6微分方程Word文件下载.docx

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2、齐次方程：

形如，令代入原方程，化为关于以u为新的未知函数的可分离变量方程，求出u，从而得到y的表达式。

3、一阶线性方程：

y/+P（x）y=Q（x）

①当Q（x）≡0时，y/+P（x）y=0称为一阶线性齐次方程，用分离变量法求解。

②当Q（x）≠0时，y/+P（x）y=Q（x）称为一阶线性非齐次方程，其通解求法为

（1）公式法：

（2）常数变易法：

先解出y/+P（x）y=0的通解为y=cu（x）,再将c看作函数c（x），求出导数y/=c/（x）u（x）+c（x）u/（x），代入原方程，求出c（x），从而得到其通解。

三、二阶常系数线性微分方程的解法

1、一般形式：

y//+py/+qy=f（x），其中p、q为常数，f（x）称为自由项。

2、解的结构：

若Y是y//+py/+qy=0的通解，y＊是y//+py/+qy=f（x）的一个特解，则y=Y+y＊是y//+py/+qy=f（x）的通解。

3、当f（x）≡0时，y//+py/+qy=0称为二阶常系数线性齐次微分方程。

解法：

特征根法

列出特征征方程：

，解出r1,r2，讨论：

（1）若r1≠r2，通解为

（2）若r1=r2=r，通解为

（3）若，通解为

4、当f（x）≠0时，y//+py/+qy=f（x）称为二阶常系数线性非齐次微分方程。

先求出y//+py/+qy=0的通解Y，再求特解y＊

y＊的求法：

（1）自由项f（x）为n次多项式Pn（x）时，设（Qn（x）是与Pn（x）同次的多项式，其系数设为A、B、…）

讨论：

特征根r1≠r2≠0,取k=0

特征根r1或r2=0,取k=1

特征根r1=r2=0,取k=2

（2）自由项f（x）=Pn（x）eαx时，设eαx

（Qn（x）是与Pn（x）同次的多项式，其系数设为A、B、…）

讨论：

α不是特征方程的根，取k=0

α是特征方程的单根，取k=1

α是特征方程的重根，取k=2

（3）自由项f（x）=eαx（Acosβx+Bsinβx）时，设eαx（Ccosβx+Dsinβx）

讨论：

α±

βi不是特征方程的根，取k=0

α±

βi是特征方程的单根，取k=1

四、可降阶的微分方程

y（n）=f（x）

2、求解方法：

两边同时积分，得到n-1阶的微分方程，

接连积分n次，含有n个任意常数项。

五、y//=f（x,y/）型微分方程（不含未知函数的一次项）

求解方法：

右端不显含未知函数，设y/=p,则，原方程变为p/=f（x,p），是一个关于变量x,p的一阶微分方程，设其通解为p=φ（x,c1）,再由两端积分得

六、y//=f（y,y/）型微分方程（不含自变量的项）

右端不显含自变量的项，设y/=p,则，

将y/=p，代入原方程，使其降为关于p的一阶微分方程，解出p后，再用p=y/代入，得到关于y/的微分方程，再求出y,得到方程的通解。

例如：

求的通解

解：

令

两端同时积分得：

所以，。

例1求xyy/=1-x2的通解

解：

分离变量

两端积分，

即：

x2+y2=2lnx+c

例2求（xy2+x）dx+y（1+x2）dy=0的通解

原方程变形为x（y2+1）dx+y（1+x2）dy=0

分离变量

两端积分

（1+x2）（1+y2）=c

例3已知f/（x）=1+x2,且f（0）=1,求f（x）（解初值问题）

分离变量df（x）=（1+x2）dx

因f（0）=1,即1=0+c,所以c=1

故

例4求的通解（奇次方程，变量替换）

方程变形为代入前式，化简得，两端积分得

例5求的通解（一阶非齐次方程，化成一般形式）

法一（公式法）因

所以

法二（常数变易用法）由y/+xy=0得

设原方程的通解为，则

代入原方程得

即

所以，通解为

例6设曲线y=f（x）上任意一点（x,y）处的切线斜率为，且该曲线经过点，求

（1）求曲线y=f（x）

（2）求曲线y=f（x）,y=o,x=1所围图形绕x轴旋转一周所得旋转体体积。

（1）由题意知

由

（2）

例7设函数y=f（x）由微分确定，求

（1）函数y=f（x）的表达式

（2）讨论函数y=f（x）在（0,+∞）内的单调性

解：

（1）方程化为，则

（2）因在（0,+∞）内

故在（0,+∞）内的单调增加。

例8设f（x）为连续函数，且由所确定，求f（x）.

