版高考数学一轮复习 第九章 解析几何 98 曲线与方程 理docWord格式.docx

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x＝－，点B是l上的动点，若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是（　　）

A．双曲线B．椭圆

C．圆D．抛物线

答案　D

解析　由已知|MF|＝|MB|，根据抛物线的定义知，

点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线．

2．（2017·

广州调研）方程（2x＋3y－1）（－1）＝0表示的曲线是（　　）

A．两条直线B．两条射线

C．两条线段D．一条直线和一条射线

解析　原方程可化为或－1＝0，

即2x＋3y－1＝0（x≥3）或x＝4，

故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线．

3．（2016·

南昌模拟）已知A（－2,0），B（1,0）两点，动点P不在x轴上，且满足∠APO＝∠BPO，其中O为原点，则P点的轨迹方程是（　　）

A．（x＋2）2＋y2＝4（y≠0）

B．（x＋1）2＋y2＝1（y≠0）

C．（x－2）2＋y2＝4（y≠0）

D．（x－1）2＋y2＝1（y≠0）

答案　C

解析　由角的平分线性质定理得|PA|＝2|PB|，

设P（x，y），则＝2，

整理得（x－2）2＋y2＝4（y≠0），故选C.

4．过椭圆＋＝1（a>

b>

0）上任意一点M作x轴的垂线，垂足为N，则线段MN中点的轨迹方程是________________．

答案　＋＝1

解析　设MN的中点为P（x，y），

则点M（x,2y）在椭圆上，∴＋＝1，

即＋＝1（a>

0）．

5．（2016·

唐山模拟）设集合A＝{（x，y）|（x－3）2＋（y－4）2＝}，B＝{（x，y）|（x－3）2＋（y－4）2＝}，C＝{（x，y）|2|x－3|＋|y－4|＝λ}．若（A∪B）∩C≠∅，则实数λ的取值范围是________．

答案　[，4]

解析　由题意可知，集合A表示圆（x－3）2＋（y－4）2＝上的点的集合，集合B表示圆（x－3）2＋（y－4）2＝上的点的集合，集合C表示曲线2|x－3|＋|y－4|＝λ上的点的集合，这三个集合所表示的曲线的中心都在（3,4）处，集合A、B表示圆，集合C则表示菱形，可以将圆与菱形的中心同时平移至原点，如图所示，

可求得λ的取值范围是[，4]．

题型一　定义法求轨迹方程

例1　如图，动圆C1：

x2＋y2＝t2,1<

t<

3，与椭圆C2：

＋y2＝1相交于A，B，C，D四点．点A1，A2分别为C2的左，右顶点．求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程．

解　由椭圆C2：

＋y2＝1，知A1（－3,0），A2（3,0）．

设点A的坐标为（x0，y0）；

由曲线的对称性，

得B（x0，－y0），

设点M的坐标为（x，y），

直线AA1的方程为y＝（x＋3）．①

直线A2B的方程为y＝（x－3）．②

由①②得y2＝（x2－9）．③

又点A（x0，y0）在椭圆C2上，故y＝1－.④

将④代入③得－y2＝1（x<

－3，y<

因此点M的轨迹方程为－y2＝1（x<

思维升华　应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解．

　已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别是1和2，且|O1O2|＝4.动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．

解　如图所示，

以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴建立平面直角坐标系．

由|O1O2|＝4，得O1（－2,0），O2（2,0）．设动圆M的半径为r，则由动圆M与圆O1内切，有|MO1|＝r－1；

由动圆M与圆O2外切，有|MO2|＝r＋2.

∴|MO2|－|MO1|＝3<

4＝|O1O2|.

∴点M的轨迹是以O1、O2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支．∴a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝.

∴点M的轨迹方程为－＝1（x≤－）．

题型二　直接法求轨迹方程

例2　（2016·

广州模拟）已知椭圆C：

＋＝1（a>

0）的一个焦点为（，0），离心率为.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若动点P（x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．

解　

（1）依题意得，c＝，e＝＝，

因此a＝3，b2＝a2－c2＝4，

故椭圆C的标准方程是＋＝1.

（2）若两切线的斜率均存在，设过点P（x0，y0）的切线方程是y＝k（x－x0）＋y0，

则由

得＋＝1，

即（9k2＋4）x2＋18k（y0－kx0）x＋9[（y0－kx0）2－4]＝0，

Δ＝[18k（y0－kx0）]2－36（9k2＋4）[（y0－kx0）2－4]＝0，

整理得（x－9）k2－2x0y0k＋y－4＝0.

又所引的两条切线相互垂直，

设两切线的斜率分别为k1，k2，

于是有k1k2＝－1，即＝－1，

即x＋y＝13（x0≠±

3）．

若两切线中有一条斜率不存在，

则易得或或或

经检验知均满足x＋y＝13.

因此，动点P（x0，y0）的轨迹方程是x2＋y2＝13.

