高三数学一轮总复习第三章导数及其应用第一节导数的概念与计算课时跟踪检测理文档格式.docx

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y′＝（x－1）（x－2）·

（x－6）＋x[（x－1）·

（x－2）·

（x－6）]′，所以f′（0）＝（－1）×

（－2）×

（－3）×

（－4）×

（－5）×

（－6）＋0＝720.故切线方程为y＝720x.

y＝720x

4．（xx·

全国卷Ⅰ）已知函数f（x）＝ax3＋x＋1的图象在点（1，f

（1））处的切线过点（2,7），则a＝________.

∵f′（x）＝3ax2＋1，

∴f′

（1）＝3a＋1.

又f

（1）＝a＋2，

∴切线方程为y－（a＋2）＝（3a＋1）（x－1）．

∵切线过点（2,7），∴7－（a＋2）＝3a＋1，解得a＝1.

1

5．已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l与直线4x－y－1＝0平行，且点P0在第三象限，则点P0的坐标为________．

设P0（x0，y0）．

由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1.

由已知，得3x＋1＝4，解得x0＝±

1.

当x0＝1时，y0＝0；

当x0＝－1时，y0＝－4.

又点P0在第三象限，∴切点P0的坐标为（－1，－4）．

（－1，－4）

二保高考，全练题型做到高考达标

1．某物体做直线运动，其运动规律是s＝t2＋（t的单位：

s，s的单位：

m），则它在第4s末的瞬时速度为________m/s.

∵s′＝2t－，∴在第4s末的瞬时速度v＝s′t＝4＝8－＝m/s.

2．（xx·

苏州二模）已知函数f（x）＝（x2＋2）（ax2＋b），且f′

（1）＝2，则f′（－1）＝________.

f（x）＝（x2＋2）（ax2＋b）＝ax4＋（2a＋b）x2＋2b，f′（x）＝4ax3＋2（2a＋b）x为奇函数，所以f′（－1）＝－f′

（1）＝－2.

－2

3．已知f（x）＝x（2015＋lnx），若f′（x0）＝2016，则x0＝________.

f′（x）＝2015＋lnx＋x·

＝2016＋lnx，故由f′（x0）＝2016得2016＋lnx0＝2016，则lnx0＝0，解得x0＝1.

金陵中学模拟）设点P是曲线y＝x3－x＋上的任意一点，P点处切线倾斜角α的取值范围为________．

因为y′＝3x2－≥－，故切线斜率k≥－，所以切线倾斜角α的取值范围是∪.

∪

5．已知f（x）＝lnx，g（x）＝x2＋mx＋（m<

0），直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切，且与f（x）图象的切点为（1，f

（1）），则m的值为________．

∵f′（x）＝，

∴直线l的斜率为k＝f′

（1）＝1，

又f

（1）＝0，

∴切线l的方程为y＝x－1.

g′（x）＝x＋m，设直线l与g（x）的图象的切点为（x0，y0），

则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝x＋mx0＋，m<

0，

于是解得m＝－2.

6．（xx·

太原一模）函数f（x）＝xex的图象在点（1，f

（1））处的切线方程是________．

∵f（x）＝xex，

∴f

（1）＝e，f′（x）＝ex＋xex，

∴f′

（1）＝2e，∴f（x）的图象在点（1，f

（1））处的切线方程为y－e＝2e（x－1），即y＝2ex－e.

y＝2ex－e

7.（xx·

无锡调研）如图，y＝f（x）是可导函数，直线l：

y＝kx＋2是曲线y＝f（x）在x＝3处的切线，令g（x）＝xf（x），其中g′（x）是g（x）的导函数，则g′（3）＝________.

由题图可知曲线y＝f（x）在x＝3处切线的斜率等于－，即f′（3）＝－.

又因为g（x）＝xf（x），

所以g′（x）＝f（x）＋xf′（x），g′（3）＝f（3）＋3f′（3），

由题图可知f（3）＝1，所以g′（3）＝1＋3×

＝0.

8．设函数f（x）＝（x－a）（x－b）（x－c）（a，b，c是两两不等的常数），则＋＋＝________.

∵f（x）＝x3－（a＋b＋c）x2＋（ab＋bc＋ca）x－abc，

∴f′（x）＝3x2－2（a＋b＋c）x＋ab＋bc＋ca，

f′（a）＝（a－b）（a－c），

f′（b）＝（b－a）（b－c），

f′（c）＝（c－a）（c－b）．

∴＋＋

＝＋＋

＝＝0.

9．求下列函数的导数．

（1）y＝x·

tanx；

（2）y＝（x＋1）（x＋2）（x＋3）．

解：

（1）y′＝（x·

tanx）′＝x′tanx＋x（tanx）′

＝tanx＋x·

′＝tanx＋x·

＝tanx＋.

（2）y′＝（x＋1）′[（x＋2）（x＋3）]＋（x＋1）[（x＋2）（x＋3）]′＝（x＋2）（x＋3）＋（x＋1）（x＋2）＋（x＋1）（x＋3）＝3x2＋12x＋11.

10．已知曲线y＝f（x）＝－1（a>

0）在x＝1处的切线为l，求l与两坐标轴所围成的三角形的面积的最小值．

因为f

（1）＝－1，所以切点为.

由已知，得f′（x）＝，切线斜率k＝f′

（1）＝，

所以切线l的方程为y－＝（x－1），

即2x－ay－a－1＝0.

令y＝0，得x＝；

令x＝0，得y＝－.

