李庆扬数值分析第五版第章与第章习题答案Word下载.docx
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为什么说平方根法计算稳定？
具有对称正定系数矩阵的线性方程可以使用平方根法求解。
平方根法在分解过程中元素的数量级不会增长，切对角元素恒为正数，因此，是一个稳定的算法。
5、什么样的线性方程组可用追赶法求解并能保证计算稳定？
对角占优的三对角方程组
6、何谓向量范数？
给出三种常用的向量范数。
向量范数定义见正定性齐次性三角不等式
设x为向量，则三
n
||x||1|xi|
i1
n1
||x||2（xi2）2
||x||m1iaxn|xi|
p53，符合3个运算法则。
种常用的向量范数为：
（第3章p53,第5章p165）
7、何谓矩阵范数？
何谓矩阵的算子范数？
给出矩阵A=（aij）的三种范数||A||1，||A||2，||
A||∞，||A||1与||A||2哪个更容易计算？
为什么？
向量范数定义见p162，需要满足四个条件。
正定条件齐次条件三角不等式相容条件矩阵的算子范数有
||A||1||A||2
||A||
8、什么是矩阵的条件数？
如何判断线性方程组是病态的？
v1,2,）为矩阵A的条件数
设A为非奇异阵，称数cond（A）vA1vAv
当cond（A）?
1时，方程是病态的。
9、满足下面哪个条件可判定矩阵接近奇异？
（1）矩阵行列式的值很小。
（2）矩阵的范数小。
（3）矩阵的范数大。
（4）矩阵的条件数小。
（5）矩阵的元素绝对值小。
接近奇异阵的有
（1）、
（2）注：
矩阵的条件数小说明A是良态矩阵。
矩阵的元素绝对值小，不能说明行列式的值小等。
10、判断下列命题是否正确：
（1）只要矩阵A非奇异，则用顺序消去法或直接LU分解可求得线性方程组Ax=b的解。
错误，主元位置可能为0，导致无法计算结果。
（2）对称正定的线性方程组总是良态的。
答：
正确。
（3）一个单位下三角矩阵的逆仍为单位下三角矩阵。
（4）如果A非奇异，则Ax=b的解的个数是由右端向量b的决定的。
解释：
若A|b与A的秩相同，则A有唯一解。
若不同，则A无解。
（5）如果三对角矩阵的主对角元素上有零元素，则矩阵必奇异。
6）范数为零的矩阵一定是零矩阵。
7）奇异矩阵的范数一定是零。
错误，?
可以不为0。
（8）如果矩阵对称，则||A||1=||A||∞。
根据范数的定义，正确。
（9）如果线性方程组是良态的，则高斯消去法可以不选主元。
错误，不选主元时，可能除数为0。
（10）在求解非奇异性线性方程组时，即使系数矩阵病态，用列主元消去法产生的误差也很小。
错误。
对于病态方程组，选主元对误差的降低没有影响。
（11）||A||1=||AT||∞。
（12）若A是nn的非奇异矩阵，则
1
cond（A）cond（A1）。
A是nn的非奇异矩阵，则A存在逆矩阵。
根据条件数的定义有：
cond（A）1A?
1A11111cond（A1）A1?
（A1）1A1?
AA?
A1
a12
a1n
a22
...an2
A
（1）
a11
a2n
...ann
...
aa12
an2
ann
习题
a12a.a12.
..aa12
n2
A2
....
.....
..aa1n
a12.
..ann
A约化为A（aij）n，其中A（aij）n
所以A2为对称矩阵。
2、设A是对称正定矩阵，经过高斯消去法一步后，
A2（ai（j2））n1
证明：
（1）A的对角元素aii0（i1,2,L,n）；
（2）A2是对称正定矩阵；
（1）依次取xi（0,0,,0,1i,0,,0）T,i1,2,,n，则因为A是对称正定矩阵，
（2）ai1a1ja1iaj1
（2）
jaijaajiaaji
a11a11
即A2是对称矩阵。
3、设Lk为指标为k的初等下三角矩阵（除第k列对角元以下元素外，Lk和单位阵I相同），即
Lk
mk1,k1
mn,k1
求证当i,jk时，L±
kIijLkIij也是一个指标为k的初等下三角矩阵，其中Iij为初等置换矩阵。
4、试推导矩阵A的Crout分解A=LU的计算公式，其中L为下三角矩阵，U为单位上三角矩阵。
本题不推导。
参见书上例题。
P147页。
5、设Uxd，其中U为三角矩阵。
（1）就U为上及下三角矩阵推导一般的求解公式，并写出算法
（2）计算解三角方程组Uxd的乘除法次数
（3）设U为非奇异矩阵，试推导求U1的计算公式本题考查求解公式的一般方法，可从第n个元素开始，逐步计算n-1,⋯1时对应的求解公式。
解法，略。
6、证明：
（1）如果A是对称正定矩阵，则A1也是对称正定矩阵
（2）如果A是对称正定矩阵，则A可以唯一地写成ALTL，其中L是具有正对角元的下三角矩阵
均是对称正定矩阵的性质。
应予以记住。
7、用列主元消去法解线性方程组
12x13x23x315
18x13x2x315
x1x2x36
并求出系数矩阵A的行列式的值
12
3
A
18
15
A|b18
6
使用列主元消去法，有
A|b
183115
0175
71731
6186
7
17
31
5
66
21
A的行列式为-66方程组的解为X1=1,x2=2,x3=38、用直接三角分解（Doolittle分解）求线性方程组的解
9
x1
x2
x3
41
52
8
42
2x3
本题考查LU分解。
解：
9、用追赶法解三对角方程组Axb，其中
21000
12100
A01210
b0
00121
00012
解：
追赶法实际为LU分解的特殊形式。
设U为、单位上三角矩阵。
有
1）计算i的递推公式
1c1/b11/20.5
2c2/（b2a21）1/（2
（1）（0.5））2/3
3c3/（b3a32）1/（2
（1）（2/3））3/4
4c4/（b4a43）1/（2
（1）（3/4））4/5
2）解Ly=f
y1f1/b11/2y2（f2a2y1）/（b2a21）（0
（1）（1/2））/（2
（1）（0.5））1/3y3（f3a3y2）/（b3a32）（0
（1）（1/3））/（2
（1）（2/3））1/4y4（f4a4y3）/（b4a43）（0
（1）（1/4））/（2
（1）（3/4））1/5y5（f5a5y4）/（b5a54）（0
（1）（1/5））/（2
（1）（4/5））1/6
（3）解UX=y
x5y51/6
x4y44x51/5（4/5）1/61/3
x3y33x41/4（3/4）1/31/2
x2y22x31/3（2/3）1/22/3
x1y11x22（1/2）2/35/6
10、用改进的平方根法解方程组
2
11x1
4
23x2
31x3
本题明确要求使用平方根法进行求解。
实际考查的LDU分解。
见P157
10
23
x1,x2
x3
192
93
11、下列矩阵能否分解为LU（其中L为单位下三角阵，U为上三角阵）？
若能分解，那么分解是否唯一。
LU分解存在的条件
一个可逆矩阵可以进行LU分解当且仅当它的所有子式都非零。
如果要求其中的U矩阵）为单位三角矩阵，那么分解是唯一的。
同理可知，矩阵的并且总是唯一的。
即使矩阵不可逆，L
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