁UA＝[－2,2]．

5．已知集合A＝{0,1，x2－5x}，若－4∈A，则实数x的值为________．

∵－4∈A，∴x2－5x＝－4，

∴x＝1或x＝4.

1或4

6．已知集合P＝{2,3,4,5,6}，Q＝{3,4,5,7}，若M＝P∩Q，则M的子集个数为________．

由题意可知，M＝{3,4,5}，故M的子集个数为23＝8.

8

[考什么·

怎么考]

集合元素的三大特性是理解集合概念的关键，一般涉及元素与集合之间的关系及根据集合中元素的特性（特别是集合中元素的互异性），来确定集合元素的个数或求参数值，属于基础题.

1．（2017·

全国卷Ⅲ）已知集合A＝{（x，y）|x2＋y2＝1}，B＝{（x，y）|y＝x}，则A∩B中元素的个数为（　　）

A．3　　　　　　　　　　B．2

C．1D．0

选B　因为A表示圆x2＋y2＝1上的点的集合，B表示直线y＝x上的点的集合，直线y＝x与圆x2＋y2＝1有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.

2．（2018·

南昌模拟）已知集合M＝{1,2}，N＝{3,4,5}，P＝{x|x＝a＋b，a∈M，b∈N}，则集合P的元素个数为（　　）

A．3B．4

C．5D．6

选B　因为a∈M，b∈N，所以a＝1或2，b＝3或4或5.当a＝1时，若b＝3，则x＝4；

若b＝4，则x＝5；

若b＝5，则x＝6.同理，当a＝2时，若b＝3，则x＝5；

若b＝4，则x＝6；

若b＝5，则x＝7，由集合中元素的特性知P＝{4,5,6,7}，则P中的元素共有4个．

3．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a等于（　　）

A.B.

C．0D．0或

选D　若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．

当a＝0时，x＝，符合题意．

当a≠0时，由Δ＝（－3）2－8a＝0，得a＝，

所以a的值为0或.

4．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝（　　）

A．1B．－1

C．2D．－2

选C　因为{1，a＋b，a}＝，所以a≠0，a＋b＝0，则＝－1，所以a＝－1，b＝1.所以b－a＝2.

5．已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．

由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，则m＝1或m＝－，当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合元素的互异性可知不满足题意；

当m＝－时，m＋2＝，而2m2＋m＝3，故m＝－.

－

[怎样快解·

准解]

1．与集合中的元素有关的解题策略

（1）确定集合中的代表元素是什么，即集合是数集还是点集．

（2）看这些元素满足什么限制条件．

（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．

2．常见易错探因

第2题，第5题易忽视集合中元素的互异性而导致错误；

第3题集合A中只有一个元素，要分a＝0与a≠0两种情况进行讨论，此题易忽视a＝0的情形．

集合间的关系有相等、子集（包含真子集）等，其中子集是高考考查重点，要能准确判定一个具体集合是否是另一个具体集合的子集．多以选择题形式出现，属于基础题．

（一）直接考——两集合间基本关系的判断

1．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<

5，x∈N}，则（　　）

A．B⊆A　　　　　　　　B．A＝B

C．ABD．BA

选C　由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，比较A，B中的元素可知AB，故选C.

烟台调研）已知集合M＝，集合N＝

，则（　　）

A．M∩N＝∅B．M⊆N

C．N⊆MD．M∪N＝M

选B　由题意可知，M＝，＝，N＝，所以M⊆N，故选B.

3．（2018·

云南第一次检测）设集合A＝{x|－x2－x＋2<

0}，B＝{x|2x－5>

0}，则集合A与B的关系是（　　）

A．B⊆AB．B⊇A

C．B∈AD．A∈B

选A　因为A＝{x|－x2－x＋2<

0}＝{x|x>

1或x<

－2}，B＝{x|2x－5>

0}＝.

在数轴上标出集合A与集合B，如图所示，

可知，B⊆A.

[题型技法]

判断集合间关系的3种方法

列举法

根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系．（如第1题）

结构法

从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断．（如第2题）

数轴法

在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系．（如第3题）

（二）迁移考——利用集合间关系求参数

4．（2018·

云南师大附中模拟）集合A＝{x|x2－a≤0}，B＝{x|x<

2}，若A⊆B，则实数a的取值范围是（　　）

A．（－∞，4]B．（－∞，4）

C．[0,4]D．（0,4）

选B　集合A就是不等式x2－a≤0，即x2≤a的解集．①当a<

0时，不等式无解，故A＝∅.此时显然满足A⊆B.②当a＝0时，不等式为x2≤0，解得x＝0，所以A＝{0}．显然{0}⊆{x|x<

2}，即满足A⊆B.③当a>

0时，解不等式x2≤a，得－≤x≤.所以A＝[－，]．由A⊆B可得，<

2，解得0<

a<

4.综上，实数a的取值范围为（－∞，0）∪{0}∪（0,4）＝（－∞，4）．故选B.

5．已知a∈R，b∈R，若{a，ln（b＋1），1}＝{a2，a＋b,0}，则a2018＋b2018＝________.

由已知得a≠0，ln（b＋1）＝0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2018＋b2018＝1.

1

6．已知集合A＝{x|1≤x<

5}，B＝{x|－a<

x≤a＋3}，若B⊆（A∩B），则a的取值范围为________．

因为B⊆（A∩B），所以B⊆A.

①当B＝∅时，满足B⊆A，此时－a≥a＋3，即a≤－；

②当B≠∅时，要使B⊆A，则解得－<

a≤－1.由①②可知，a的取值范围为（－∞，－1]．

（－∞，－1]

利用集合间关系求解参数问题的策略

化简要分类

若参数在元素的性质特征之中，多以一次不等式或二次不等式的形式出现，此时要对其进行合理分类，分类的主要依据就是参数对该不等式的对应方程的解的影响．分类的主要层次为：

①最高次幂系数是否为0；

②方程是否有解；

③解之间的大小关系．（如第4题）

关系要分类

已知两个集合之间的关系求参数的取值，要注意对集合是否为空集进行分类讨论，因为∅是任意一个集合的子集．（如第6题）

“端点”要取舍

利用集合之间的子集关系确定参数所满足的条件，实际上就是比较两个区间端点值的大小关系，所以集合对应区间的端点的取舍对两个集合之间的关系有制约作用，这也是区分子集与真子集的关键．如已知A＝（1,3]，B＝[a，b]（a<

b），若B⊆A，则若A⊆B，则

集合的基本运算是历年高考的热点.高考中主要考查求集合的交、并、补运算，常与解不等式、求函数定义域和值域等知识相结合，考查题型主要是选择题，偶尔也出现填空题，属于基础题.

[典题领悟]

1．已知集合A＝{x|x2－6x＋5≤0}，B＝{x|y＝log2（x－2）}，则A∩B＝（　　）

A．（1,2）　　　　　　　　B．[1,2）

C．（2,5]D．[2,5]

选C　由x2－6x＋5≤0的解集为{x|1≤x≤5}，得A＝[1,5]．由x－2>

0，解得x>

2，故B＝（2，＋∞）．把两个集合A，B在数轴上表示出来，如图，可知A∩B＝（2,5]．

湖南湘潭模拟）已知全集U＝R，集合M＝{x||x|<

1}，N＝{y|y＝2x，x∈R}，则集合∁U（M∪N）＝（　　）

A．（－∞，－1]B．（－1,2）

C．（－∞，－1]∪[2，＋∞）D．[2，＋∞）

选A　解|x|<

1，得－1<

1，

所以M＝（－1,1）．

集合N中的代表元素为y，

所以该集合是函数y＝2x，x