届人教B版理科数学51 数列的概念与表示单元测试Word文档下载推荐.docx
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∴是首项为，公比为3的等比数列，∴Sn＋＝×
3n－1，即Sn＝，∴S5＝＝121.
4．（2018·
福州模拟）设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2nan＋1－3n2－4n，n∈N，且S3＝15.
（1）求a1，a2，a3的值；
（2）求数列{an}的第4项．
解
（1）依题意有
解得a1＝3，a2＝5，a3＝7.
（2）解法一：
由S3＝15，Sn＝2nan＋1－3n2－4n，
得S3＝2×
3a4－3×
32－4×
3＝15，
解得a4＝9.
∵Sn＝2nan＋1－3n2－4n，①
∴当n≥2时，Sn－1＝2（n－1）an－3（n－1）2－4（n－1）．②
①－②并整理得an＋1＝（n≥2）．
∴a4＝＝9.
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一、选择题
海南三亚一模）在数列1,2，，，，…中，2是这个数列的（ ）
A．第16项B．第24项
C．第26项D．第28项
解析 设题中数列为{an}，则a1＝1＝，a2＝2＝，a3＝，a4＝，a5＝，…，所以an＝.令＝2＝，解得n＝26.故选C.
2．数列{an}中，a1＝1，对于所有的n≥2，n∈N都有a1·
a2·
a3·
…·
an＝n2，则a3＋a5＝（ ）
A.B.C.D.
令n＝2,3,4,5，分别求出a3＝，a5＝，∴a3＋a5＝.故选A.
当n≥2时，a1·
an＝n2，a1·
an－1＝（n－1）2.
两式相除得an＝2，∴a3＝，a5＝，
∴a3＋a5＝.故选A.
3．（2018·
安徽江南十校联考）在数列{an}中，an＋1－an＝2，Sn为{an}的前n项和．若S10＝50，则数列{an＋an＋1}的前10项和为（ ）
A．100B．110C．120D．130
解析 {an＋an＋1}的前10项和为a1＋a2＋a2＋a3＋…＋a10＋a11＝2（a1＋a2＋…＋a10）＋a11－a1＝2S10＋10×
2＝120.故选C.
广东测试）设Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝（an－1）（n∈N），则an＝（ ）
A．3（3n－2n）B．3n＋2
C．3nD．3·
2n－1
解析 由题意知解得代入选项逐一检验，只有C符合．故选C.
5．（2018·
金版原创）对于数列{an}，“an＋1>
|an|（n＝1,2，…）”是“{an}为递增数列”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 当an＋1＞|an|（n＝1,2，…）时，∵|an|≥an，
∴an＋1＞an，∴{an}为递增数列．当{an}为递增数列时，若该数列为－2,0,1，则a2＞|a1|不成立，即an＋1＞|an|（n＝1,2，…）不一定成立．故综上知，“an＋1＞|an|（n＝1,2，…）”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件．故选B.
6．（2018·
广东三校期末）已知数列{an}满足：
a1＝，对于任意的n∈N，an＋1＝an（1－an），则a1413－a1314＝（ ）
A．－B.C．－D.
答案 D
解析 a1＝，a2＝×
×
＝，a3＝×
＝，a4＝×
＝，….
归纳可知当n为大于1的奇数时，an＝；
当n为正偶数时，an＝.故a1413－a1314＝.故选D.
7．（2018·
江西期末）定义为n个正数p1，p2，…，pn的“均倒数”，若已知数列{an}的前n项的“均倒数”为，又bn＝.则b10等于（ ）
A．15B．17C．19D．21
解析 由＝得Sn＝a1＋a2＋…＋an＝5n2，则Sn－1＝5（n－1）2（n≥2），an＝Sn－Sn－1＝10n－5（n≥2），当n＝1时，a1＝5也满足．故an＝10n－5，bn＝2n－1，b10＝2×
10－1＝19.故选C.
8．（2018·
西安模拟）已知函数f（x）＝
（a>
0且a≠1），若数列{an}满足an＝f（n）（n∈N），且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0,1）B.C．（2,3）D．（1,3）
解析 因为{an}是递增数列，所以
解得2<
a<
3，所以实数a的取值范围是（2,3）．故选C.
9．对于数列{xn}，若对任意n∈N，都有<
xn＋1成立，则称数列{xn}为“减差数列”．设bn＝2t－，若数列b3，b4，b5，…是“减差数列”，则实数t的取值范围是（ ）
A．（－1，＋∞）B．（－∞，－1
C．（1，＋∞）D．（－∞，1
解析 由数列b3，b4，b5，…是“减差数列”，
得<
bn＋1（n≥3），
即t－＋t－<
2t－，
即＋>
.
化简得t（n－2）>
1.
