同济大学高数上册知识点Word格式.docx
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|v5时，\f（x）-A\<
e
X—^Xq
左极限：
右极限:
/（X）
liinf（x）=A存在O/Uo）=/（4）
A—>
X0
2、极限存在准则
1）夹逼准则:
1）儿<
乙（心心
2）单调有界准则:
单调有界数列必有极限.
3>
无穷小（大）量
1）定义：
若血a=0则称为无穷小量；
若lim0=oo则称为无穷大量.
2）无穷小的阶：
高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k阶无穷小
ThlQ〜POP=a+o（a）；
Th2「存在，贝flliin—=liin—（无穷小代换）
—aaa
4.求极限的方法
1）单调有界准则；
2）夹逼准则；
3）极限运算准则及函数连续性；
4）两个重要极限：
5）无穷小代换：
"
TO）
a）x~sin兀~tailx~arcsiiix~arctaiix
b）l-cosx〜丄兀2
c）ex—1〜兀（。
一1〜兀Ina）
兀
d）ln（l+x）~x（log,l+x）~—）
ina
e）（l+x）a-1ax
二、导数与微分
（-）导数
定义：
gr旣芈铲
左导数:
*）守件严
X->
XoX—XQ
右导数：
A'
gpr号［心
XT"
X—Xq
函数/0）在兀0点可导Of（石二以兀。
）
2、
几何意义：
广So）为曲线y=,0）在点（兀。
，/（兀。
））处的切线的斜率.
7）对数求导法.
5>
高阶导数
d^=±
（dy]
dx1dj\dx）
n
2）Leibniz公式：
=乞①⑷卩"
°
k=0
（2）微分
Ay=/（x0+Ax）-/（x0）=AAr+o{\x）,其中人与心无关.
2）可微与可导的关系：
可微O可导，且dy=f\xQ）^x=f,（<
xQ）dx
三、微分中值定理与导数的应用
（―）中值定理
1、Rolle罗尔定理：
若函数/（兀）满足:
1）f（x）^C[a,b].2）/（x）e£
）（a,Z?
）.3）/⑷=/（^）；
则北0（"
）,使厂@）=0.
2、Lagrange拉格朗日中值定理：
若函数/（兀）满足：
1）f（x）^C[a,b].2）f（x）^D（a,b）.
则3^e（a,b）,使A（b）—/⑷=广©
（b-a）.
3、Cauchy柯西中值定理：
若函数/（x）,F（x）满足:
1）f（x）9F（x）eC[a,b].2）/（x）,F（x）eD（a,b）.3）F\x）H0,xe（a,Z?
/（b）—/⑷二广（g）
F（b）-F@）—F@）
（二）洛必达法则
（三）Taylor公式
（四）单调性及极值
1、单调性判别法：
f（x）^C［a,b］9/（x）e£
＞（«
/?
）,则若广（x）＞0,则
刃＞）单调增加；
则若广0）vO,则刃＞）单调减少.
2、极值及其判定定理：
a）必要条件：
/（X）在®
可导，若心为/（兀）的极值点，则广（勺）=0.
b）第一充分条件：
川＞）在兀0的邻域内可导，且广（心=0,则①若当xvx。
时，门»
＞0,当x＞x0时，f\x）＜0,则兀°
为极大值点；
②若当兀＜勺时,ZW＜0,当兀＞兀。
时，f\x）＞0,则兀°
为极小值点;
③若在兀o的两侧广（兀）不变号，则兀0不是极值点.
C）第二充分条件：
0）在兀0处二阶可导，且.m）=o,厂（心）工0,则①若厂（兀o）vO,则勺为极大值点；
②若厂（兀。
）＞0,则"
为极小值点.
3、凹凸性及其判断，拐点
1）/（兀）在区间7上连续，若Vx1?
x2eZ,尼尹）＜小）；
/也）,则称/⑴在区间Z上的图形是凹的;
若Vx1?
x2e/,/（巴尹）＞"
勺）；
心,则称/⑴在区间Z上的图形是凸的.
2）判定定理：
/（x）在口切上连续，在（a,b）上有一阶、二阶导数，贝!
|
a）若色丘＞0,则念）在［处］上的图形是凹的；
b）若色丘v0,则、住）在［处］上的图形是凸的.
3）拐点：
设y=/（x）在区间Z上连续，人）是/⑴的内点，如果曲线y=经
过点（兀0J（兀o））时，曲线的凹凸性改变了，则称点So/So））为曲线的拐点.
（五）不等式证明
1、
利用微分中值定理；
利用函数单调性；
3、
利用极值（最值）•
（六）
方程根的讨论
连续函数的介值定理;
Rolle定理；
函数的单调性；
4、
极值、最值；
5、
凹凸性.
