解斜三角形Word格式.docx
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(1)
sinA+B)=siQ
cos(A+B)=-cosC
tan(A+B)=-tanC
.A+Bsin
A+B
cos
tarA+tarB+taC=tarA・tarB・tarC
5.考题分类
题型一:
求解斜三角形中的基本元素题型二:
判断三角形的形状题型三:
解决与面积有关问题题型四:
三角形中求值问题
题型五:
实际应用
二、例题解析
【例1】
已知△ABC中,2j2(sin2A-sin2C)=(a—b)sinB,外接圆半径为,求
分析:
由272(sin2A—sin2C)=(a—b)sinB,得
272(益-2)=(a—b』
4R24R22R
由于,
R=J2,代入并整理,得
a2+匕2-c2=ab
所以,
2小22
Ca+b-c
cosC=
_ab
—2ab
【例2】设MBC的内角A.B.C所对的边分别为a.b.c,已知a=1b=2.cosC.
4
(I)求AABC的周长
(n)求cos(A-C)的值
本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识,同时考查基本运算能力
解析:
(I)Tc2
221
=a+b-2abcosC=1+4-4x-=4
•••c=2
•••AABC的周长为
a+b+c=1+2+2=5.
(n「cosC#,-s心心兀卜目
a/15
V15
..AasinC4715
…sinA==—=
c28
•••a<
b,二AcB,故A为锐角,
=7
"
8
•cosA=J1-sin2A=J1-
71J15£
1511
•cos(A-C)=cosAcosC+sinAsinC飞肓+―——
416
13
“例3】在^ABC中,tan^4,tanB=5
(I)求角C的大小;
(n)若AB边的长为JT7,求BC边的长
解:
(I)C=n—(A+B),
二tanC=-tan(A+B)=
1+3
45一1.
.13
1X—
45
又'
:
0<
C
冗・
(n)由
IsinA
ItanA=
{cosA
I22
(sinA+cosA=1,
1—4'
且AE
得sinA
_ABBC
=.t=
17sinCsinA
例4根据下列条件判断三角形ABC的形状:
sinC
—002222
(1)右a2tanB二b2tanA;
(2)bsinC+csinB=2bccosBcosC
解(1由已知及正弦定理得
“.A、2sinBFf2sinA
(2RsinA)=(2RsinB)=
cosBcosA
2sinAcosA=2sinBcosB=sin2A=sin2B=
2cos(A+B)sin(A-B)=0
•••A+B=90o或A-B=0
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形
解
(1)由正弦定理得
22
sinBsinC=sinBsinCcosBcosC
■/sinBsinCm0,/•sinBsinC=cosBcosC,
即cos(B+C)=0,•••B+C=90o,A=90o,
故^ABC是直角三角形.
【例5】如图,海中小岛A周围20海里内有暗礁,一船向南航行,在
B处
测得小岛A在船的南偏东300;
航行30海里后,在C处测得小岛A在船的南偏东600。
如果此船不改变航行方向,继续向前行驶,有无触礁危险。
【解】过A作AD丄BC于D,由正弦定理易求得
AD=157326(海里)>20(海里),所以继续航行没有触礁的危险。
AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四边形ABCD的面积。
11
=—AB•ADsinA+-BC•DCsinC
A+C=Ji
sinA—sirC
S=?
(AB・AD+BC・DC)sinA=-(2x4+6x4)sinA==16sinA
由余弦定理,在△ABD中,得
222
BD2=AB2+AD2-2AB•ADcosA=
2+4—2x2X4cosA=20—16cosA
在^CBD中,
BD=CB+CD-2CB・CDcosC=
62+42—2X6X4cosA=52—48cosC
20T6cosA=52-48c0C
C0A=-coC64cosA=-32
R1
C0A=-
sinA上
S=16x2^=8^3
解斜三角形训练题
一、选择题
3.
(15年广东文科)设MBC的内角A,E,C的对边分别为a,b,c.若a=2,
且bcc,贝Ub=()
B.2
D.3
【答案】B
【解析】
22=b2
+(2^3f—2xbx273xd,即b2-6b+8=0,解得:
b=2或b=4,因为bee,
所以b=2,故选B.
