第七讲 从不定方程的整数解谈起Word格式.docx

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t3=3，t3′=12；

t4=4，

　　这里t和t′是62=36的互补因子（当t＝t′＝6时自补因子也包括在内），所以

成一种了。

　　以上情况推广到一般情况：

求不定方程

　　的整数解，只要找出n2的全部成组互补因子t和t′，则

　　就可得到全部解。

　　例如，求不定方程：

　　（即n＝12）的整数解，首先分解122＝（22·

3）2＝24·

32，它的因子根据分解式的结构特点可以排成一个表。

　　按照互补或自补因子配对有：

（1，144），（2，72），（3，48），（4，36），（6，24），（8，18），（16，9），（12，12）。

　　“单位分数”（分子为1分母为整数）的和，那么我们相当于求：

的整数解，例如求解

　　在这些基本训练基础上，我们很容易把整数1分拆为若干个单位分数之和。

（1，4），（2，2）.可有

　　并且可断言只有这三种形式.为证明这一论断，先介绍“推广的抽屉原理”（称之为平均值原理更确切）：

一个（正）数，分放于几个抽屉中，必有一个抽屉内存放的数大于或等于平均值.（注意，这里的数不局限于整数）

故推断正确。

　　在某些问题研究中，并不要求马上找出全部解，只要能将一个单位分数分拆为两个单位分数之和即可，这里我们介绍另一种技巧，先看

　　（我们这里是在讨论单位分数问题时用到（5）式.其实（5）式又可以改变形式写成：

　　它在计算中也有巧妙应用，为保持原问题讨论的连续性，它的具体应用请看习题）。

　　公式（5）在将整数1分裂成若干个单位分数和的求解中，用起来很方便.例如可将1分裂为3个分母不等的单位分数之和。

　　而且，只要不计较分母太大看起来不直观，我们可以把1分裂成任意多个单位分数之和，如

分解。

　　上述基本分解还有一种简便一些的算法，它不必分解n2的因子，而只要

　　）的所有因子由小到大排列：

1、2、3、4、6、12，6个因子任取2个配成一个组合，共有15种：

　　（1，2），（1，3），（1，4），（1，6），（1，12）

　　（2，3），（2，4），（2，6），（2，12）

　　（3，4），（3，6），（3，12）

　　（4，6），（4，12）

　　（6，12）

种情况即可.

子不是1的，例如

　　那么请问是否只有两种方式？

答：

是.理由呢？

因为由推广的抽屉原理，

求整数解呢？

约分后分母为15，所以[x，y]为15，2×

15，3×

15，…，以下分情况讨论。

y=15）的情况应排除。

析，如y大于15，

　　③y是x与y可能的最小公倍数30，45，60，…中某一个数的约数；

≠单位分数，

　　∴排除y=9.同样，也可排除y=11，12，13，14.只有y=10一种可能。

　　从上例看出分数形式不定方程求整数解不是很容易的.一些国际一流的数学家也致力于这类问题的研究.如1950年，厄尔丢斯（Erds）猜想：

　　学家柯召、孙琦等证明了n＜4×

105=400000时，猜想成立.1965年有人把n推进到n<

107，1978年又将n推进到了n＜108。

　　另有谢平斯基（Sierpinski）猜想：

来证明.对于大多数小学生来讲，现在功力有限，只能在最简单的情况下一试身手。

　　分情况讨论：

　　对于方程（7），再用推广的抽屉原理，有

　　又3=x≤y，这样，y=3或y=4，代入（8）后知（8）无解.

习题七

　　1.求不定方程的全部整数解。

　　2.求不定方程的整数解中，使x+y为最小以及最大的两组解。

　　3.应用公式（5），证明：

　　。

　　4.证明：

　　5.求不定方程的整数解，你能求出全部整数解并证明再没有别的角吗？

　　6.计算

　　.

习题七解答

　　2．302=22×

32×

52，为找出它的全部因子，我们这里介绍“字典法则”：

　　20·

30·

50=1，20·

51=5，20·

52=25，

31·

50=3，20·

51=15，20·

52=75，

32·

50=9，20·

51=45，20·

52=225，

　　21·

50=2，21·

51=10，21·

52=50，

50=6，21·

51=30，21·

52=150，

50=18，21·

51=90，21·

52=450，

　　22·

50=4，22·

51=20，22·

52=100，

50=12，22·

51=60，22·

52=300，

50=36，22·

51=180，22·

52=900，

　　大家都知道英语字典排序规则，先有a部，再看第二个字母的顺序，第二个字母相同时，看第三个字母的顺序，等等.这里因子的幂值正好借用作顺序编号.（当然上题每个因子恰好是2次幂，如别的也一样，如：

23×

22×

51的因子字典法排序为：

　　回到本题，302的27个因子从小到大按方向“”排序为：

　　其实只要排出30以下，另一头用302的互补因子即可，利用

　　立即知x+y=60+t+t'

.现在问题转化成求t+t'

的最大最小值问题了.这里要求小学生会联想和类比，大家知道等积问题的一种结论：

面积固定的长方形中，正方形的周长最小.或者两数乘积不变的情况下，两数相等时和最小。

　　现在t·

t'

=302固定，要t+t'

最小，当然是t=t'

=30，所以x+y最小为120。

　　那么x+y最大，也即60+t+t'

最大，经前面t，t'

排成二行的表一看就知为60+900+1=961。

　　因此

　　5.首先设x≤y≤z，因为显然不会有x=y=z的解.由推广的抽屉原理：

　　又因x必须是整数，所以x可能的值只有：

2、3、4。

　　利用前面知识52只有两组互补因子（1，25），（5，5），所以推知（y，

　　运用推广的抽屉原理。

　　∴y可能取值为：

3、4、5.

　　y为整数，∴y=3、4。

　　∵x≤y，∴y只可能为4。

　　综合情况①②③，所有解为：