正态分布 高考数学学案 高考数学复习.docx

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正态分布高考数学学案高考数学复习

学案69　正态分布

导学目标：

利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．

自主梳理

1．正态分布密度曲线及性质

（1）正态曲线的定义

函数φμ，σ（x）＝__________________________（其中实数μ和σ（σ>0）为参数）的图象为正态分布密度曲线．

（2）正态分布密度曲线的特点

①曲线位于x轴________，与x轴不相交；

②曲线是单峰的，它关于直线________对称；

③曲线在________处达到峰值____________；

④曲线与x轴之间的面积为____；

⑤当σ一定时，曲线随着____的变化而沿x轴移动；

⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ________，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；σ________，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．

2．正态分布

（1）正态分布的定义及表示

如果对于任何实数a，b（a

（2）正态分布的三个常用数据

①P（μ－σ

②P（μ－2σ

③P（μ－3σ

自我检测

1．（2011·大连模拟）下列说法不正确的是（　　）

A．若X～N（0,9），则其正态曲线的对称轴为y轴

B．正态分布N（μ，σ2）的图象位于x轴上方

C．所有的随机现象都服从或近似服从正态分布

D．函数φ（x）＝（x∈R）的图象是一条两头低、中间高、关于y轴对称的曲线

2．已知随机变量ξ服从正态分布N（3，σ2），则P（ξ<3）等于（　　）

A.B.C.D.

3．（2011·湖北）已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ<4）＝0.8，则P（0<ξ<2）等于（　　）

A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2

4．某随机变量ξ服从正态分布，其正态分布密度函数为φ（x）＝，则ξ的期望和标准差分别是（　　）

A．0和8B．0和4

C．0和D．0和2

5.

（2011·辽宁十校联考）设两个正态分布N（μ1，σ）（σ1>0）和N（μ2，σ）（σ2>0）的密度函数图象如图所示，则有（　　）

A．μ1<μ2，σ1<σ2

B．μ1<μ2，σ1>σ2

C．μ1>μ2，σ1<σ2

D．μ1>μ2，σ1>σ2

探究点一　正态曲线的性质

例1　

如图所示，是一个正态曲线，试根据图象写出其正态分布密度曲线的解析式，并求出正态总体随机变量的均值和方差．

变式迁移1　若一个正态分布的正态分布密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为.

（1）求该正态分布的概率密度函数的解析式；

（2）求正态总体在（－4,4]的概率．

探究点二　服从正态分布的概率计算

例2　设X～N（5,1），求P（6

变式迁移2　设X～N（1,22），试求：

（1）P（－1

（2）P（3

探究点三　正态分布的应用

例3　（2011·青岛期末）在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N（90,100）．

（1）试求考试成绩ξ位于区间（70,110）上的概率是多少？

（2）若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在（80,100）间的考生大约有多少人？

变式迁移3　在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N（80,52），现已知该同学中成绩在80分～85分的有17人．试计算该班成绩在90分以上的同学有多少人？

1．正态分布密度曲线，简称正态曲线，其解析式为：

φμ，σ（x）＝，x∈（－∞，＋∞）．

2．正态曲线的特点：

（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交．

（2）曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．（3）曲线在x＝μ时达到峰值.（4）曲线与x轴之间的面积为1.（5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移．（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中．

3．3σ原则：

从理论上讲，服从正态分布的随机变量ξ的取值范围是R，但实际上ξ取区间（μ－3σ，μ＋3σ）外的数值的可能性微乎其微（只有0.26%），在实际问题中常常认为它是不会发生的．因此，往往认为它的取值是个有限区间，即区间（μ－3σ，μ＋3σ），这就是实用中的三倍标准差规则，也叫3σ原则．在企业管理中，经常应用这个原则进行产品质量检查和工艺生产过程控制．

（满分：

75分）

一、选择题（每小题5分，共25分）

1．如图是正态分布N（μ，σ），N（μ，σ），N（μ，σ）相应的曲线，则有（　　）

A．σ1>1>σ2>σ3>0

B．0<σ1<σ2<1<σ3

C．σ1>σ2>1>σ3>0

D．0<σ1<σ2＝1<σ3

2．（2011·佛山月考）设随机变量ξ服从正态分布N（2,9），若P（ξ>c＋1）＝P（ξ

A．1B．2C．3D．4

3．某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为φ（x）＝·（x∈R），则下列命题中不正确的是（　　）

A．该市这次考试的数学平均成绩为80分

B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同

C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同

D．该市这次考试的数学成绩标准差为10

4．（2010·广东）已知随机变量X服从正态分布N（3,1），且P（2≤X≤4）＝0.6826，则P（X>4）等于（　　）

A．0.1588B．0.1587C．0.1586D．0.1585

5．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N（110，52），据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内？

（　　）

A．（90,110]B．（95,125]

C．（100,120]D．（105,115]

二、填空题（每小题4分，共12分）

6.

