届人教B版理科数学51 数列的概念与表示单元测试Word文档下载推荐.docx
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∴是首项为,公比为3的等比数列,∴Sn+=×
3n-1,即Sn=,∴S5==121.
4.(2018·
福州模拟)设数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=2nan+1-3n2-4n,n∈N,且S3=15.
(1)求a1,a2,a3的值;
(2)求数列{an}的第4项.
解
(1)依题意有
解得a1=3,a2=5,a3=7.
(2)解法一:
由S3=15,Sn=2nan+1-3n2-4n,
得S3=2×
3a4-3×
32-4×
3=15,
解得a4=9.
∵Sn=2nan+1-3n2-4n,①
∴当n≥2时,Sn-1=2(n-1)an-3(n-1)2-4(n-1).②
①-②并整理得an+1=(n≥2).
∴a4==9.
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一、选择题
海南三亚一模)在数列1,2,,,,…中,2是这个数列的( )
A.第16项B.第24项
C.第26项D.第28项
解析 设题中数列为{an},则a1=1=,a2=2=,a3=,a4=,a5=,…,所以an=.令=2=,解得n=26.故选C.
2.数列{an}中,a1=1,对于所有的n≥2,n∈N都有a1·
a2·
a3·
…·
an=n2,则a3+a5=( )
A.B.C.D.
令n=2,3,4,5,分别求出a3=,a5=,∴a3+a5=.故选A.
当n≥2时,a1·
an=n2,a1·
an-1=(n-1)2.
两式相除得an=2,∴a3=,a5=,
∴a3+a5=.故选A.
3.(2018·
安徽江南十校联考)在数列{an}中,an+1-an=2,Sn为{an}的前n项和.若S10=50,则数列{an+an+1}的前10项和为( )
A.100B.110C.120D.130
解析 {an+an+1}的前10项和为a1+a2+a2+a3+…+a10+a11=2(a1+a2+…+a10)+a11-a1=2S10+10×
2=120.故选C.
广东测试)设Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=(an-1)(n∈N),则an=( )
A.3(3n-2n)B.3n+2
C.3nD.3·
2n-1
解析 由题意知解得代入选项逐一检验,只有C符合.故选C.
5.(2018·
金版原创)对于数列{an},“an+1>
|an|(n=1,2,…)”是“{an}为递增数列”的( )
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
答案 B
解析 当an+1>|an|(n=1,2,…)时,∵|an|≥an,
∴an+1>an,∴{an}为递增数列.当{an}为递增数列时,若该数列为-2,0,1,则a2>|a1|不成立,即an+1>|an|(n=1,2,…)不一定成立.故综上知,“an+1>|an|(n=1,2,…)”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件.故选B.
6.(2018·
广东三校期末)已知数列{an}满足:
a1=,对于任意的n∈N,an+1=an(1-an),则a1413-a1314=( )
A.-B.C.-D.
答案 D
解析 a1=,a2=×
×
=,a3=×
=,a4=×
=,….
归纳可知当n为大于1的奇数时,an=;
当n为正偶数时,an=.故a1413-a1314=.故选D.
7.(2018·
江西期末)定义为n个正数p1,p2,…,pn的“均倒数”,若已知数列{an}的前n项的“均倒数”为,又bn=.则b10等于( )
A.15B.17C.19D.21
解析 由=得Sn=a1+a2+…+an=5n2,则Sn-1=5(n-1)2(n≥2),an=Sn-Sn-1=10n-5(n≥2),当n=1时,a1=5也满足.故an=10n-5,bn=2n-1,b10=2×
10-1=19.故选C.
8.(2018·
西安模拟)已知函数f(x)=
(a>
0且a≠1),若数列{an}满足an=f(n)(n∈N),且{an}是递增数列,则实数a的取值范围是( )
A.(0,1)B.C.(2,3)D.(1,3)
解析 因为{an}是递增数列,所以
解得2<
a<
3,所以实数a的取值范围是(2,3).故选C.
9.对于数列{xn},若对任意n∈N,都有<
xn+1成立,则称数列{xn}为“减差数列”.设bn=2t-,若数列b3,b4,b5,…是“减差数列”,则实数t的取值范围是( )
A.(-1,+∞)B.(-∞,-1
C.(1,+∞)D.(-∞,1
解析 由数列b3,b4,b5,…是“减差数列”,
得<
bn+1(n≥3),
即t-+t-<
2t-,
即+>
.
化简得t(n-2)>
1.
