四川资阳市学年度高中二年级第二学期期末质量检测数学试题理科及答案.docx
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四川资阳市学年度高中二年级第二学期期末质量检测数学试题理科及答案
资阳市2014—2015学年度高中二年级第二学期期末质量检测
理科数学
本试题卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分.第一部分1至2页，第二部分3至8页.全卷共150分，考试时间为120分钟.
第一部分（选择题共50分）
注意事项：
1．答第一部分前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.
3．考试结束时，将本试卷和答题卡一并收回.
一、选择题：
本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.
1.曲线（其中e＝2.71828…是自然对数的底数）在点处的切线的斜率为
（A）2（B）3（C）（D）
2.曲线与曲线的
（A）长轴长相等（B）短轴长相等（C）焦距相等（D）离心率相等
3.设i是虚数单位，复数在复平面内的对应点关于实轴对称，，则
（A）2（B）1＋i（C）i（D）－i
1
2
3
4
4．设随机变量的概率分布列为
则
（A）（B）（C）（D）
5．在的展开式中，含项的系数为
（A）210（B）120（C）80（D）60
6.根据资阳市环保部门的空气质量监测资料表明，资阳市一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6.若资阳市某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是
（A）0.45（B）0.6（C）0.75（D）0.8
7．已知函数，则的导函数的图象大致是
8．用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是
（A）12（B）24
（C）30（D）36
9．过双曲线C1：
的左焦点作圆C2：
的切线，设切点为M，延长交抛物线C3：
于点，其中有一个共同的焦点，若，则双曲线的离心率为
（A）（B）（C）（D）
10.若函数有极值点，且，则关于的方程的不同实根的个数是
（A）5（B）4（C）3（D）2
资阳市2014—2015学年度高中二年级第二学期期末质量检测
理科数学
第二部分（非选择题共100分）
题号
二
三
总分
总分人
16
17
18
19
20
21
得分
注意事项：
1．第二部分共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上.
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚.
二、填空题：
本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案直接填在题中横线上.
11．抛物线的准线方程为.
12．某市有一个玉米种植基地．该基地的技术员通过种植实验发现，一种品质优良的玉米种子每粒发芽的概率都为0.95，现在该种植基地播种了10000粒这种玉米种子，对于没有发芽的种子，每粒需再播种1粒，补种的种子数记为，则的数学期望.
13．函数的单调减区间为.
14．定义在上的函数满足，且对任意都有，则不等式的解集为_________．
15．抛物线的焦点为，过点的直线与该抛物线相交于两点，直线分别交抛物线于点．若直线的斜率分别为，则_____．
三、解答题：
（本题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16．（本题满分12分）
求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线方程．
17．（本题满分12分）
为了促进学生的全面发展，某市教育局要求本市所有学校重视社团文化建设，2014年该市某中学的某新生想通过考核选拨进入该校的“电影社”和“心理社”，已知该同学通过考核选拨进入这两个社团成功与否相互独立．根据报名情况和他本人的才艺能力，两个社团都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，并且进入“电影社”的概率小于进入“心理社”的概率.
（Ⅰ）求该同学分别通过选拨进入“电影社”的概率和进入“心理社”的概率；
（Ⅱ）学校根据这两个社团的活动安排情况，对进入“电影社”的同学增加1个校本选修课学分，对进入“心理社”的同学增加0.5个校本选修课学分．求该同学在社团方面获得校本选修课学分分数的分布列和数学期望.
18.（本题满分12分）
如图所示，和两点分别在射线（点，分别在第一，四象限）上移动，且为坐标原点，动点满足．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求动点的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．
19.（本题满分12分）
某商场的销售部经过市场调查发现，该商场的某种商品每日的销售量（单位：
千克）与销售价格（单位：
元/千克）满足关系式，其中，为常数，已知销售价格为元/千克时，每日可售出该商品千克．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若该商品的成本为元/千克，试确定销售价格的值，使该商场每日销售该商品所获得的利润最大.
20.（本题满分13分）
已知中，点，动点满足（常数），点的轨迹为Γ.
（Ⅰ）试求曲线Γ的轨迹方程；
（Ⅱ）当时，过定点的直线与曲线Γ相交于两点，是曲线Γ上不同于的动点，试求面积的最大值.
21.（本题满分14分）
已知偶函数（）在点处的切线与直线垂直，函数.
（Ⅰ）求函数的解析式.
（Ⅱ）当时，求函数的单调区间和极值点；
（Ⅲ）证明：
对于任意实数x，不等式恒成立．（其中e＝2.71828…是自然对数的底数）
资阳市2014—2015学年度高中二年级第二学期期末质量检测
数学参考答案及评分意见（理科）
一、选择题：
ACDBB，DACBC．
二、填空题：
11.；12.500；13.（填也可）；14.；15..
三、解答题：
16．椭圆的焦点坐标为，，2分
设双曲线的方程为，3分
则，，9分
解得，．
所以双曲线的方程是．12分
17．（Ⅰ）据题意，有又，解得5分
（Ⅱ）令该同学在社团方面获得校本选修课加分分数为，
则的取值有：
.6分
；7分
；8分
；9分
.10分
11分
所以，的数学期望为：
.12分
18．（Ⅰ）由题，.
所以．4分
（Ⅱ）设，由，得：
，6分
令则，8分
又，所以，动点的轨迹方程为.10分
表示以原点为中心，焦点在轴上，实轴长为，焦距为的双曲线右支.
12分
19．（Ⅰ）因为时，，所以，解得.2分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，该商品每日的销售量，3分
所以商场每日销售该商品所获得的利润为：
.6分
所以.7分
当变化时，的变化情况如下表：
↗
极大值
↘
由上表可知是函数在区间内的极大值点，也是最大值点.10分
所以，当时，函数取得最大值，且最大值为.
答：
当销售价格为元/千克时，该商场每日销售该商品所得的利润最大.12分
20．（Ⅰ）在中，因为，所以（定值），且，2分
所以动点的轨迹为椭圆（除去与A、B共线的两个点）．
设其标准方程为，所以，3分
所以所求曲线的轨迹方程为．4分
（Ⅱ）当时，椭圆方程为．5分
①过定点的直线与轴重合时，面积无最大值．6分
②过定点的直线不与轴重合时，
设方程为：
，，
若，因为，故此时面积无最大值．
根据椭圆的几何性质，不妨设．
联立方程组消去整理得：
，7分
所以则．8分
因为当直线与平行且与椭圆相切时，切点到直线的距离最大，
设切线，
联立消去整理得，
由，解得．
又点到直线的距离，9分
所以，10分
所以．将代入得：
，
令，设函数，则，
因为当时，，当时，，
所以在上是增函数，在上是减函数，所以．
故时，面积最大值是．
所以，当的方程为时，的面积最大，最大值为．13分
21．（Ⅰ）因为为偶函数，所以.2分
因为，由题意知解得
所以．4分
（Ⅱ）由题意知，的定义域为，
．5分
因为，则有两个不同解，．
①若，，
即.
此时，当变化时，随的变化情况如下表：
极小值
可知：
时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；有唯一极小值点.7分
②若，，，
此时，当变化时，随的变化情况如下表：
极大值
极小值
可知：
时，函数的单调递增区间为，，
单调递减区间为；
函数有一个极大值点和一个极小值点．
综上所述：
①若，函数的单调递增区间为，
单调递减区间为；有唯一极小值点；
②若，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；
函数有一个极大值点和一个极小值点.10分
（Ⅲ）当时，函数，令函数
则，
所以当时，，所以函数在上单调递增，
又，则时，恒有，即恒成立．
故当时，有．
所以，不等式恒成立．14分
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