设三个正态分布N（μ1，σ）（σ1>0），N（μ2，σ）（σ2>0），N（μ3，σ）（σ3>0）的密度函数图象如图所示，则μ1、μ2、μ3按从小到大的顺序排列是________；σ1、σ2、σ3按从小到大的顺序排列是________．

7．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0）．若ξ在（0,1）内取值的概率为0.4，则ξ在（0,2）内取值的概率为________．

8．（2011·青岛模拟）已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），P（ξ≤4）＝0.84，则P（ξ≤0）＝________.

三、解答题（共38分）

9．（12分）设X～N（10,1）．

（1）证明：

P（1

（2）设P（X≤2）＝a，求P（10

10．（12分）已知某种零件的尺寸X（单位：

mm）服从正态分布，其正态曲线在（0,80）上是增函数，在（80，＋∞）上是减函数，且φ（80）＝.

（1）求正态分布密度函数；

（2）估计尺寸在72mm～88mm间的零件大约占总数的百分之几？

11．（14分）在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正

态分布N（60,100），已知成绩在90分以上（含90分）的学生有13人．

（1）求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？

（2）若计划奖励竞赛成绩排在前228名的学生，问受奖学生的分数线是多少？

学案69　正态分布

自主梳理

1．

（1），x∈（－∞，＋∞）　

（2）①上方　②x＝μ　③x＝μ　　④1　⑤μ　⑥越小　越大

2．

（1）φμ，σ（x）dx　X～N（μ，σ2）

（2）①0.6826　②0.9544　③0.9974

自我检测

1．C

2．D　[由正态分布图象知，μ＝3为该图象的对称轴，

P（ξ<3）＝P（ξ>3）＝.]

3．C　[

∵P（ξ<4）＝0.8，

∴P（ξ>4）＝0.2，

由题意知图象的对称轴为直线x＝2，

P（ξ<0）＝P（ξ>4）＝0.2，

∴P（0<ξ<4）＝1－P（ξ<0）－P（ξ>4）＝0.6.

∴P（0<ξ<2）＝P（0<ξ<4）＝0.3.]

4．D　[由φ（x）＝＝对照得σ＝2，μ＝0，∴E（ξ）＝μ＝0，σ＝＝2.]

5．A　[由正态分布N（μ，σ2）性质知，x＝μ为正态分布密度函数图象的对称轴，故μ1<μ2；又σ越小，图象越高瘦，故σ1<σ2.]

课堂活动区

例1　解题导引　要确定一个正态分布的正态分布密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数μ，σ的值，其中μ决定曲线的对称轴的位置，σ则与曲线的形状和最大值有关．

解　从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值为，所以μ＝20.

由＝，解得σ＝.

于是正态分布密度曲线的解析式是

φμ，σ（x）＝，x∈（－∞，＋∞）．

均值和方差分别是20和2.

变式迁移1　解　

（1）由于该正态分布的正态分布密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0.由＝，

得σ＝4，

故该正态分布的正态分布密度函数的解析式是

φμ，σ（x）＝，x∈（－∞，＋∞）．

（2）P（－4

＝P（μ－σ

例2　解题导引　求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率，只需借助于正态曲线的性质，把所求问题转化为已知概率的三个区间上．

解　由已知μ＝5，σ＝1.

∵P（4

P（3

∴P（3

＝0.9544－0.6826＝0.2718.

如图，由正态曲线的对称性可得

P（3

∴P（6

变式迁移2　解　∵X～N（1,22），∴μ＝1，σ＝2.

（1）P（－1

＝P（μ－σ

＝0.6826.

（2）∵P（3

∴P（3

＝[P（1－4

＝[P（μ－2σ

＝×（0.9544－0.6826）＝0.1359.

（3）∵P（X≥5）＝P（X≤－3），

∴P（X≥5）＝[1－P（－3

＝[1－P（1－4

＝[1－P（μ－2σ

＝（1－0.9544）＝0.0228.

例3　解题导引　正态分布已经确定，则总体的期望μ和标准差σ就可以求出，这样就可以根据正态分布在三个常见的区间上取值的概率进行求解．

解　∵ξ～N（90,100），∴μ＝90，σ＝＝10.

（1）由于正态变量在区间（μ－2σ，μ＋2σ）内取值的概率是0.9544，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间（70,110）内的概率就是0.9544.

（2）由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.

由于正态变量在区间（μ－σ，μ＋σ）内取值的概率是0.6826，

所以考试成绩ξ位于区间（80,100）内的概率是0.6826.

一共有2000名考生，所以考试成绩在（