2.2.2C
CC+a—b3
2ca
cosB==-
5.在"
Be中,tan丁“nC,给出下面四个结论:
其中正确的是(B.)
A①③B.②④C.①④D②③
6.已知三角形的三边之比是5:
7:
8,则最大角与最小角之和为(B)
7.[2014江西七校联考]在^ABC中,若sin(A—B)=1+2cos(B+C)sin(A+C),则^ABC的形状一定是()
A.等边三角形
B•不含60°
的等腰三角形
C.钝角三角形
D.直角三角形
D[解析]由题意得,1+2cos(B+C)sin(A+C)=1—2cosAsinB,又sin(A—B)=sinAcosB—cosAsinB,
所以sinAcosB+cosAsinB=1,即sin(A+B)=1,所以A+B=,故△ABC一定为直角三角形.
8在^ABC中,
tanB=btanA,则△ABC是(D.)
A等腰三角形
C.直角三角形
B.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
在^ABC中,内角A、
B、C所对的边分别为a,b,c,已知
B.—1
C.2
D.-2
MBC的面积是
二、填空题
1.人ABC中,已知,BC=3,AB=10,AB边的中线为7,则
由,S
ABC中,若面积S=l(a2+b2-C2)则NC的度数为
12221=—(a+b-c)=—absinC得
42
一•ZabsosC=absinC
cosC=sinC
45°
。
所以,
得,C=45
a
3.在^ABC中,若NC=60°
,则+=
b+ca+c
由NC=60°
,得
NDAC=30。
于是,NDCB=15。
再由正弦定理,得
AD16得
—,\得
sin15°
sin135°
在MBC中,,应用余弦定理,得
=142
2221
BC2=102+162-2*10*16•—
所以,BC=14
三、解答题
解:
由正弦定理得:
sinA二誉一沁丈出
Sin45
当A=60时C=75。
c=空匹*心=41
sinB
当A=120时C=15°
C=bSinC="
Sin15
sinBsin45
60o东,
2.一海轮以20海里/小时的速度向东航行,它在A点时测得灯塔P在船的北
2小时后到达B点时测得灯塔P在船的北450东,求:
(1)船在B点时与灯塔P的距离;
(2)已知以点P为圆心,55海里为半径的水域内有暗礁,那么这船继续向正东航行,无触礁为危险?
如图:
在厶蚯卩中「"
4―缈上=
<
55(H分)
PZ)=5Psin45^=2075+20
故继续航行有触礁危险.
3辽宁08)在^ABC中,内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c,已知c=2,C=—
3
(I)若△ABC的面积等于J3,求a,b;
(n)若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求△ABC的面积.
53
4△ABC中,cosA=——,cosB=—.黑龙江2008
135
(I)求sinC的值;
(n)设BC=5,求△ABC的面积.
512
(I)由cosA=——,得sinA=—,
1313
亠34
由cosB=—,得sinB=—.
55
16所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=一
65
匚4
—・—5X—
(n)由正弦定理得AC=BCynB=—5
sinA12
13
11__
所以△ABC的面积S=-xBCxACxsinC=-x5x—x一
13168
=—.10分
3653
(2008重庆)设^ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知
b2+c2=a2■^/3bc求:
(I)A的大小;
(n)2sinBcosC—sin(B-C)的值.
(I)由余弦定理,a2=b2+c2-2bccosA,
故cosA」*-a2血
2bc2bc
所以A=-
6
-逅
-~2~
n)2sinBcosC-sin(B-C)
=2sinBcosC-(sinBcosC-cosBsinC)
=sinBcosC+cosBsinC
=sin(B+C)
=sin(兀-A)
=sinA=
5.(江西17)(本小题满分12分)
C在MBC中,角A、B、C的对边分别是a,b,c,已知sinC+cosC=1-sin—.
(1)求sinC的值;
(2)若a2+b2=4(a+b)-8,求边c的值.
CCCC
(1)由已知得2sin—cos—+1-2sin2—=1-sin—,即
222