线性代数4试卷及答案Word下载.doc
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D.若,则
4.设A、B为n阶方阵,满足A2=B2,则必有( )
A.A=B B.A=-B
C.|A|=|B| D.|A|2=|B|2
5.设3阶方阵A的秩为2,则与A等价的矩阵为( )
A. B.
C. D.
6.设A,B为同阶可逆方阵,则下列等式中错误的是( )
A.|AB|=|A||B| B.(AB)-1=B-1A-1
C.(A+B)-1=A-1+B-1 D.(AB)T=BTAT
7.设2阶矩阵A=,则A*=( )
A. B.
C. D.
8.设2阶矩阵A=,则A*=( )
9.设矩阵A=,则A中( )
A.所有2阶子式都不为零 B.所有2阶子式都为零
C.所有3阶子式都不为零 D.存在一个3阶子式不为零
10.设是,的两个解,则( )
A.是,的解
B.是,的解
C.2是,的解
D.2是,的解
11.设均为n维向量,又线性相关,线性无关,则下列正确的是()
A.线性相关
B.线性无关
C.可由线性表示
D.可由线性表示
12.设向量,则下列命题中正确的是( )
A.若线性相关,则必有线性相关
B.若线性无关,则必有线性无关
C.若线性相关,则必有线性无关
D.若线性无关,则必有线性相关
13.设A为m×
n矩阵,齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是( )
A.A的列向量组线性相关 B.A的列向量组线性无关
C.A的行向量组线性相关 D.A的行向量组线性无关
14.设α1,α2,α3,α4为向量空间V的一个基,则V的维数=( )
A.1 B.2
C.3 D.4
15.设A与B是两个相似n阶矩阵,则下列说法错误的是( )
A. B.秩(A)=秩(B)
C.存在可逆阵P,使P-1AP=B D.E-A=E-B
16.正交矩阵的行列式为( )
A.0 B.+1
C.-1 D.±
1
17.矩阵A=的非零特征值为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
18.当矩阵A满足A2=A时,则A的特征值为( )
A.0或1 B.±
C.都是0 D.都是1
19.二次型的正惯性指数p为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
20.设有二次型则()
A.正定 B.负定
C.不定 D.半正定
二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
21.若则行列式=_____________.
22.三阶行列式,则__________.
23.设A=,B=则AB=__________.
24.行列式中元素9的代数余子式A32=____________
25.若则k=___________.
26.设A,B均为n阶矩阵,,则=__________.
27.若齐次线性方程组有非零解,则其系数行列式的值为______________.
28.设矩阵A=,若齐次线性方程组Ax=0有非零解,则数t=____________.
29.设矩阵A=,矩阵B=A-E,则矩阵B的秩r(B)=______________.
30.已知A有一个特征值-2,则B=A+2E必有一个特征值___________.
31.方程组的通解是___________.
32.已知向量α=(2,1,0,3)T,β=(1,-2,1,k)T,α与β的内积为2,则数k=____________.
33.设向量α=(b,,)T为单位向量,则数b=______________.
34.设为一个4元齐次线性方程组,若为它的一个基础解系,则秩(A)=_________.
35.已知某个3元非齐次线性方程组Ax=b的增广矩阵经初等行变换化为:
,若方程组无解,则a的取值为.
36.已知3维向量,则内积=____________.
37.设三阶方阵A的特征值分别为-2,1,1,且B与A相似,则=___________.
38.设三阶方阵A的特征值分别为-2,1,1,且B与A相似,则=___________.
39.矩阵A=所对应的二次型是___________.
40.设3元实二次型经正交变换化成的标准形为,则矩阵A的特征值为_________.
三、计算题(本大题共5小题,每小题10分,共50分)
41.计算四阶行列式的值.
42.设A=,B=求矩阵AB.
43.已知矩阵A=,B=,
(1)求A的逆矩阵A-1;
(2)解矩阵方程AX=B.
44.设A=,求A.
45.设A=,B=,且A,B,X满足(E-BA)求X,X
46.求向量组=(1,2,1,3),=(4,-1,-5,-6),=(1,-3,-4,-7)的秩和其一个极大线性无关组.
47.设向量组,,,,求该向量组的秩,并判断其线性相关性。
48.求线性方程组的通解.
49.设矩阵A=,
(1)求矩阵A的特征值与对应的全部特征向量.
(2)判定A是否可以与对角矩阵相似,若可以,求可逆矩阵P和对角矩阵,使得P-1AP=.
50.已知二次型f(x1,x2,x3)=2x+3x+3x+2ax2x3通过正交变换可化为标准形f=y+2y+5y,求a.
四、证明题(本大题10分)
51.设是齐次方程组Ax=0的基础解系.证明:
,一定是Ax=0的基础解系.
52.设A,B均为正交矩阵,且,试证.
21、
22、(A,E)=………………………..3分
……….………………….1分
………………………2分
………………………..1分
……2分
所以…………………………………………1分
23、令A=(=………………………….2分
………………………………………………….2分
………………………………………………………….2分
所以向量组的秩为2………………………………………….2分
极大线性无关组为或或……………………….2分
24、………………………………………………..2分
……………………………………2分
………………………………………………………….1分
所以非齐次方程的一般解为
……………………………………………1分
所以齐次方程组的一个特解为…………………………..1分
对应的齐次方程组为得基础解系为…………….2分
所以原方程组的通解为,其中为任意常数………………….1分
25、
(1)项式=(
所以特征值…………………………………………………..1分
当时,
即,所以特征向量为………………………………..1分
对应特征值全部特征向量为,为任意非零常数………..1分
即,所以得到对应的特征向量………………………..1分
对应特征值的全部特征向量为,为任意非零常数……….1分
(2)因为矩阵A有两不同的特征值1和9,(或者说存在两个线性无关的特征向量
),所以矩阵A可以对角化……………………………………………..2分
可逆矩阵P=,即P=,..............................2分
且有,所以对角矩阵为................1分
26、
证明:
首先,的个数与所给的基础解系个数相同,都为3,即
n-r=3………………………………………………………………………1分
其次,,
所以,都是方程组Ax=0的解………………………………………2
最后,根据提设条件可以写出矩阵等式
=………………………………………2分
把它记为.因为标出矩阵的行列式=1…….1分
P是可逆矩阵………………………………………………………..1分
所以,,这说明线性无关………………………2分
所以,必是Ax=0的基础解系……………………………………….1分
21、解:
D==
=
22、解:
(1)
(2)
23、解:
24、解:
令
所以向量组的秩为3。
因为未知数的个数大于向量组的秩,所以向量组线性相关。
……4分
25、解:
的矩阵为……2分
先求A的特征值,
……
(1)……2分
由已知,二次型可通过正交变换可化为标准形f=y+2y+5y,得
矩阵A的特征值为1,2,5。
……2分
将λ1=1代入
(1)式,得
四、证明题
26、证:
由已知可知……2分
……4分
再由,又正交阵的行列式为……1分
不妨设,则
则,故……3分