江西省高考理科数学二轮专题规范练6份Word文件下载.docx

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解　

（1）∵f（x）＝sin＋2cos2x－1＝sin2x－cos2x＋cos2x＝sin2x＋cos2x＝sin.

∴函数f（x）的单调递增区间是（k∈Z）．

（2）∵f（A）＝，∴sin＝.

又0＜A＜π，∴＜2A＋＜.

∴2A＋＝，故A＝.

在△ABC中，∵a＝1，b＋c＝2，A＝，

∴1＝b2＋c2－2bccosA，即1＝4－3bc.

∴bc＝1.∴S△ABC＝bcsinA＝.

3．已知函数f（x）＝cosx（sinx－cosx）（x∈R）．

（1）求函数f（x）的最大值以及取最大值时x的取值集合；

（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f＝－，a＝3，b＋c＝2，求△ABC的面积．

解　

（1）f（x）＝cosx（sinx－cosx）

＝sinxcosx－cos2x

＝－－

＝sin（2x－）－.

当2x－＝2kπ＋（k∈Z），即x＝kπ＋，k∈Z，

即x∈{x|x＝kπ＋，k∈Z}时，f（x）取最大值1－.

（2）由f（）＝－，可得sin（A－）＝0，

因为A为△ABC的内角，所以A＝，

则a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－bc，

由a＝3，b＋c＝2，

解得bc＝1，

所以S△ABC＝bcsinA＝.

4．已知△ABC三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，面积为S，acosC＋

csinA－b－c＝0.

（1）求角A的值；

（2）若a＝，求S＋cosBcosC取最大值时S的值．

解　

（1）由正弦定理，得sinA·

cosC＋sinA·

sinC－sinB－sinC＝0，

∴sinA·

sinC－sin（A＋C）－sinC＝0，

sinA·

sinC－sinAcosC－cosAsinC－sinC＝0，

sinC－cosA·

sinC－sinC＝0，又sinC≠0，∴sinA－cosA＝1，即2sin（A－）＝1，

∴sin（A－）＝，∵－＜A－＜，

∴A－＝，∴A＝.

（2）∵＝＝＝＝2，

∴b＝2sinB，c＝2sinC，由

（1）知C＝－B，

∴S＋cosBcosC＝·

bcsinA＋cosBcosC

＝·

·

2sinB·

2sinC·

＋cosBcosC

＝sinBsinC＋cosBcosC

＝sinB·

sin（－B）＋cosB·

cos（－B）

＝sin2B＋sin2B－cos2B＋sin2B

＝sin2B＋·

（1－cos2B）－·

（1＋cos2B）＋sin2B

＝（sin2B－cos2B）＋

＝sin（2B－）＋

∵0＜B＜，∴－＜2B－＜，∴当2B－＝，即B＝时，原式取得最大值，

此时S＝（）2×

sin＝×

＝.

1．已知n∈N*，数列{dn}满足dn＝，数列{an}满足an＝d1＋d2＋d3＋……＋d2n；

数列{bn}为公比大于1的等比数列，且b2，b4为方程x2－20x＋64＝0的两个不相等的实根．

（1）求数列{an}和数列{bn}的通项公式；

（2）将数列{bn}中的第a1项，第a2项，第a3项，……，第an项，……删去后剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{cn}，求数列{cn}的前2015项和．

解　

（1）∵dn＝，

∴an＝d1＋d2＋d3＋…＋d2n＝＝3n.

因为b2，b4为方程x2－20x＋64＝0的两个不相等的实数根．

所以b2＋b4＝20，b2·

b4＝64，

解得：

b2＝4，b4＝16，所以：

bn＝2n.

（2）由题知将数列{bn}中的第3项、第6项、第9项……删去后构成的新数列{cn}中的奇数项与偶数项仍成等比数列，首项分别是b1＝2，b2＝4，公比均是8，

T2015＝（c1＋c3＋c5＋…＋c2015）＋（c2＋c4＋c6＋…＋c2014）．

＝＋＝.

2．已知数列{an}的前n项和Sn＝an＋n2－1，数列{bn}满足3nbn＋1＝（n＋1）an＋1－nan，且b1＝3.

（1）求an，bn；

（2）设Tn为数列{bn}的前n项和，求Tn，并求满足Tn＜7时n的最大值．

解　

（1）n≥2时，Sn＝an＋n2－1，Sn－1＝an－1＋（n－1）2－1，

两式相减，得an＝an－an－1＋2n－1，

∴an－1＝2n－1.

∴an＝2n＋1，

∴3n·

bn＋1＝（n＋1）（2n＋3）－n（2n＋1）＝4n＋3，∴bn＋1＝，

∴当n≥2时，bn＝，又b1＝3适合上式，

∴bn＝.

（2）由

（1）知，bn＝，

∴Tn＝＋＋＋…＋＋，①

Tn＝＋＋＋…＋＋，②

①－②，得Tn＝3＋＋＋…＋－

＝3＋4·

－＝5－.

∴Tn＝－.

Tn－Tn＋1＝－＝＜0.

∴Tn＜Tn＋1，即{Tn}为递增数列．

又T3＝＜7，T4＝＞7，

∴Tn＜7时，n的最大值为3.

3．数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1（n∈N*），等差数列{bn}满足b3＝3，b5＝9.

