届人教A版理科数学第10章第4讲 直线与圆锥曲线的综合应用单元测试文档格式.docx
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+=1(a>
b>
0)的离心率为,左、右焦点分别是F1,F2.以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C上.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设椭圆E:
+=1,P为椭圆C上任意一点.过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A,B两点,射线PO交椭圆E于点Q.
(i)求的值;
(ii)求△ABQ面积的最大值.
题组2 直线与圆锥曲线的综合应用
6.[2014辽宁,10,5分][理]已知点A(-2,3)在抛物线C:
y2=2px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为( )
7.[2014湖南,14,5分]平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x=-1的距离相等.若机器人接触不到过点P(-1,0)且斜率为k的直线,则k的取值范围是 .
8.[2016四川,20,13分][理]已知椭圆E:
0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线l:
y=-x+3与椭圆E有且只有一个公共点T.
(Ⅰ)求椭圆E的方程及点T的坐标;
(Ⅱ)设O是坐标原点,直线l'
平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A,B,且与直线l交于点P.证明:
存在常数λ,使得|PT|2=λ|PA|·
|PB|,并求λ的值.
9.[2015全国卷Ⅰ,20,12分][理]在直角坐标系xOy中,曲线C:
y=与直线l:
y=kx+a(a>
0)交于M,N两点.
(Ⅰ)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;
(Ⅱ)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?
说明理由.
A组基础题
1.[2018中原名校高三第三次质量考评,11]已知双曲线-=1右焦点为F,P为双曲线左支上一点,点A(0,),则△APF周长的最小值为( )
A.4(1+)B.4+
C.2(+)D.+3
2.[2018唐山市高三五校联考,10]直线l与双曲线C:
-=1(a>
0,b>
0)交于A,B两点,M是线段AB的中点,若l与OM(O是原点)的斜率的乘积等于1,则此双曲线的离心率为( )
A.2B.C.3D.
3.[2017郑州市第三次质量预测,10]椭圆+=1的左焦点为F,直线x=a与椭圆相交于点M,N,当△FMN的周长最大时,△FMN的面积是( )
4.[2017福建省高三质检,8]过抛物线y2=4x的焦点F的直线l交抛物线于A,B两点,交其准线于点C,且A,C位于x轴同侧,若|AC|=2|AF|,则|BF|等于( )
A.2B.3C.4D.5
5.[2018洛阳市尖子生第一次联考,20]如图10-4-2,点F是抛物线Γ:
x2=2py(p>
0)的焦点,点A是抛物线上的定点,且=(2,0),点B,C是抛物线上的动点,直线AB,AC的斜率分别为k1,k2.
(1)求抛物线Γ的方程;
(2)若k2-k1=2,点D是抛物线在点B,C处切线的交点,记△BCD的面积为S,证明S为定值.
图10-4-2
6.[2017桂林、百色、梧州、崇左、北海五市联考,20]已知右焦点为F2(c,0)的椭圆C:
0)过点(1,),且椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点(,0)作直线l与椭圆C交于E,F两点,线段EF的中点为M,点A是椭圆C的右顶点,求直线MA的斜率k的取值范围.
B组提升题
7.[2018辽宁五校联考,12]一条动直线l与抛物线C:
x2=4y相交于A,B两点,O为坐标原点,若=2,则(-)2-4的最大值为( )
A.24B.16C.8D.-16
8.[2017广州市高三毕业班综合测试,8]已知F1,F2分别是椭圆C:
0)的左、右焦点,若椭圆C上存在点P使∠F1PF2为钝角,则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A.(,1)B.(,1)C.(0,)D.(0,)
9.[2017合肥市三检,12]已知椭圆M:
+y2=1,圆C:
x2+y2=6-a2在第一象限有公共点P,设圆C在点P处的切线斜率为k1,椭圆M在点P处的切线斜率为k2,则的取值范围为( )
A.(1,6)B.(1,5)C.(3,6)D.(3,5)
10.[2018湘东五校联考,20]已知椭圆C的中心在原点,离心率等于,它的一个短轴端点恰好是抛物线x2=8y的焦点.
(2)如图10-4-3,已知P(2,3),Q(2,-3)是椭圆上的两点,A,B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点.
①若直线AB的斜率为,求四边形APBQ面积的最大值;
②当A,B运动时,满足∠APQ=∠BPQ,试问直线AB的斜率是否为定值?
请说明理由.
图10-4-3
11.[2017天星第二次联考,20]已知椭圆C:
0)的离心率为,过右焦点F的直线l与椭圆C相交于A,B两点,当直线l的斜率为1时,坐标原点O到直线l的距离为.
(2)椭圆C上是否存在点P,使得当直线l绕F转到某一位置时,有=+成立?
若存在,求出所有满足条件的点P的坐标与直线l的方程;
若不存在,请说明理由.
