Selected1994考研数三真题及解析docWord文档下载推荐.docx

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（5）设是来自正态总体的简单随机样本,是样本均值,记

则服从自由度为的分布的随机变量是（）

（C）（D）

三、（本题满分6分）

计算二重积分其中.

四、（本题满分5分）

设函数满足条件求广义积分.

五、（本题满分5分）

已知,求.

六、（本题满分5分）

设函数可导,且,求.

七、（本题满分8分）

已知曲线与曲线在点处有公共切线,求:

（1）常数及切点；

（2）两曲线与轴围成的平面图形绕轴旋转所得旋转体的体积.

八、（本题满分6分）

假设在上连续,在内存在且大于零,记

证明在内单调增加.

九、（本题满分11分）

设线性方程组

（1）证明:

若两两不相等,则此线性方程组无解；

（2）设,且已知是该方程组的两个解,其中

写出此方程组的通解.

十、（本题满分8分）

设有三个线性无关的特征向量,求和应满足的条件.

十一、（本题满分8分）

假设随机变量相互独立,且同分布

求行列式的概率分布.

十二、（本题满分8分）

假设由自动线加工的某种零件的内径（毫米）服从正态分布,内径小于10或大于12的为不合格品,其余为合格品,销售每件合格品获利,销售每件不合格品亏损.已知销售利润（单位:

元）与销售零件的内径有如下关系:

问平均内径取何值时,销售一个零件的平均利润最大?

1994年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析

一、填空题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.）

（1）

【答案】

【解析】利用被积函数的奇偶性,当积分区间关于原点对称,被积函数为奇函数时,积分为

0；

被积函数为偶函数时,可以化为二倍的半区间上的积分.所以知

原式

（2）

【解析】根据导数的定义,有.

所以由此题极限的形式可构造导数定义的形式,从而求得极限值.由于

所以原式.

（3）

【解析】将方程看成关于的恒等式,即看作的函数.

方程两边对求导,得

.

【相关知识点】两函数乘积的求导公式：

（4）

【解析】由分块矩阵求逆的运算性质,有公式,

且

所以,本题对分块后可得.

（5）

【解析】已知随机变量的概率密度,所以概率,求得二项分布的概率参数后,故.

由二项分布的概率计算公式,所求概率为.

【相关知识点】二项分布的概率计算公式：

若,则,,

二、选择题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.）

（B）

【解析】本题是关于求渐近线的问题.

由于,

故为该曲线的一条水平渐近线.

又.

故为该曲线的一条垂直渐近线,所以该曲线的渐近线有两条.

故本题应选（B）.

【相关知识点】水平渐近线：

若有,则为水平渐近线；

铅直渐近线：

若有,则为铅直渐近线；

斜渐近线：

若有存在且不为,则为斜渐

近线.

（C）

【解析】考查取绝对值后的级数.因

（第一个不等式是由得到的.）

又收敛,收敛,（此为级数：

当时收敛；

当时发散.）

所以收敛,由比较判别法,得收敛.

故原级数绝对收敛,因此选（C）.

【解析】由公式,若可逆,则

.

从而,即可逆矩阵与矩阵相乘不改变矩阵的秩,所以选（C）.

（D）

【解析】事实上,当时,是事件与独立的充分必要条件,证明如下：

若,则

,

由独立的定义,即得与相互独立.

若与相互独立,直接应用乘法公式可以证明.

由于事件的发生与否不影响事件发生的概率,直观上可以判断和相互独立.

所以本题选（D）.

【解析】由于均服从正态分布,根据抽样分布知识与分布的应用模式可知

其中,

即.

因为分布的典型模式是:

设,,且相互独立,则随机变量服从自由度为的分布,记作.

因此应选（B）.

【解析】方法1：

由,配完全方得.

令,引入极坐标系,则区域为

故

方法2：

引入坐标轴平移变换：

则在新的直角坐标系中区域变为圆域

而,则有,代入即得

由于区域关于轴对称,被积函数是奇函数,从而.

