江苏高等数学竞赛历年试题本一Word文档下载推荐.docx
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C.;
D
3.()
A.等于1;
B.等于0;
C.等于;
D不存在
4.若都存在,则在()
A.极限存在,但不一定连续;
B.极限存在且连续;
C.沿任意方向的方向导数存在;
D极限不一定存在,也不一定连续
5.设为常数,则级数()
A.绝对收敛B.条件收敛;
C.发散;
D收敛性与取值有关
三(6分)设有连续导数,,求.
四(6分)已知函数由参数方程确定,求.
五(6分)设在上可微,且,证明存在一点,使得.
六(6分)设,,求.
七(6分)已知由方程确定,其中都是可微函数,求.
八(8分)过抛物线上一点作切线,问为何值时所作的切线与抛物线所围成的平面图形面积最小.
九(8分)求级数的和.
十(8分)设在上连续且大于零,利用二重积分证明不等式:
.
十一(8分)已知两个球的半径分别为,且小球球心在大球球面上,试求小球在大球内的那部分的体积.
十二(8分)计算曲面积分,其中为曲面.
2002年江苏省第六届高等数学竞赛试题(本科一级)
一.填空(每题5分,共40分)
1.,则,
2.设在上可导,下列结论成立的是
A.若,则在上有界B.若,则在上无界
C.若,则在上无界
3.设由确定,则.
4..
5.曲线,在点的切线的参数方程为.
6.设,有二阶连续导数,有二阶连续偏导数,则
7.交换二次积分的次序.
8.幂级数的收敛域.
二.(8分)设,求证.
三.(8分)设在上连续,,求证:
在内至少存在两个零点.
四.(8分)求直线绕轴旋转一周的旋转曲面方程,求求该曲面与所包围的立体的体积.
五.(9分)设为常数,试判断级数的敛散性,何时绝对收敛?
何时条件收敛?
何时发散?
六.(9分)设讨论在连续性,可偏导性与可微性.
七.(9分)设在可导,,求
八.(9分)设曲线的方程为,一质点在力作用下沿曲线从运动到,力的大小等于到定点的距离,其方向垂直于线段,且与轴正向的夹角为锐角,求力对质点做得功.
2004年江苏省第七届高等数学竞赛试题(本科一级)
1.时,与为等价无穷小,则
2.
3.
4.时
5.
6..
7.设可微,,,则.
8.设,为,则.
二.(10分)设在上连续,在内二阶可导,,,求证:
1)内至少存在一点使得;
2)内至少存在一点使得
三.(10分)设,在的边界上任取点,设到原点距离为,作垂直于,交的边界于
1)试将的距离表示为的函数;
2)求饶旋转一周的旋转体的体积.
四(10分)已知点,在平面上求一点,使最小.
五(10分)求幂级数的收敛域.
六(10分)求证:
,其中.
七(10分)设连续,可导,,为不含原点单连通域,任取,
内积分与路径无关.
(1)求;
(2)求其中为边界取正向.
2006年江苏省第八届高等数学竞赛试题(本科一级)
1.,
4.已知点,为坐标原点,则四面体的内接球面方程为
5.设由确定,则
6.函数中常数满足条件时,为其极大值.
7.设是上从点到的一段曲线,时,曲线积分取最大值.
8.级数条件收敛时,常数的取值范围是
二.(10分)某人由甲地开汽车出发,沿直线行驶,经2小时到达乙地停止,一路畅通,若开车的最大速度为100公里/小时,求证:
该汽车在行驶途中加速度的变化率的最小值不大于公里/小时.
三.(10分)曲线的极坐标方程为,求该曲线在所对应的点的切线的直角坐标方程,并求切线与轴围成图形的面积.
四(8分)设在上是导数连续的有界函数,,求证:
五(12分)设锥面被平面截下的有限部分为.
(1)求曲面的面积;
(2)用薄铁片制作的模型,为上的两点,为原点,将沿线段剪开并展成平面图形,以方向为极坐标轴建立平面极坐标系,写出的边界的极坐标方程.
六(10分)曲线绕轴旋转一周生成的曲面与所围成的立体区域记为,求.
七(10分)1)设幂级数的收敛域为,求证幂级数的收敛域也为;
2)试问命题1)的逆命题是否正确,若正确给出证明;
若不正确举一反例说明.
2008年江苏省第九届高等数学竞赛题(本科一级)
一.填空题(每题5分,共40分)
1.,时,
2.,时在时关于的无穷小的阶数最高。
3.
4.通过点与直线的平面方程为
5.设则=
6.设为围成区域,则
7.设为上从到的一段弧,则=
8.幂级数的和函数为,收敛域为。
二.(8分)设数列为
证明:
数列收敛,并求其极限
三.(8分)设在上具有连续的导数,求证
四.(8分)1)证明曲面
为旋转曲面
2)求旋转曲面所围成立体的体积
五.(10分)函数具有连续的二阶偏导数,算子定义为
1)求;
2)利用结论1)以为新的自变量改变方程的形式
六.(8分)求
七.(9分)设的外侧,连续函数
,求
八.(9分)求的关于的幂级数展开式
2010年江苏省第十届高等数学竞赛试题(本科一级)
一.填空(每题4分,共32分)
1.
2.设函数可导,,则
3.,则
4.
6.圆的面积为
7.设可微,,则
8.级数的和为
二.(10分)设在上二阶可导,证明:
存在,使得
三.(10分)已知正方体的边长为2,为的中点,为侧面正方形的中点,
(1)试求过点的平面与底面所成二面角的值。
(2)试求过点的平面截正方体所得到的截面的面积.
四(12分)已知是等腰梯形,,求的长,使得梯形绕旋转一周所得旋转体的体积最大。
五(12分)求二重积分,其中
六.(12分)应用高斯公式计算,(为常数),其中.
七.(12分)已知数列,
记,判别级数的敛散性.
2012年江苏省第十一届高等数学竞赛试题(本一)
一、填空题(每小题4分,共32分,把答案写在题中横线上)
1、
2、则
3、
4、
5、函数皆可微,设则
6、设则
7、点到直线的距离为
8、级数为条件收敛,则常数的取值范围是
二、(每小题6分,共12分)
(1)求.
(2)设在处三阶可导,且求.
三、(每小题6分,共12分)在下面两题中,分别指出满足条件的函数是否存在?
若存在,举一例,并证明满足条件;
若不存在,请给出证明.
(1)函数在处可导,但在的某去心邻域内处处不可导.
(2)函数在上一阶可导,为极值,且为曲线的拐点.
四、(10分)设函数在平面区域D上可微,线段位于D内,点的坐标分别为,求证:
在线段上存在点,使得
五、(12分)计算曲线积分,其中为与的交线,从轴正向看去为逆时针方向.
六.(12分)点在平面的两侧,过点作球面使其在平面上截得的圆最小.
(1)求球面的球心坐标与该球面的方程.
(3)证明:
直线与平面的交点是圆的圆心.
七.(12分)求级数的和.