（七）渐近线
1、铅直渐近线：
MnVU）=co,则兀+为一条铅直渐近线；
2、水平渐近线：
=贝心=b为一条水平渐近线；
3、斜渐近线：
巴申=*吧［刃＞）—总］二“存在，则y=kx^b为一条斜
―沢R兀X―兀Q
渐近线.
（八）图形描绘
四、不定积分
（-）概念和性质
1、原函数：
在区间Z上，若函数F3）可导，且F\x）=f{x）9则F（x）称为
/W的一个原函数.
2、不定积分：
在区间Z上，函数/W的带有任意常数的原函数称为/W在区间Z上的不定积分.
3、基本积分表（P188,13个公式）；
4、性质（线性性）・
（二）换元积分法
1、第一类换元法（凑微分）：
]7[0（劝]0（兀）血=|]70）〃討u=（p（x）
2、第二类换元法（变量代换）：
”（兀皿=[|7做）]0（。
创（=沪⑴
（三）分部积分法：
\udv=uv-\vdu
（四）有理函数积分
1、“拆”；
2、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等）•
5.定积分
（-）概念与性质：
1、定义：
fg）心出必能）心’
/=1
2、性质：
（7条）
性质7（积分中值定理）函数/（兀）在区间山上]上连续，则龙w[“],使
eb
ZJfgdx
fgdx=—a）（平均值：
f«
）="
匕〜）
（-）微积分基本公式（N—L公式）
1、变上限积分：
设①⑴=£
f^dt,则①3=/W推广：
lxC⑴力=/[0（W（兀）—/[。
（兀加⑴
2、N—L公式：
若F（x）为/（兀）的一个原函数，则\fMdx=F（<
b）-F（a）
（3）换元法和分部积分
1、换元法：
fZx=£
7[卩（/）]0⑴dr
2、分部积分法：
?
^v=[wv]；
；
-£
v^
（4）反常积分
1、无穷积分：
2、瑕积分:
f（x）dx=liinIf（x）dx（°
为瑕点）
f（x）dx=]im^f（x）dx（〃为瑕点）
两个重要的反常积分:
+00,
1）
ydx_
axp
a{-p
、P—1
P>
1
bdx
2）（x-a）q」"
（Z?
_x）Q
i—q
六.定积分的应用
（一）平面图形的面积
2、极坐标：
人=*萇妨（&
）—©
2（&
）]%
p=爲⑹
a
（二）体积
K旋转体体积：
a）曲边梯形y==a,x=b.x轴，绕x轴旋转而成的旋转体的体积:
匕于（兀）厶
b）曲边梯形y=/（兀），兀=a,x=b,x轴，绕y轴旋转而成的旋转体的体积:
fb
Vy=J2耐（Qdx（柱壳法）
2、平行截面面积已知的立体：
V=JA（x）dx
（三）弧长
1、直角坐标：
s=fJ1+［广（兀）］也
2、参数方程：
s=fj［0a）］2+0（°
］，dt
3、极坐标：
s=2+
七.微分方程
（-）概念
1、微分方程：
表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程.
阶：
微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数.
2、解：
使微分方程成为恒等式的函数.
通解：
方程的解中含有任意的常数，且常数的个数与微分方程的阶数相同.
特解：
确定了通解中的任意常数后得到的解.
（二）变量可分离的方程
g（y）dy=f（x）dx,两边积分jg（y）dy=jf{x）dx
（三）齐次型方程
du
U+X.
dx，
dv
dy
（四）一阶线性微分方程
字+POK兀）
dx
用常数变易法或用公式：
歹=Q^PWdxdx+C
（五）可降阶的高阶微分方程
1、少"
）=/（兀），两边积分〃次；
2、/=（不显含有y）,令y=p,则
“dp
3、（不显含有X）,令y=p9则y=卩示
（六）线性微分方程解的结构
1、X，『2是齐次线性方程的解，则CiX+C?
%也是；
2、必』2是齐次线性方程的线性无关的特解，则Gx+C?
%是方程的通解；
3、y=C[y[+C2y2+y，f为非齐次方程的通解，其中X，%为对应齐次方程的线性无关的解，：
/非齐次方程的特解.
（七）常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性方程：
yr,+py+qy=O
特征方程：
^+"
+q=0,特征根：
人虫
特征根
通解
实根HH勺
j=c/1V+c2Z2'
人=-f
y二（C\+C2x）e，[A
人2=°
土Z0
y二eax（C{cospx+C2sill0x）
（八）常系数非齐次线性微分方程
yr,+py,+qy=f（x）
1、/（兀）=心3
设特解y其中
fo,
k-<
1,
2,
久不是特征根
久是一个单根
久是重根
2、/（X）=（x）cosCDX-\-Pn（%）sillcox）
设特解,y*=人血肉；
）（x）cos亦+Rf（x）siiimr],fo,2+0•不是特征根苴中m=max"
n},k=<
U2+。
•是特征根
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