浙江版高考数学二轮复习练习专题限时集训15 函数与方程及答案Word格式文档下载.docx
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3.已知函数f(x)=则函数g(x)=f(1-x)-1的零点个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
C [g(x)=f(1-x)-1
=
当x≥1时,函数g(x)有1个零点;
当x<1时,函数有2个零点,所以函数的零点个数为3,故选C.]
4.(2017·
浙江五校联考)已知函数f(x)=(a∈R),若函数f(x)在R上有两个零点,则a的取值范围是( )
A.(-∞,-1)B.(-∞,0)
C.(-1,0)D.[-1,0)
D [当x>0时,f(x)=3x-1有一个零点x=,所以只需要当x≤0时,ex+a=0有一个根即可,即ex=-a.当x≤0时,ex∈(0,1],所以-a∈(0,1],即a∈[-1,0),故选D.]
5.已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-k仅有一个零点,则k的取值范围是( )
A.
B.(-∞,0)∪
C.(-∞,0)
D.(-∞,0)∪
D [函数f(x)=
函数g(x)=f(x)-k仅有一个零点,即f(x)=k只有一个解,在平面直角坐标系中画出y=f(x)的图象,结合函数图象可知,方程只有一个解时,k∈(-∞,0)∪,故选D.]
二、填空题
6.已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x∈[0,3)时,f(x)=.若函数y=f(x)-a在区间[-3,4]上有10个零点(互不相同),则实数a的取值范围是________.
[当x∈[0,3)时,f(x)==,由f(x)是周期为3的函数,作出f(x)在[-3,4]上的图象,如图.
由题意知方程a=f(x)在[-3,4]上有10个不同的根.
由图可知a∈.]
7.函数f(x)=|x-1|+2cosπx(-4≤x≤6)的所有零点之和为________.
10 [问题可转化为y=|x-1|与y=-2cosπx在-4≤x≤6的交点的横坐标的和,因为两个函数图象均关于x=1对称,所以x=1两侧的交点对称,那么两对应交点的横坐标的和为2,分别画出两个函数的图象(图略),易知x=1两侧分别有5个交点,所以所求和为5×
2=10.]
8.已知函数f(x)=若f(0)=-2,f(-1)=1,则函数g(x)=f(x)+x的零点个数为________.
【导学号:
68334143】
3 [依题意得解得令g(x)=0,得f(x)+x=0,该方程等价于①或②解①得x=2,解②得x=-1或x=-2,因此,函数g(x)=f(x)+x的零点个数为3.]
三、解答题
9.已知f(x)=|2x-1|+ax-5(a是常数,a∈R).
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集;
(2)如果函数y=f(x)恰有两个不同的零点,求a的取值范围.
[解]
(1)当a=1时,
f(x)=|2x-1|+x-5=2分
由解得x≥2;
由解得x≤-4.
所以f(x)≥0的解集为{x|x≥2或x≤-4}.6分
(2)由f(x)=0,
得|2x-1|=-ax+5.
作出y=|2x-1|和y=-ax+5的图象,10分
观察可以知道,当-2<a<2时,这两个函数的图象有两个不同的交点,即函数y=f(x)有两个不同的零点.
故a的取值范围是(-2,2).15分
10.(2017·
浙江省名校新高考研究联盟高三第三次联考)设函数f(x)=-x2+ax+lnx(a∈R).
(1)若a=1时,求函数f(x)的单调区间;
(2)设函数f(x)在有两个零点,求实数a的取值范围(其中e是自然对数的底数).【导学号:
68334144】
[解]
(1)定义域x∈(0,+∞),
当a=1时,f(x)=-x2+x+lnx,3分
令f′(x)=-2x+1+=>0,
即2x2-x-1<0,即0<x<1.
∴f(x)的单调递增区间为(0,1),
单调递减区间为(1,+∞).7分
(2)f(x)=-x2+ax+lnx=0,即a=x-,
令g(x)=x-,其中x∈,9分
g′(x)=1-=>0,即x>1,
∴g(x)的单调递减区间为,
单调递增区间为(1,e],
∴g(x)min=g
(1)=1,13分
又g=e+,g(e)=e-,
因为函数f(x)在有两个零点,
所以a的取值范围是.15分
[B组 名校冲刺]
1.若函数f(x)满足f(x)+1=,当x∈[0,1]时,f(x)=x.若在区间(-1,1]内,g(x)=f(x)-mx-2m有两个零点,则实数m的取值范围是( )
A.0<m<B.0<m≤
C.<m<1D.<m≤1
B [当-1<x<0时,0<x+1<1,
所以f(x+1)=x+1,
从而f(x)=-1=-1,
于是f(x)=
f(x)-mx-2m=0⇔f(x)=m(x+2),由图象可知0<m≤kAB=.]
2.(2017·
诸暨期末考试)定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(x+4)=16,当x∈(0,4]时,f(x)=x2-2x,则函数f(x)在[-4,2016]上的零点个数是( )
A.504B.505
C.1008D.1009
B [∵f(x)+f(x+4)=16,∴f(x+4)+f(x+8)=16,
∴f(x)=f(x+8),∴函数f(x)是R上周期为8的函数.又f
(2)=f(4)=0,2020=8×
252+4,f
(2)=f(10)=f(18)=…=f(8×
251+2),f(-4)=f(4)=f(8×
251+4),故函数f(x)在[-4,2016]上的零点个数是251+1+251+2=505,故选B.]
