考研数学一真题及答案解析Word下载.docx

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（3）函数在点处沿向量的方向导数为（）

【解】，，，

，，，

，所求的方向导数为

，应选。

（4）

【解】

（5）设为维单位列向量，为阶单位矩阵，则（）

不可逆。

不可逆。

【解】令，，

令，由得，或，

因为得的特征值为，

的特征值为，从而，

即不可逆，应选。

（6）已知矩阵，则（）

与相似，与相似。

与相似，与不相似。

与不相似，与相似。

与不相似，与不相似。

【解】的特征值为，

由得，则可相似对角化，从而；

由得，则不可相似对角化，从而与不相似，应选。

（7）设为随机事件，若，则的充要条件是（）

【解】由得，等价于

；

等价于，即，

应选。

（8）设（）为来自总体的简单随机样本，记，则下列结论正确的是（）

服从分布。

服从分布。

【解】若总体，则，

因为总体，所以，应选。

二、填空题（9~14小题，每小题4分，共24分）

（9）设，则。

【解】，

由得。

（10）微分方程的通解为。

【解】特征方程为，特征值为，

通解为。

（11）若曲线积分在区域内与路径无关，则。

，，

因为曲线积分与路径无关，所以。

（12）幂级数在区间内的和函数为。

（13）矩阵，为线性无关的三维列向量组，则向量组的秩为。

【答案】2

因为线性无关，所以可逆，

从而，

由得，故向量组的秩为2。

（14）设随机变量的分布函数为，其中为标准正态分布的分布函数，则。

【解】的密度为，

三、解答题（15~23题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。

（15）（本题满分10分）

设函数具有二阶连续的偏导数，，求，。

【解】，；

，

则。

（16）（本题满分10分）

求。

（17）（本题满分10分）

已知函数由方程确定，求的极值。

【解】两边对求导得

，令得，对应的函数值为，；

两边再对求导得

由得为极小点，极小值为；

由得为极大点，极大值为。

（18）（本题满分10分）

设函数在上二阶可导且，。

证明：

（）方程在内至少有一个实根；

（）方程在内至少有两个不同的实根。

【证明】

（）由得，

又存在，当时，，即当时，

于是存在，使得，

因为，所以存在，使得。

（）令，

因为，

所以由罗尔定理，存在，使得，

而，故，

即在内至少一个实根。

（19）（本题满分10分）

设薄片型物体是圆锥面被柱面割下的有限部分，其上任一点的密度为，记圆锥面与柱面的交线为。

（）求在平面上的投影曲线方程。

（）求的质量。

故在平面上的投影曲线为

（），

由得，

则

（20）（本题满分11分）

设3阶矩阵有三个不同的特征值，

且。

（）证明：

（）若，求方程组的通解。

（）设的特征值为，

因为有三个不同的特征值，所以可以相似对角化，即存在可逆矩阵，使得

因为两两不同，所以，

又因为，所以线性相关，从而，于是。

（）因为，所以基础解系含一个线性无关的解向量，

由得的通解为

（为任意常数）。

（21）（本题满分11分）

设二次型在正交变换下的标准型为，求的值及一个正交矩阵。

因为，所以。

由得

对应的线性无关的特征向量为；

由得对应的线性无关的特征向量为。

规范化得

故正交矩阵为。

（22）（本题满分11分）

设随机变量相互独立，，的密度为

（）求。

（）求的概率密度。

当时，；

当时，

即

密度为。

（23）（本题满分11分）

某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做次测量，该物体的质量是已知的，设次测量结果相互独立且均服从正态分布。

该工程师记录的是次测量的绝对误差（），利用估计。

聞創沟燴鐺險爱氇谴净祸測樅。

（）利用一阶矩求的矩估计量。

（）求的最大似然估计量.

的分布函数为

当时，，

的密度函数为

（）

由得的矩估计量为。

（）似然函数为

，故的最大似然估计量为。