同理可得,又,

故.

【解析】先解出,此方程为常系数二阶线性齐次方程,用特征方程法求解.

方程的特征方程为,解得.

故原方程的通解为.

由初始条件得

因此,微分方程的特解为.

再求积分即得

【相关知识点】用特征方程法求解常系数二阶线性齐次方程：

首先写出方程的特征方程：

在复数域内解出两个特征根；

分三种情况：

（1）两个不相等的实数根,则通解为

（2）两个相等的实数根,则通解为

（3）一对共轭复根,则通解为

其中为常数.

【解析】由复合函数求导法,首先求,由题设可得

再对求偏导数即得

【相关知识点】多元复合函数求导法则：

如果函数都在点具有对及对的偏导数,函数在对应点具有连续偏导数,则复合函数

在点的两个偏导数存在,且有

；

【解析】运用换元法,令,则

由于为“”型的极限未定式,又分子分母在点处导数都存在,运用洛必达法则,可得

由导数的定义,有原式.

【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：

若,,均一阶可导,则

【解析】利用在两条曲线上及两曲线在处切线斜率相等列出三个方程,由此,可求出,然后利用旋转体体积公式求出.

（1）过曲线上已知点的切线方程为,其中,当存在时,

由知.由知.

由于两曲线在处有公共切线,可见,得.

将分别代入两曲线方程,有.

于是,

从而切点为.

（2）将曲线表成是的函数,是两个旋转体的体积之差,套用旋转体体积公式,可得

旋转体体积为

【相关知识点】由连续曲线、直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周所得的旋转体体积为：

【解析】方法1:

令

由

知在上单调上升,于是.

所以在内单调增加.

方法2:

由拉格朗日中值定理知,.

于是有.

由知在上单调增,从而,故.

于是在内单调增加.

【相关知识点】1.分式求导数公式：

2.拉格朗日中值定理：

如果函数满足在闭区间上连续；

在开区间内可导,那么在内至少有一点,使等式成立.

【解析】

（1）因为增广矩阵的行列式是范德蒙行列式,两两不相等,则有

故.而系数矩阵的秩,所以方程组无解.

（2）当时,方程组同解于

因为,知.

由,知导出组的基础解系含有1个解向量,即解空间的维数为1.

由解的结构和解的性质,

是的基础解系.

于是方程组的通解为,其中为任意常数.

【相关知识点】1.非齐次线性方程组有解的判定定理：

设是矩阵,线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,即.（或者说,可由的列向量线表出,亦等同于与是等价向量组）

设是矩阵,线性方程组,则

（1）有唯一解

（2）有无穷多解

（3）无解

不能由的列向量线表出.

2.解的结构：

若、是对应齐次线性方程组的基础解系,知的通解形式为其中是的基础解系,是的一个特解.

3.解的性质：

如果是的两个解,则其线性组合仍是的解；

如果是的一个解,是的一个解,则仍是的解.

【解析】由的特征方程,按照第二列展开,有

得到的特征值为.

由题设有三个线性无关的特征向量,因此,必有两个线性无关的特征向量,

从而.这样才能保证方程组解空间的维数是2,

即有两个线性无关的解向量.

由初等行变换,将第一行加到第三行上,第一行乘以后加到第二行上有

由,得和必须满足条件.

【解析】记则随机变量和相互独立且同分布,

由与独立可得出,故

由行列式的计算公式,随机变量有三个可能取值：

所求的行列式的概率分布列于下表:

01

0.13440.73120.1344

【解析】依据数学期望的计算公式及一般正态分布的标准化方法,有

此时数学期望依赖于参数,为使其达到最大值,令其一阶导数为0,有

令,得,

解上面的方程得

得到唯一驻点,因为此问题是实际问题,所以平均利润函数必然有最大值,而且这个最大值是唯一的.

由题意知,当毫米时,平均利润最大.