3.函数f(x)=若方程f(x)=-x+a有且只有两个不相等的实数根,则实数a的取值范围为( )【导学号:
68334145】
A.(-∞,0)B.[0,1)
C.(-∞,1)D.[0,+∞)
C [函数f(x)=的图象如图所示,
作出直线l:
y=a-x,向左平移直线l,观察可得函数y=f(x)的图象与直线l:
y=-x+a有两个交点,则方程f(x)=-x+a有且只有两个不相等的实数根时,a<1,故选C.]
宁波镇海中学模拟)已知函数f(x)=的图象上恰有三对点关于原点成中心对称,则a的取值范围是( )
A.B.
C.D.
D [由题意知当x<
0时函数f(x)的图象关于原点的对称图象与当x>
0的图象必有三个公共点.当a<
0时,f(x)=此时当x<
0时,函数f(x)的图象关于原点的对称图象与当x>
0时的图象只有一个公共点,不满足条件;
当a>
0时,作出当x<
0时,函数f(x)关于原点对称的函数为g(x)=3|x-a|-a,如图所示.
设与直线y=3x平行且与函数y=x2-2(x>
0)相切的直线的切点坐标为(x0,y0),则由y′=2x得2x0=3,即x0=,切点坐标为,切线方程为y-=3,即y=3x-,则由图象可知要使g(x)=3|x-a|-a与函数y=x2-2(x>
0)的图象有三个公共点,则必须满足解得1<
a<
,故选D.]
5.定义在R上的奇函数f(x),当x≥0时,f(x)=则关于x的函数F(x)=f(x)-a(0<a<1)的所有零点之和为________.
1-3a [函数f(x)和y=a的图象如图所示,
由图可知,f(x)的图象与直线y=a有5个交点,
所以函数F(x)=f(x)-a有5个零点.从小到大依次设为x1,x2,x3,x4,x5,
则x1+x2=-8,x4+x5=8.
当-2≤x<0时,0<-x≤2,所以f(-x)=log(-x+1)=-log3(1-x),
即f(x)=log3(1-x),-2≤x<0,由f(x)=log3(1-x)=a,解得x=1-3a,即x3=1-3a,所以函数F(x)=f(x)-a(0<a<1)的所有零点之和为x1+x2+x3+x4+x5=1-3a.]
6.已知函数y=|x2-1|的图象与函数y=kx2-(k+2)x+2的图象恰有两个不同的公共点,则实数k的取值范围为________.【导学号:
68334146】
k≥4或k≤0或k=1 [由题意知|x2-1|=kx2-(k+2)x+2=(kx-2)(x-1)有两个不同的根,所以x=1是其中的一个根,当x=-1时,k=-2,符合题意;
当|x|>
1时,x+1=kx-2,即(k-1)x=3,当|x|<
1时,-x-1=kx-2,即(k+1)x=1,此时当k=1时,两解为x=,x=1符合题意,当k=-1时,两解为x=-,x=1符合题意,当k≠±
1时,只需(k-1)x=3在|x|>
1上有解,(k+1)x=1在|x|<
1上无解或(k-1)x=3在|x|>
1上无解,(k+1)x=1在|x|<
1上有解,即或解得k≥4或-1<
k≤0或-2<
k<
-1或k<
-2,综上所述,k≥4或k≤0或k=1.]
7.已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数.
(1)求k的值;
(2)设g(x)=log4,若方程f(x)=g(x)有且仅有一解,求实数a的取值范围.
[解]
(1)由函数f(x)是偶函数可知,f(x)=f(-x),所以log4(4x+1)+kx=
log4(4-x+1)-kx,
所以log4=-2kx,即x=-2kx对一切x∈R恒成立,所以k=-.4分
(2)由已知f(x)=g(x),有且仅有一解,即方程log4(4x+1)-x=log4(a·
2x-a)有且只有一个实根,即方程2x+=a·
2x-a有且只有一个实根.
令t=2x>0,则方程(a-1)t2-at-1=0有且只有一个正根.8分
①当a=1时,则t=-不合题意;
②当a≠1时,Δ=0,解得a=或-3.
若a=,则t=-2,不合题意;
若a=-3,则t=;
③若方程有一个正根与一个负根,即<0,解得a>1.
综上所述,实数a的取值范围是{-3}∪(1,+∞).15分
8.已知f(x)=x2-a|x-b|,其中a>
0,b>
0.
(1)若a=b=1,求f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)恰有三个不同的零点,且这些零点之和为-2,求a,b的值;
(3)若函数f(x)在[-2,2]上有四个不同零点x1,x2,x3,x4,求|x1|+|x2|+|x3|+|x4|的最大值.
[解]
(1)f(x)=x2-|x-1|=2分
由函数f(x)的图象知单调递增区间为,单调递减区间为.4分
(2)原函数有三个零点等价于