当n≥3时,若t(n-2)>
1恒成立,则t>
恒成立,
又当n≥3时,的最大值为1,则t的取值范围是(1,+∞).故选C.
10.(2018·
湖北八校模拟)已知数列{an}满足:
a1=1,an+1=(n∈N).若bn+1=(n-2λ)·
(n∈N),b1=-λ,且数列{bn}是单调递增数列,则实数λ的取值范围是( )
A.λ<B.λ<1C.λ<D.λ<
解析 ∵数列{an}满足:
a1=1,an+1=(n∈N),
∴an>
0,=+1,则+1=2,
∴数列是等比数列,且首项为+1=2,公比为2,∴+1=2n.
∴bn+1=(n-2λ)=(n-2λ)·
2n(n∈N),
∴bn=(n-1-2λ)·
2n-1(n≥2),
∵数列{bn}是单调递增数列,
∴bn+1>bn,
∴(n-2λ)·
2n>(n-1-2λ)·
可得λ<
(n≥2),∴λ<
,
又当n=1时,b2>
b1,
∴(1-2λ)·
2>
-λ,解得λ<
综上,λ的取值范围是λ<
.故选A.
二、填空题
11.(2018·
厦门海沧实验中联考)若数列{an}满足a1·
an=n2+3n+2,则数列{an}的通项公式为________.
答案 an=
解析 a1·
an=(n+1)(n+2),
当n=1时,a1=6;
当n≥2时,
故当n≥2时,an=,
所以an=
12.(2017·
湖北襄阳优质高中联考)若a1=1,对任意的n∈N,都有an>
0,且na-(2n-1)an+1an-2a=0.设M(x)表示整数x的个位数字,则M(a2017)=________.
答案 6
解析 由已知得(nan+1+an)(an+1-2an)=0,
∵an>0,∴an+1-2an=0,则=2,
∵a1=1,∴数列{an}是以1为首项,2为公比的等比数列,
∴an=1×
2n-1=2n-1.
∴a2=2,a3=4,a4=8,a5=16,a6=32,a7=64,a8=128,…,∴n≥2时,M(an)依次构成以4为周期的数列.
∴M(a2017)=M(a5)=6,故答案为6.
13.(2017·
吉林模拟)若数列{an}满足a1=,an=1-(n≥2且n∈N),则a2016等于________.
答案 2
解析 ∵a1=,an=1-(n≥2且n∈N),
∴a2=1-=1-=-1,∴a3=1-=1-=2,∴a4=1-=1-=,…,依此类推,可得an+3=an,∴a2016=a671×
3+3=a3=2.
14.(2017·
河南测试)已知各项均为正数的数列{an}满足an+1=+,a1=,Sn为数列{an}的前n项和,若对于任意的n∈N,不等式≥2n-3恒成立,则实数的取值范围为________.
答案
解析 由an+1=an+,得an+1-=,且a1-=3,所以数列是以3为首项,为公比的等比数列,则an-=3×
n-1,所以an=3×
n-1+,所以Sn=3×
+++…++=6+,则12+n-2Sn=.因为不等式=·
2n≥2n-3,n∈N恒成立,所以≥max,n∈N.令=bn,则bn+1-bn=-=,则b1<
b2<
b3>
b4>
…,所以(bn)max=b3=,故≥.
三、解答题
15.(2017·
河南百校联盟模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且对任意正整数n都有an=Sn+2成立.记bn=log2an,求数列{bn}的通项公式.
解 在an=Sn+2中,令n=1,得a1=8.
因为对任意正整数n都有an=Sn+2成立,所以an+1=Sn+1+2,
两式相减得an+1-an=an+1,所以an+1=4an,
又a1=8,所以{an}是首项为8,公比为4的等比数列,所以an=8×
4n-1=22n+1,
所以bn=log222n+1=2n+1.
16.(2015·
四川高考)设数列{an}(n=1,2,3,…)的前n项和Sn满足Sn=2an-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记数列的前n项和为Tn,求使得|Tn-1|<
成立的n的最小值.
解
(1)由已知Sn=2an-a1,有
an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n≥2),
即an=2an-1(n≥2).
从而a2=2a1,a3=2a2=4a1.
又因为a1,a2+1,a3成等差数列,即a1+a3=2(a2+1).
所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2.
所以数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列.
故an=2n.
(2)由
(1)得=,
所以Tn=++…+=
=1-.
由|Tn-1|<
,得<
,即2n>
1000.
因为29=512<
1000<
1024=210,
所以n≥10.
于是,使|Tn-1|<
成立的n的最小值为10.