人教B版理科数学正弦定理和余弦定理的应用 名师精编单元测试Word文档下载推荐.docx

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3．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°

且距灯塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔东南方向的N处，则这只船的航行速度为（）

A.海里/小时B．34海里/小时

C.海里/小时D．34海里/小时

如下图所示，在△PMN中，

A

4．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°

的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°

，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°

，那么B，C两点间的距离是（）

A．10海里B．10海里

C．20海里D．20海里

如右图所示，易知，在△ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°

，

∠ACB＝45°

，根据正弦定理得＝，

解得BC＝10（海里）．

5.在相距2km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°

，∠CBA＝60°

，则A，C两点之间的距离为（）

A.kmB.km

C.kmD.2km

解析如图，在△ABC中，由已知可得∠ACB＝45°

，∴＝，∴AC＝2×

＝（km）.

答案A

6.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°

A.10海里B.10海里

C.20海里D.20海里

解析如图所示，易知，

7.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°

，则灯塔A与B的距离为（）

A.akmB.akm

C.akmD.2akm

答案B

8.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1km，水的流速为2km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6min，则客船在静水中的速度为（）

A.8km/hB.6km/h

C.2km/hD.10km/h

解析设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为vkm/h，由题意知，sinθ＝＝，从而cosθ＝，所以由余弦定理得＝＋12－2×

×

2×

1×

，解得v＝6.选B.

9.如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°

，∠BDC＝30°

，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°

，则塔高AB等于（）

A.5B.15

C.5D.15

答案D

10.某观察站B在A城的南偏西20°

的方向，由A出发的一条公路的走向是南偏东25°

.现在B处测得此公路上距B处30km的C处有一人正沿此公路骑车以40km/h的速度向A城驶去，行驶了15min后到达D处，此时测得B与D之间的距离为8km，则此人到达A城还需要（）

A．40minB．42minC．48minD．60min

答案C

解析由题意可知，CD＝40×

＝10.

cos∠BDC＝＝－，

∴cos∠ADB＝cos（π－∠BDC）＝，

∴sin∠ABD＝sin[π－（∠ADB＋∠BAD）]＝.

在△ABD中，由正弦定理得＝，

∴5＝2，

∴AD＝32，∴所需时间t＝＝0.8h，

∴此人还需要0.8h即48min到达A城．

11．已知A，B两地间的距离为10km，B，C两地间的距离为20km，现测得∠ABC＝120°

，则A，C两地间的距离为（）

A．10kmB．10km

C．10kmD．10km

解析如图所示，由余弦定理可得：

AC2＝100＋400－2×

10×

20×

cos120°

＝700，

∴AC＝10（km）．

12．海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10nmile，从A望C和B成60°

视角，从B望C和A成75°

视角，则BC＝（）

A．10nmileB.nmile

C．5nmileD．5nmile

13.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°

A．akmB.akm

C.akmD．2akm

解析在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·

BC·

cos∠ACB＝a2＋a2－2a2cos120°

＝3a2，故|AB|＝a.

14．在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底俯角分别为30°

、60°

，则塔高为（）

A.mB.m

C.mD.m

在△ACD中，由正弦定理，得

＝，即DC＝＝（m）．

15.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1km，水的流速为2

km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6min，则客船在静水中的速度为（）

A．8km/hB．6km/h

C．2km/hD．10km/h

16．如图，某工程中要将一长为100m，倾斜角为75°

的斜坡改造成倾斜角为30°

的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长________m.

答案100

解析设坡底需加长xm，由正弦定理得＝，解得x＝100.

17．如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度（单位：

km）：

AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且∠B与∠D互补，则AC的长为________km.

答案7

解析∵82＋52－2×

8×

5×

cos（π－D）＝32＋52－2×

3×

cosD，∴cosD＝－.∴AC＝＝7（km）．

18．如图，在山底A点处测得山顶仰角∠CAB＝45°

，沿倾斜角为30°

的斜坡走1000米至S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°

，则山高BC为________米．

答案1000

19.如图所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°

方向，与海轮相距20海里的B处，海轮按北偏西60°

的方向航行了30分钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°

的方向，则海轮的速度为________海里/分.

解析由已知得∠ACB＝45°

，∠B＝60°

由正弦定理得＝，所以AC＝＝＝10，

所以海轮航行的速度为＝（海里/分）.

答案

20.江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°

和60°

，而且两条船与炮台底部连线成30°

角，则两条船相距________m.

解析如图，OM＝AOtan45°

＝30（m），ON＝AOtan30°

＝×

30＝10（m），

在△MON中，由余弦定理得，

MN＝

＝＝10（m）.

答案10

21.在200m高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30°

，60°

，则塔高为________m.

解析如图，由已知可得∠BAC＝30°

，∠CAD＝30°

，∴∠BCA＝60°

，∠ACD＝30°

，∠ADC＝120°

.又AB＝200m，∴AC＝（m）.

22．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°

角，则两条船相距____________m.

如右图，OM＝AOtan45°

＝30（m），

ON＝AOtan30°

30＝10（m），

MN＝＝＝10（m）．

10

23．如下图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°

，再由点C沿北偏东15°

方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°

，则塔AB的高是________米．

24．如右图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°

相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ＋30°

角的方向沿直线前往B处营救，则sinθ＝________．

连结BC.在△ABC中，AC＝10，AB＝20，∠BAC＝120°

，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·

AC·

cos120°

＝700，∴BC＝10.

再由正弦定理，得＝，

∴sinθ＝

25．某航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度，采用如下办法：

在岸边设置两个观察点A，B，且AB长为80米，当航模在C处时，测得∠ABC＝105°

和∠BAC＝30°

，经过20秒后，航模直线航行到D处，测得∠BAD＝90°

和∠ABD＝45°

.请你根据以上条件求出航模的速度．（答案保留根号）

在△DBC中，

DC2＝DB2＋BC2－2DB·

BCcos60°

＝（80）2＋（40）2－2×

80×

40×

＝9600.

∴DC＝40，航模的速度v＝＝2米/秒．

因此航模的速度为2米/秒．

26．在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端对于山坡的斜度为15°

，如右图所示，向山顶前进100m后，又从B点测得斜度为45°

，设建筑物的高为50m．求此山对于地平面的斜度θ的余弦值．

27．如右图所示，A，C两岛之间有一片暗礁，一艘小船于某日上午8时从A岛出发，以10海里/小时的速度沿北偏东75°

方向直线航行，下午1时到达B处．然后以同样的速度沿北偏东15°

方向直线航行，下午4时到达C岛．

（1）求A，C两岛之间的距离；

（2）求∠BAC的正弦值．

解：

（1）在△ABC中，由已知，得

AB＝10×

5＝50（海里），BC＝10×

3＝30（海里），

∠ABC＝180°

－75°

＋15°

＝120°

由余弦定理，得

AC2＝502＋302－2×

50×

30cos120°

＝4900，

所以AC＝70（海里）．

故A，C两岛之间的距离是70海里．

（2）在△ABC中，由正弦定理，得＝，

所以sin∠BAC＝＝＝.

故∠BAC的正弦值是.

28.已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，角B所对的边b＝，且函数f（x）＝2sin2x＋2sinxcosx－在x＝A处取得最大值.

（1）求f（x）的值域及周期；

（2）求△ABC的面积.

（2）因为f（x）在x＝A处取得最大值，

所以sin