思维升华　直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．

　在平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）为动点，F1，F2分别为椭圆＋＝1（a>

0）的左，右焦点．已知△F1PF2为等腰三角形．

（1）求椭圆的离心率e；

（2）设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足·

＝－2，求点M的轨迹方程．

解　

（1）设F1（－c,0），F2（c,0）（c>

由题意，可得|PF2|＝|F1F2|，即＝2c，

整理得22＋－1＝0，

得＝－1（舍去）或＝.所以e＝.

（2）由

（1）知a＝2c，b＝c，可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，直线PF2的方程为y＝（x－c）．

A，B两点的坐标满足方程组

消去y并整理，得5x2－8cx＝0.

解得x1＝0，x2＝c，

得方程组的解

不妨设A，B（0，－c）．

则＝，＝（x，y＋c）．

由y＝（x－c），得c＝x－y.

于是＝，＝（x，x），由·

＝－2，

即·

x＋·

x＝－2.

化简得18x2－16xy－15＝0.

将y＝代入c＝x－y，

得c＝>

0.

所以x>

因此，点M的轨迹方程是18x2－16xy－15＝0（x>

题型三　相关点法求轨迹方程

例3　（2016·

大连模拟）如图所示，抛物线C1：

x2＝4y，C2：

x2＝－2py（p>

0）．点M（x0，y0）在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B（M为原点O时，A，B重合于O）．当x0＝1－时，切线MA的斜率为－.

（1）求p的值；

（2）当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A，B重合于O时，中点为O）．

解　

（1）因为抛物线C1：

x2＝4y上任意一点（x，y）的切线斜率为y′＝，

且切线MA的斜率为－，

所以点A的坐标为（－1，），

故切线MA的方程为y＝－（x＋1）＋.

因为点M（1－，y0）在切线MA及抛物线C2上，

所以y0＝－×

（2－）＋

＝－，①

y0＝－＝－.②

由①②得p＝2.

（2）设N（x，y），A（x1，），B（x2，），x1≠x2.

由N为线段AB的中点，知

x＝，③

y＝.④

所以切线MA，MB的方程分别为

y＝（x－x1）＋，⑤

y＝（x－x2）＋.⑥

由⑤⑥得MA，MB的交点M（x0，y0）的坐标为

x0＝，y0＝.

因为点M（x0，y0）在C2上，即x＝－4y0，

所以x1x2＝－.⑦

由③④⑦得x2＝y，x≠0.

当x1＝x2时，A，B重合于原点O，

AB的中点N为点O，坐标满足x2＝y.

因此AB的中点N的轨迹方程是x2＝y.

思维升华　“相关点法”的基本步骤

（1）设点：

设被动点坐标为（x，y），主动点坐标为（x1，y1）；

（2）求关系式：

求出两个动点坐标之间的关系式

（3）代换：

将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．

　设直线x－y＝4a与抛物线y2＝4ax交于两点A，B（a为定值），C为抛物线上任意一点，求△ABC的重心的轨迹方程．

解　设△ABC的重心为G（x，y），

点C的坐标为（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2）．

由方程组

消去y并整理得

x2－12ax＋16a2＝0.

∴x1＋x2＝12a，

y1＋y2＝（x1－4a）＋（x2－4a）＝（x1＋x2）－8a＝4a.

∵G（x，y）为△ABC的重心，

∴∴

又点C（x0，y0）在抛物线上，

∴将点C的坐标代入抛物线的方程得

（3y－4a）2＝4a（3x－12a），

即（y－）2＝（x－4a）．

又点C与A，B不重合，∴x0≠（6±

2）a，

∴△ABC的重心的轨迹方程为

（y－）2＝（x－4a）（x≠（6±

）a）．

22．分类讨论思想在曲线方程中的应用

典例　（12分）已知抛物线y2＝2px经过点M（2，－2），椭圆＋＝1的右焦点恰为抛物线的焦点，且椭圆的离心率为.

（1）求抛物线与椭圆的方程；

（2）若P为椭圆上一个动点，Q为过点P且垂直于x轴的直线上的一点，＝λ（λ≠0），试求Q的轨迹．

思想方法指导　

（1）由含参数的方程讨论曲线类型时，关键是确定分类标准，一般情况下，根据x2，y2的系数与0的关系及两者之间的大小关系进行分类讨论．

（2）等价变换是解题的关键：

即必须分三种情况讨论轨迹方程．

（3）区分求轨迹方程与求轨迹问题．

规范解答

解　

（1）因为抛物线y2＝2px经过点M（2，－2），

所以（－2）2＝4p，解得p＝2.

所以抛物线的方程为y2＝4x，

其焦点为F（1,0），即椭圆的右焦点为F（1,0），得c＝1.

又椭圆的离心率为，所以a＝2，

可得b2＝4－1＝3，故椭圆的方程为

＋＝1.[3分]

（2）设Q（x，y），其中x∈[－2,2]，

设P（x，y0），因为P为椭圆上一点，

所以＋＝1，

解得y＝3－x2.

由＝λ可得＝λ2，

故＝λ2，

得（λ2－）x2＋λ2y2