河南省豫北重点中学学年高三下学期第二次联考数学理试题 Word版含答案Word格式文档下载.docx
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C．，使是幂函数，且函数在上单调递增；
D．若数据的方差为1，则的方差为2.
7.《九章算术》“竹九节”问题：
现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为（）
A．升B．升C．升D．1升
8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
9.已知函数的图象的相邻两对称轴间的距离为，则当时，的最大值和单调区间分别为（）
A．1，B．1，C．，D．，
10.设实数满足约束条件，已知的最大值是，则实数的取值范围是（）
11.已知直线和圆相交于两点，当弦最短时，的值为（）
A．B．-6C．6D．
12.已知函数，（，为自然对数的底数）与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（）
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.二项式展开式中含项的系数是________.
14.已知平面向量，满足，则的最大值为________.
15.已知是周期为2的奇函数，当时，，则的值为________.
16.等差数列的前项和为，数列是等比数列，且满足，，，数列的前项和，若对一切正整数都成立，则的最小值为________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）
在中，角的对边分别是，且.
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围.
18.（本小题满分12分）
某市于今年1月1日起实施小汽车限购政策，根据规定，每年发放10万个小汽车购买名额，其中电动小汽车占20%，通过摇号方式发放，其余名额通过摇号和竞价两种方式各发放一半，政策推出后，某网站针对不同年龄段的申请意向进行了调查，结果如下表所示.
申请意向年龄
摇号
竞价（人数）
合计
电动小汽车（人数）
非电动小汽车（人数）
30岁以下（含30岁）
50
100
200
30至50岁（含50岁）
150
300
500
50岁以上
400
1000
（1）采取分层抽样的方式从30至50岁的人中抽取10人，求其中各种意向人数；
（2）在
（1）中选出的10个人中随机抽取4人，求其中恰有2人有竞价申请意向的概率；
（3）用样本估计总体，在全体市民中任意选取4人，其中摇号申请电动小汽车意向的人数记为，求的分布列和数学期望.
19.（本小题满分12分）
如图所示，在四棱柱中，底面是梯形，，侧面为菱形，.
（1）求证：
；
（2）若，，点在平面上的射影恰为线段的中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
20.（本小题满分12分）
椭圆的经过中心的弦称为椭圆的一条直径，平行于该直径的所有弦的中点的轨迹为一条线段，称为该直径的共轭直径，已知椭圆的方程为.
（1）若一条直径的斜率为，求该直径的共轭直径所在的直线方程；
（2）若椭圆的两条共轭直径为和，它们的斜率分别为，证明：
四边形的面积为定值.
21.（本小题满分12分）
设函数，.
（1）求函数的单调区间；
（2）设，若对于任意给定的，方程在内有两个不同的实数根，求的取值范围.（其中是自然对数的底数）
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.
22.（本小题满分10分）选修4-1：
几何证明选讲
如图所示，在中，是的角平分线，的外接圆交线段于点，.
;
（2）当时，求的长.
23.（本小题满分10分）选修4-4：
坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程为（为参数），当时，曲线上对应的点为，以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
曲线的极坐标方程为；
（2）设曲线与曲线的公共点为，求的值.
24.（本小题满分10分）选修4-5：
不等式选讲
已知函数.
（1）解关于的不等式；
（2）设，试比较与的大小.
河南省豫北重点中学2016届高三下学期第二次联考
数学（理科）参考答案
一、选择题
1-5.DADCB6-10.CAADB11-12.AB
二、填空题
13.-19214.15.16.10
三、解答题
17.解：
（1）由正弦定理可得，,
从而可得，，
又为三角形的内角，所以，于是，又为三角形内角，因此，.
（2），
由可知，，所以，从而,
18.解：
（1）采取分层抽样的方法从30到50岁的人中抽到10人，
∵从30至50岁的有500人，
∴每个人被抽到的概率为.
根据题意得出：
电动小汽车，摇号的有，
非电动小汽车，摇号的有，竞价的有.
（2）设电动小汽车摇号的为，非电动小汽车，摇号的为，竞价的为，
∵选出的10个人中随机抽取4人总共有，其中恰有2人有竞价申请意向的有，
∴其中恰有2人有竞价申请意向的概率为.
（3）根据题意得出：
样本总人数1000人，电动小汽车摇号的有200人，非电动小汽车摇号的有400人，竞价的有400人，总共有1000人.
用样本估计总体，在全体市民中任意选取4人，其中摇号申请电动小汽车意向的概率为，服从二项分布，摇号申请电动小汽车意向的人数记为.
∴；
，
∴的分布列为
1
2
3
4
或
19.解：
（1）因为侧面为菱形，所以，
又，所以
从而.
（2）设线段的中点为，连接，
由题意知平面，因为侧面为菱形，所以，
故可分别以射线，射线，射线为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，
如图所示，设，由可知，，
所以，从而，，，，
所以，由可得，所以，
设平面的一个法向量为，由，,
得，取，则，，所以，
又平面的法向量为，所以，
故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
20.解：
（1）设斜率为的与直径平行的弦的端点坐标分别为，，
该弦中点为，则有，，
相减得：
由于，，且，所以得：
故该直径的共轭直径所在的直线方程为.
（2）椭圆的两条共轭直径为和，它们的斜率分别为，
四边形显然为平行四边形，设与平行的弦的端点坐标分别为，，
则，，而，，
，故，
由得的坐标分别为，
故，同理的坐标分别为，
设点到直线的距离为，四边形的面积为,
所以，，
则，为定值.
21.解：
（1），由，得，
该方程的判别式，可知方程有两个实数根，
又，故取，当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
则函数的单调递增区间是；
递减区间是，
（2），当时，，是增函数；
时，，是减函数，可得函数在区间的值域为，
令，则，由，
结合
（1）可知，方程在上有一个实数根，
若，则在上单调递增，不合题意，
可知在有唯一的解，
在上单调递增；
在上单调递减.
，方程在内有两个不同的实数根，所以，且
由，即，解得，由，
即，即，因为，所以，
代入，得，令，可知在上单调递增，而，则，所以，而在上单调递增，所以.
22.
（1）证明：
因为四边形为圆内接四边形，所以,
又，所以∽，则,
在圆内接四边形中，是的平分线，所以，,
而，所以，即.
（2）解：
由
（1）得，而，所以，，，
根据割线定理得，所以，,
在圆内接四边形中，由于，所以，,
在等腰梯形中，易求得.
23.
（1）证明：
因为曲线的参数方程为（为参数），
所以曲线的直角坐标方程为.
所以曲线的极坐标方程为.
当时，，
由
（1）知，曲线是经过的直线，设它的倾斜角为，则，
所以，曲线的参数方程为（为参数），
因为，所以，所以曲线的直角坐标方程为，
将代入，得,
所以.
24.解：
（1）
所以或，或.
所以不等式的解集为.
（2）由
（1）易知，所以，
由于，
因为，所以，即，
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