一元一次不等式与一次函数的复习讲义全Word下载.docx

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bc,.

（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数,不等号的方向改变,即:

b,并且c<

0,那么ac<

bc,

2.比较大小:

（a、b分别表示两个实数或整式）

一般地:

b,那么a-b是正数;

反过来,如果a-b是正数,那么a>

b;

如果a=b,那么a-b等于0;

反过来,如果a-b等于0,那么a=b;

如果a<

b,那么a-b是负数;

反过来,如果a-b是正数,那么a<

即:

a>

b<

a-b>

a=b<

a-b=0

a<

a-b<

（由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了.

三.不等式的解集:

1.能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解;

一个不等式的所有解,组成这个不等式的解集;

求不等式的解集的过程,叫做解不等式.

2.不等式的解可以有无数多个,一般是在某个围的所有数,与方程的解不同.

3.不等式的解集在数轴上的表示:

用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向:

①边界:

有等号的是实心圆圈,无等号的是空心圆圈;

②方向:

大向右,小向左

四.一元一次不等式:

1.只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数是1.像这样的不等式叫做一元一次不等式.

2.解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似,特别要注意,当不等式两边都乘以一个负数时,不等号要改变方向.

3.解一元一次不等式的步骤:

①去分母;

②去括号;

③移项;

④合并同类项;

⑤系数化为1（不等号的改变问题）

4.一元一次不等式基本情形为ax>

b（或ax<

b）

①当a>

0时,解为;

②当a=0时,且b<

0,则x取一切实数;

当a=0时,且b≥0,则无解;

③当a<

0时,解为;

5.不等式应用的探索（利用不等式解决实际问题）

列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似,即:

①审:

认真审题,找出题中的不等关系,要抓住题中的关键字眼,如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含义;

②设:

设出适当的未知数;

③列:

根据题中的不等关系,列出不等式;

④解:

解出所列的不等式的解集;

⑤答:

写出答案,并检验答案是否符合题意.

五.一元一次不等式与一次函数

定义与定义式

自变量x和因变量y有如下关系：

y=kx+b；

则此时称y是x的一次函数。

当b=0时，y是x的正比例函数。

即：

y=kx（k为常数，k≠0）

一次函数的性质

1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k

y=kx+b（k为任意不为零的实数b取任何实数）

2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。

一次函数的图像及性质

1．作法与图形：

通过如下3个步骤

（1）列表[一般取两个点,根据两点确定一条直线]；

（2）描点；

（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。

因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。

（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）

2．性质：

（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：

y=kx+b（k≠0）。

（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b），与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。

3．k，b与函数图像所在象限：

当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；

当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

当b＞0时，直线必通过一、二象限；

当b=0时，直线必通过原点。

当b＜0时，直线必通过三、四象限。

特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。

这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；

当k＜0时，直线只通过二、四象限。

4．特殊位置关系

当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等

当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1）

确定一次函数的表达式

已知点A（x1，y1）；

B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。

（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。

（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。

所以可以列出2个方程：

y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②

（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。

（4）最后得到一次函数的表达式。

一次函数在生活中的应用

（1）.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。

s=vt。

（2）.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。

设水池中原有水量S。

g=S-ft。

六.一元一次不等式组

1.定义:

由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组,叫做一元一次不等式组.

2.一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解集.如果这些不等式的解集无公共部分,就说这个不等式组无解.

几个不等式解集的公共部分,通常是利用数轴来确定.

3.解一元一次不等式组的步骤:

（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集;

（2）利用数轴求出这些解集的公共部分,即这个不等式组的解集.