当n≥3时，若t（n－2）>
1恒成立，则t>
恒成立，
又当n≥3时，的最大值为1，则t的取值范围是（1，＋∞）．故选C.
10．（2018·
湖北八校模拟）已知数列{an}满足：
a1＝1，an＋1＝（n∈N）．若bn＋1＝（n－2λ）·
（n∈N），b1＝－λ，且数列{bn}是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（ ）
A．λ＜B．λ＜1C．λ＜D．λ＜
解析 ∵数列{an}满足：
a1＝1，an＋1＝（n∈N），
∴an>
0，＝＋1，则＋1＝2，
∴数列是等比数列，且首项为＋1＝2，公比为2，∴＋1＝2n.
∴bn＋1＝（n－2λ）＝（n－2λ）·
2n（n∈N），
∴bn＝（n－1－2λ）·
2n－1（n≥2），
∵数列{bn}是单调递增数列，
∴bn＋1＞bn，
∴（n－2λ）·
2n＞（n－1－2λ）·
可得λ<
（n≥2），∴λ<
，
又当n＝1时，b2>
b1，
∴（1－2λ）·
2>
－λ，解得λ<
综上，λ的取值范围是λ<
.故选A.
二、填空题
11．（2018·
厦门海沧实验中联考）若数列{an}满足a1·
an＝n2＋3n＋2，则数列{an}的通项公式为________．
答案 an＝
解析 a1·
an＝（n＋1）（n＋2），
当n＝1时，a1＝6；
当n≥2时，
故当n≥2时，an＝，
所以an＝
12．（2017·
湖北襄阳优质高中联考）若a1＝1，对任意的n∈N，都有an>
0，且na－（2n－1）an＋1an－2a＝0.设M（x）表示整数x的个位数字，则M（a2017）＝________.
答案 6
解析 由已知得（nan＋1＋an）（an＋1－2an）＝0，
∵an＞0，∴an＋1－2an＝0，则＝2，
∵a1＝1，∴数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，
∴an＝1×
2n－1＝2n－1.
∴a2＝2，a3＝4，a4＝8，a5＝16，a6＝32，a7＝64，a8＝128，…，∴n≥2时，M（an）依次构成以4为周期的数列．
∴M（a2017）＝M（a5）＝6，故答案为6.
13．（2017·
吉林模拟）若数列{an}满足a1＝，an＝1－（n≥2且n∈N），则a2016等于________．
答案 2
解析 ∵a1＝，an＝1－（n≥2且n∈N），
∴a2＝1－＝1－＝－1，∴a3＝1－＝1－＝2，∴a4＝1－＝1－＝，…，依此类推，可得an＋3＝an，∴a2016＝a671×
3＋3＝a3＝2.
14．（2017·
河南测试）已知各项均为正数的数列{an}满足an＋1＝＋，a1＝，Sn为数列{an}的前n项和，若对于任意的n∈N，不等式≥2n－3恒成立，则实数的取值范围为________．
答案
解析 由an＋1＝an＋，得an＋1－＝，且a1－＝3，所以数列是以3为首项，为公比的等比数列，则an－＝3×
n－1，所以an＝3×
n－1＋，所以Sn＝3×
＋＋＋…＋＋＝6＋，则12＋n－2Sn＝.因为不等式＝·
2n≥2n－3，n∈N恒成立，所以≥max，n∈N.令＝bn，则bn＋1－bn＝－＝，则b1<
b2<
b3>
b4>
…，所以（bn）max＝b3＝，故≥.
三、解答题
15．（2017·
河南百校联盟模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数n都有an＝Sn＋2成立．记bn＝log2an，求数列{bn}的通项公式．
解 在an＝Sn＋2中，令n＝1，得a1＝8.
因为对任意正整数n都有an＝Sn＋2成立，所以an＋1＝Sn＋1＋2，
两式相减得an＋1－an＝an＋1，所以an＋1＝4an，
又a1＝8，所以{an}是首项为8，公比为4的等比数列，所以an＝8×
4n－1＝22n＋1，
所以bn＝log222n＋1＝2n＋1.
16．（2015·
四川高考）设数列{an}（n＝1,2,3，…）的前n项和Sn满足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记数列的前n项和为Tn，求使得|Tn－1|<
成立的n的最小值．
解
（1）由已知Sn＝2an－a1，有
an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1（n≥2），
即an＝2an－1（n≥2）．
从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1.
又因为a1，a2＋1，a3成等差数列，即a1＋a3＝2（a2＋1）．
所以a1＋4a1＝2（2a1＋1），解得a1＝2.
所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．
故an＝2n.
（2）由
（1）得＝，
所以Tn＝＋＋…＋＝
＝1－.
由|Tn－1|<
，得<
，即2n>
1000.
因为29＝512<
1000<
1024＝210，
所以n≥10.
于是，使|Tn－1|<
成立的n的最小值为10.
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