（1）分别求数列{an}，{bn}的通项公式；

（2）设cn＝（n∈N*），求证：

cn＋1＜cn≤.

（1）解　由an＋1＝2Sn＋1，①

得an＝2Sn－1＋1（n≥2），②

①－②得an＋1－an＝2（Sn－Sn－1）＝2an

∴an＋1＝3an，即＝3，

又当n＝1时，＝3也符合上式，∴an＝3n－1.

由数列{bn}为等差数列，b3＝3，b5＝9，设{bn}公差为d，

∴b5－b3＝9－3＝2d，∴d＝3，

∴bn＝3n－6.

（2）证明　由

（1）知：

an＋2＝3n＋1，bn＋2＝3n，所以cn＝＝，

所以cn＋1－cn＝＜0，

∴cn＋1＜cn＜…＜c1＝，∴cn＋1＜cn≤.

4．已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，a5和a7的等差中项为11，且a2·

a5＝a1·

a14，令bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn.

（1）求an及Tn；

（2）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，Tm，Tn成等比数列？

若存在，求出所有的m，n的值；

若不存在，请说明理由．

解　

（1）因为{an}为等差数列，设公差为d，则由题意得

即整理得

⇒

所以an＝1＋（n－1）×

2＝2n－1.

由bn＝＝＝（－）

所以Tn＝（1－＋－＋…＋－）＝.

（2）假设存在．

由

（1）知，Tn＝，所以T1＝，Tm＝，Tn＝，

若T1，Tm，Tn成等比数列，则有

T＝T1·

Tn⇒（）2＝·

⇒＝⇒＝⇒＝，……①

因为n＞0，所以4m＋1－2m2＞0⇒1－＜m＜1＋，因为m∈N*，m＞1，∴m＝2，当m＝2时，带入①式，得n＝12.

综上，当m＝2，n＝12时可以使T1，Tm，Tn成等比数列．

1．甲，乙，丙三个同学同时报名参加某重点高校2014年自主招生，高考前自主招生的程序为审核材料和文化测试，只有审核过关后才能参加文化测试，文化测试合格者即可获得自主招生入选资格．因为甲，乙，丙三人各有优势，甲，乙，丙三人审核材料过关的概率分别为0.5,0.6,0.4，审核过关后，甲，乙，丙三人文化测试合格的概率分别为0.6，0.5，0.75.

（1）求甲，乙，丙三人中只有一人通过审核材料的概率；

（2）求甲，乙，丙三人中至少有两人获得自主招生入选资格的概率．

解　

（1）分别记甲，乙，丙通过审核材料为事件A1，A2，A3，记甲，乙，丙三人中只有一人通过审核材料为事件B，则

P（B）＝P（A123）＋P（1A23）＋P（12A3）＝0.5×

0.4×

0.6＋0.5×

0.6×

0.4＝0.38.

（2）分别记甲，乙，丙三人中获得自主招生入选资格为事件C，D，E，记甲，乙，丙三人中至少有两人获得自主招生入选资格为事件F.

则P（C）＝P（D）＝P（E）＝0.3，

∴P（F）＝C×

0.32×

0.7＋C×

0.33＝0.189＋0.027＝0.216.

2．某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50,60），[60,70），[70,80），[80,90），[90,100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50,60），[90,100]的数据）．

（1）求样本容量n和频率分布直方图中x，y的值；

（2）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设ξ表示所抽取的3名同学中得分在[80,90）的学生个数，求ξ的分布列及其数学期望．

解　

（1）由题意可知，样本容量n＝＝50，y＝＝0.004，

x＝0.1－0.004－0.010－0.016－0.04＝0.030.

（2）由题意可知，分数在[80,90）有5人，分数在[90,100）有2人，共7人，抽取的3名同学中得分在[80,90）的学生个数ξ的可能取值为1,2,3，则

P（ξ＝1）＝＝＝，

P（ξ＝2）＝＝＝，P（ξ＝3）＝＝＝.

所以，ξ的分布列为

ξ

1

2

3

P

所以，E（ξ）＝1×

＋2×

＋3×

3.甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行劳动技术比赛，决出第一名至第五名的名次，比赛之后甲、乙两位参赛者去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”，对乙说“你当然不会是最差的”．

（1）从上述回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同的情况；

（2）比赛组委会规定，第一名获奖金1000元，第二名获奖金800元，第三名获奖金600元，第四及第五名没有奖金．求丙获奖金数的期望．

解　

（1）由于甲和乙都没有得冠军，所以冠军是其余3人中的一个，有A种可能；

乙不是第五名，可见乙是第二、第三或第四名中的一种，有A种可能；

上述位置确定后，甲连同其余2人可任意排列，有A种可能，故名次排列的可能情况的种数是A×

A×

A＝54.

（2）丙可能获第一名、第二名、第三名、第四名也可能获第五名．P（丙获第一名）＝；

P（丙获第二名）＝＝＝；

P（丙获第三名）＝；

P（丙获第四名）＝；

P（丙获第五名）＝＝.

故随机变量丙获奖金数X的可能取值为1000、800、600、0，且P（X＝1000）＝，P（X＝800）＝，P（X＝600）＝，P（X＝0）＝＋＝.

E（X）＝1000×

P（X＝1000）＋800×

P（X＝800）＋600×

P（X＝600）＋0×

P（X＝0）＝1000×

＋