两个一元一次不等式组的解集的四种情况（a、b为实数,且a<

一元一次不等式

解集

图示

叙述语言表达

x>

b

两大取较大

a

两小取小

x<

大小交叉中间找

无解

在大小分离没有解

（是空集）

2、例题讲解

例1.用不等式表示下列数量关系。

（1）a的一半与－3的和小于或等于1。

解：

x的5倍加16：

5x＋16其关系不大于：

点评：

用不等号表示的时候要准确理解“大”、“小”、“多”、“少”、“不大于”、“不小于”、“不多于”、“不少于”、“至少”、“至多”等词语的含义。

例2.有理数x、y在数轴上的对应点如图所示，试用“>

”或“<

”号填空：

（1）x______y

（2）x＋y_____0（3）xy____0

（4）x－y______0

精析：

由数轴可知：

0<

y，且|x|<

|y|

故填：

（1）<

；

（2）>

（3）<

（4）<

本题体现了数形结合的数学思想方法。

例3.设“A、B、C、D”表示四种不同质量的物体，在天平秤上的情况如图所示，请你用“<

”号将这四种物体的质量mA、mB、mC、mD从小到大排列：

_____________________________。

解析：

由

（1）得：

mA>

mB；

由

（2）得：

mB>

mC、mB>

mD；

由（3）得：

mD>

mC

∴mC<

mD<

mB<

mA

例4.的解不小于－3。

x＝2m＋2

例5.右图表示一骑自行车者和一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地行驶过程的函数图象（分别为正比例函数和一次函数），已知两地间的距离是80km，请你根据图象回答或解决下面问题：

（1）谁出发得较早？

早多长时间？

谁到达乙地较早？

早到多长时间？

（2）两人在途中行驶的速度分别是多少？

（3）请你分别求出表示自行车和摩托车行驶过程的函数关系式。

（1）自行车；

3小时；

摩托车；

3小时

（3）y自＝k1x过（0，0）（4，40）

40＝k1×

4

k1＝10

y自＝10x

过（3，0），（4，40）

<

2>

－<

1>

得：

40＝k2<

3>

把<

代入<

0＝120＋b

b＝－120

例6.东风商场文具部的某种毛笔每枝售价25元，书法练习本每本售价5元，该商场为促销制定了两种优惠办法。

甲：

买一枝毛笔就赠送一本练习本；

乙：

按购买金额打九折付款。

某校欲为书法兴趣小组购买这种毛笔10枝，书法练习本x（x≥10）本。

（1）写出每种优惠办法实际付款金额y甲（元），y乙（元）与x（本）之间的函数关系式；

（2）购买同样多的书法练习本时，按哪种优惠办法付款更省钱；

本题应先正确写出实际付款金额y甲（元）、y乙（元）与x（本）之间的函数关系式，然后进行比较哪种方案更优惠，再根据实际情况灵活设计最省钱的购买方案。

（1）由题意，得

（2）由y甲＝y乙，得5x＋200＝4.5x＋225，解之得x＝50。

由y甲>

y乙，得5x+200>

4.5x+22.5，解之得x>

50；

由y甲<

y乙，得5x+200<

4.5x+22.5，解之得x<

50。

所以，当购买50本书法练习本时，两种优惠办法的实际付款金额相等，可以任选一种优惠办法付款；

当购买书法练习本的本数多于50本书，选择乙优惠办法付款更省钱；

当购买书法练习本的本数不少于10本且多于50本时，选择甲优惠办法付款更省钱。

3、课后练习

一.填空题

1.用不等式表示：

x的2倍与1的和大于－1为__________，y的与t的差的一半是负数为_________。

2.有理数a、b在数轴上的对应点如图所示，根据图示，用“>

”填空。

（1）a＋3______b＋3；

（2）b－a_______0

（3）______；

（4）a＋b________0

3.若0<

1，则按从小到大排列为________。

4.在数轴上表示数x的点与原点的距离不超过5，则x满足的不等式（组）为_______

5.当x_______时，代数式3x＋4的值为正数。

6.要使方程的解是负数，则m________

7.若，则x___________

8.已知a<

b，则不等式组的解集是____________

9.若不等式组的解集是，则的值为___________

10.如果不等式的负整数解是－1，－2，则m的取值围是_________

二.选择题（每小题3分，共24分）

11.若a>

b，则下列不等式中一定成立的是（）

A.B.C.D.

12.与不等式的解集相同的是（）

A.B.

C.D.

13.不等式的负整数解的个数有（）

A.0个B.2个C.4个D.6个

14.不等式组的整数解的和是（）

A.1B.0C.-1D.-2

15.下列四个不等式：

（1）ac>

bc；

（2）；

（3）；

（4）中，能推出a>

b的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

16.如果不等式的解集为，那么a满足的条件是（）

A.a>

0B.a<

-2C.a>