所以l与两坐标轴所围成的三角形的面积S＝×

×

＝＋≥×

2＋＝1，当且仅当a＝，即a＝1时取等号，所以Smin＝1.

故l与两坐标轴所围成的三角形的面积的最小值为1.

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1．已知曲线C：

f（x）＝x3－ax＋a，若过曲线C外一点A（1,0）引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为________．

设切点坐标为（t，t3－at＋a）．由题意知，f′（x）＝3x2－a，切线的斜率k＝y′x＝t＝3t2－a　①，所以切线方程为y－（t3－at＋a）＝（3t2－a）（x－t）　②.将点A（1,0）代入②式得－（t3－at＋a）＝（3t2－a）（1－t），解得t＝0或t＝.分别将t＝0和t＝代入①式，得k＝－a和k＝－a，由题意得它们互为相反数，故a＝.

无锡一中检测）已知函数f（x）＝f′cosx＋sinx，则f的值为________．

∵f（x）＝f′cosx＋sinx，

∴f′（x）＝－f′sinx＋cosx，

∴f′＝－f′×

＋，

∴f′＝－1.

故f＝（－1）×

＋＝1.

苏北四市调研）设函数f（x）＝ax－，曲线y＝f（x）在点（2，f

（2））处的切线方程为7x－4y－12＝0.

（1）求f（x）的解析式；

（2）证明：

曲线y＝f（x）上任意一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．

（1）f′（x）＝a＋.

∵点（2，f

（2））在切线7x－4y－12＝0上，

∴f

（2）＝＝.

又曲线y＝f（x）在点（2，f

（2））处的切线方程为7x－4y－12＝0，

∴⇒⇒

∴f（x）的解析式为f（x）＝x－.

（2）设为曲线y＝f（x）上任意一点，

则切线的斜率k＝1＋，

切线方程为y－＝（x－x0），

由得

∴曲线y＝f（x）上任意一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积S＝|2x0|＝6，为定值．

2019-2020年高三数学一轮总复习第三章导数及其应用第二节导数的应用第一课时导数与函数的单调性课时跟踪检测

1．（xx·

镇江模拟）函数f（x）＝（x－3）ex的单调递增区间是________．

函数f（x）＝（x－3）ex的导数为f′（x）＝[（x－3）ex]′＝ex＋（x－3）ex＝（x－2）ex.由函数导数与函数单调性的关系，得当f′（x）＞0时，函数f（x）单调递增，此时由不等式f′（x）＝（x－2）ex＞0，解得x＞2.

（2，＋∞）

2．设函数f（x）＝x3＋ax2＋5x＋6在区间[1,3]上是单调函数，则实数a的取值范围是________．

依题意，知当x∈[1,3]时，f′（x）＝x2＋2ax＋5的值恒不小于0或恒不大于0.

若当x∈[1,3]时，f′（x）＝x2＋2ax＋5≥0，即有－2a≤x＋在[1,3]上恒成立，而x＋≥2＝2（当且仅当x＝时取等号），故－2a≤2，解得a≥－.

若当x∈[1,3]时，f′（x）＝x2＋2ax＋5≤0，即有－2a≥x＋恒成立，注意到函数g（x）＝x＋在[1，]上是减函数，在[，3]上是增函数，且g

（1）＝6>

g（3）＝，因此－2a≥6，解得a≤－3.

综上所述，实数a的取值范围是（－∞，－3]∪[－，＋∞）．

（－∞，－3]∪[－，＋∞）

3．函数f（x）＝1＋x－sinx在（0,2π）上的单调情况是________．

在（0,2π）上有f′（x）＝1－cosx＞0，所以f（x）在（0,2π）上单调递增．

单调递增

启东模拟）已知a≥1，f（x）＝x3＋3|x－a|，若函数f（x）在[－1,1]上的最大值和最小值分别记为M，m，则M－m的值为________．

当x∈[－1,1]时，f（x）＝x3＋3（a－x）＝x3－3x＋3a（a≥1），∴f′（x）＝3（x－1）（x＋1）．当－1＜x＜1时，f′（x）＜0，所以原函数f（x）在区间[－1,1]上单调递减，所以M＝f（－1）＝3a＋2，m＝f

（1）＝3a－2，所以M－m＝4.

4

5．（xx·

苏州测试）已知函数f（x）＝x2＋2ax－lnx，若f（x）在区间上是增函数，则实数a的取值范围为________．

f′（x）＝x＋2a－≥0在上恒成立，

即2a≥－x＋在上恒成立，

∵max＝，

∴2a≥，即a≥.

1．函数f（x）＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为________．

由f（x）＝x3－15x2－33x＋6得f′（x）＝3x2－30x－33，令f′（x）＜0，即3（x－11）（x＋1）＜0，解得－1＜x＜11，所以函数f（x）的单调减区间为（－1,11）．

（－1,11）

2．若幂函数f（x）的图象过点，则函数g（x）＝exf（x）的单调递减区间为________．

设幂函数f（x）＝xα，因为图象过点，所以＝α，α＝2，所以f（x）＝x2，故g（x）＝exx2，令g′（x）＝exx2＋2exx＝ex（x2＋2x）＜0，得－2＜x＜0，故函数g（x）的单调递减区间为（－2,0）．

（－2,0）

南通、扬州、淮安、连云港调研）设f（x）＝4x3＋mx2＋（m－3）x＋n（m，n∈R）是R上的单调增函数，则实数m的值为________．

因为f′（