两端同时求导得xf（x）=2x+f/（x）,记y=f（x）,上式变为

y/-xy=-2x,

所以

当x=0时，

代入得c=-2，故（初始条件不明显，可取上限x=0）

例9求y//+y/-2y=0的通解

特征方程为r2+r-2=0,解得r1=1,r2=-2（r1≠r2）

所以通解为

例10求y//+2y=0的通解

特征方程为r2+2=0,解得（无）

例11求y//+y/=0的通解

特征方程为r2+r=0,解得r1=0,r2=-1（r1≠r2）

例12求以y=（c1+c2x）ex为通解的二阶线性常系数齐次微分方程。

法一：

由y=（c1+c2x）ex知其特征根为重根r=1，相应的特征方程为,即r2-2r+1=0,从而知其对应的微分方程为：

y//-2y/+y=0

法二：

因y=（c1+c2x）ex……

（1）

y/=c2ex+（c1+c2x）ex……

（2）

y//=2c2ex+（c1+c2x）ex……（3）

（3）-

（2）×

2+

（1）,消去c1,c2得y//-2y/+y=0

例13已知二阶线性常系数齐次方程的两个特解为y1=ex,y2=e2x,求相应的微分方程。

由y1=ex及y2=e2x可知，原方程必有特征根r1=1,r2=2,故特征方程为（r-1）（r-2）=0,即r2-3r+2=0,所求的微分方程为：

y//-3y/+2y=0

例14求y//+y/-2y=e-x的通解（Qn（x）为x的零次方）

对应的齐次方程的特征方程为r2+r-2=0,解得r1=1,r2=-2,所以，对应的齐次方程的通解为Y=c1ex+c2e-2x

因自由项f（x）=e-x,α=-1不特征根，取k=0,

故设（xkQn（x）e-x）

，代入原方程解得

例15求微分方程y//+3y/=3x的通解

对应的齐次方程的特征方程为r2+3r=0,解得r1=0,r2=-3,所以，对应的齐次方程的通解为Y=c1+c2e-3x，

因自由项f（x）=3x,r1=0是特征方程的单根，取k=1,故设（xkQn（x）代入原方程，得

2a+6ax+3b=3x,比较系数有：

2a+3b=0,6a=3,解得,因此

所以，通解为

例16求微分方程y//+2y/+y=xex的通解

对应的齐次方程的特征方程为r2+2r+1=0,解得r1=r2=-1,所以，对应的齐次方程的通解为Y=（c1+c2x）e-x

因自由项f（x）=xex,α=1不是特征根，取k=0,故设（xkQn（x）ex）

代入原方程整理得：

4Ax+4（A+B）=x,比较系数有：

4A=1,4（A+B）=0,解得，因此

所以，通解为：

例17求微分方程y///=e2x-cosx的通解

对所给方程连续积分三次，得：

例18求y///=xex满足的特解。

例19求微分方程（1+x2）y//=2xy/的通解（不含y,为y//=f（x,y/）型，非常系数）

设y/=p,则y//=p/,代入方程得

分离变量得：

y/=p=c1（1+x2）（取c1=±

ec）

即dy=c1（1+x2）dx,两端同时积分得

例20求当的特解

（不含y,为y//=f（x,y/）型，常系数非齐次）

所以：

例21求y//+y=x2+cox的通解

自由项为两项之和，先求出其特解y1*和y2*，则y1*+y2*即为原方程的特解。

对应的齐次方程的特征方程为：

r2+1=0,解得r=±

i

（1）求y//+y=x2的特解y1*

自由项为多项式，r1≠r2≠0,取k=0，令y1*=Ax2+Bx+C

y1*/=2Ax+B,y1*//=2A，代入y//+y=x2得2A+Ax2+Bx+C=x2,解得A=1,B=－2,C=0,故y1*=x2-2

（2）y//+y=cox的特解y2*

β=1为对应的齐次方程的单根，令y2*=Axcosx+Bxsinx,y2*/=Acosx-Axsinx+Bsinx+Bxcosx,y2*//=-Asinx-Asinx-Axcosx+Bcosx+Bcosx-Bxsinx=-2Asinx+2Bcosx-Axcosx-Bxsinx,代入y//+y=cox，得：

-2Asinx+2Bcosx=cosx,解得A=0，

故

又，对应的齐次方程的通解为：

Y=c1cosx+c2sinx

所以，原方程的通解为：

y=Y+y1*+y2*=x2-2++c1cosx+c2sinx

例22求微分方程xy/+y=ex满足初始条件的特解。

（05、20）

方程变形为

用代入，解得c=0

故特解为：

例23求微分方程y//+10y/+9y=e-x的通解（可看作Pn（x）=1）（05B、22）

对应的齐次方程的特征方程为r2+10r+9=0,解得r1=-1，r2=-9,所以，对应的齐次方程的通解为Y=c1e-x+c2e-9x

因自由项f（x）=e-x,α=-1是特征方程的单根，故设

代入原方程，解得

故通解为：

例24微分方程y//+3y/=0的通解为（y=c1+c2e-3x）（05B、11）

R2+3r=0,r1=0,r2=-3

例25求微分方程x2y/=xy-y2的通解（06、17）（齐次方程）

方程变形为：

，令，代入上式，化简得xu/=-u2,分离变量为两端积分得

所以通解为：

例20求微分方程xy/-y=2007x2满足初始条件的特解（07、18）

法一原方程变形为：

用代入，解得c=1

y=x（2007x+1）

法二：

原方程变形为：

其对应的齐次方程为：

，设原方程的通解为：

y=xc（x）,y/=c（x）+xc/（x）,代入原方程得c（x）+xc/（x）-c（x）=2007x,即c/（x）=2007,c（