答案
1.A 由题可知抛物线的准线方程为x=-1.如图D10-4-2所示,过A作AA2⊥y轴于点A2,过B作BB2⊥y轴于点B2,则===.故选A.
图D10-4-2
2.D 当直线l的斜率不存在时,这样的直线l恰有2条,即x=5±
r,此时0<
r<
5,所以当直线l的斜率存在时,这样的直线l有2条即可.设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),则又两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2),则kAB===.设圆心为C(5,0),则kCM=.因为直线l与圆相切,所以·
=-1,解得x0=3,于是=r2-4,r>
2,又<
4x0,即r2-4<
12,所以0<
4,又0<
5,r>
2,所以2<
4,故选D.
3.D 易知抛物线中p=,焦点F(,0),直线AB的斜率k=,故直线AB的方程为y=(x-),代入抛物线方程y2=3x,整理得x2-x+=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=.由抛物线的定义可得弦长|AB|=x1+x2+p=+=12,结合图形(图略)可得O到直线AB的距离d=sin30°
=,所以△OAB的面积S=|AB|·
d=.故选D.
4.6 由x2=2py(p>
0)得焦点F(0,),准线l为y=-,所以可求得抛物线的准线与双曲线-=1的交点A(-,-),B(,-),所以|AB|=,若△ABF为等边三角形,则|AF|=|AB|=,=sin,即=,解得p=6.
5.(Ⅰ)由题意知2a=4,则a=2.
又=,a2-c2=b2,可得b=1,
所以椭圆C的方程为+y2=1.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知椭圆E的方程为+=1.
(i)设P(x0,y0),=λ,由题意知Q(-λx0,-λy0).
因为+=1,又+=1,即(+)=1,
所以λ=2,即=2.
(ii)设A(x1,y1),B(x2,y2).
将y=kx+m代入椭圆E的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0.
由Δ>
0,可得m2<
4+16k2 ①,
则有x1+x2=-,x1x2=,
所以|x1-x2|=.
因为直线y=kx+m与y轴交点的坐标为(0,m),
所以△OAB的面积S=|m||x1-x2|
=
=2.
设=t,
将y=kx+m代入椭圆C的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,
由Δ≥0,可得m2≤1+4k2 ②.
由①②可知0<
t≤1.因此S=2=2.故S≤2,
当且仅当t=1,即m2=1+4k2时取得最大值2.
由(i)知,△ABQ面积为3S,所以△ABQ面积的最大值为6.
6.D 因为A(-2,3)在抛物线y2=2px的准线上,所以-=-2,所以p=4,所以y2=8x,设直线AB的方程为x=k(y-3)-2 ①,将①与y2=8x联立,得消去x,得y2-8ky+24k+16=0 ②,则Δ=(-8k)2-4(24k+16)=0,即2k2-3k-2=0,解得k=2或k=-(舍去),将k=2代入①②解得即B(8,8),又F(2,0),所以kBF==,故选D.
7.(-∞,-1)∪(1,+∞) 由题意可知机器人的轨迹为一抛物线,其轨迹方程为y2=4x,过点P(-1,0)且斜率为k的直线方程为y=k(x+1),由题意知直线与抛物线无交点,联立直线与抛物线的方程,消去y得k2x2+(2k2-4)x+k2=0,则Δ=-4k4<
0,所以k2>
1,解得k>
1或k<
-1.
8.(Ⅰ)由已知,a=b,则椭圆E的方程为+=1.
由方程组得3x2-12x+(18-2b2)=0 ①.
方程①的根的判别式为Δ=24(b2-3),由Δ=0,得b2=3,
此时方程①的解为x=2,
所以椭圆E的方程为+=1,点T的坐标为(2,1).
(Ⅱ)由已知可设直线l'
的方程为y=x+m(m≠0),
由方程组可得
所以点P的坐标为(2-,1+),|PT|2=m2.
设点A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2).
由方程组可得3x2+4mx+(4m2-12)=0 ②.
方程②的根的判别式为Δ=16(9-2m2),由Δ>
0,解得-<
m<
.
由②得x1+x2=-,x1x2=,
所以|PA|==|2--x1|,
同理|PB|=|2--x2|,
所以|PA|·
|PB|=|(2--x1)(2--x2)|
=|(2-)2-(2-)(x1+x2)+x1x2|
=|(2-)2-(2-)(-)+|
=m2.
故存在常数λ=,使得|PT|2=λ|PA|·
|PB|.
9.(Ⅰ)由题设可得M(2,a),N(-2,a)或M(-2,a),N(2,a).
又y=,得y'
=,故y=在x=2处的导数值为,C在点(2,a)处的切线方程为y-a=(x-2),即x-y-a=0.
y=在x=-2处的导数值为-,C在点(-2,a)处的切线方程为y-a=-(x+2),即x+y+a=0.
故所求切线方程为x-y-a=0和x+y+a=0.
(Ⅱ)存在符合题意的点,证明如下:
设P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN